Expressions algébriques Démontrer l’égalité de deux expressions
3 Montrer que deux expressions sont égales à une troisième Montrer que, pour tout réel , On peut ici développer chaque membre de l’égalité et vérifier qu’ils conduisent au même résultat 4 Si les expressions sont de même signe, montrer que les carrés sont égaux Montrer que, pour tout réel positif :
exercices suites - bagbouton
4) Montrer que n ln( ) n u n fi+¥: 5) Donner un équivalent de u nn-ln( ) lorsque ntend vers+¥ Exercice 26 1) Montrer que, pour tout entier natureln, l’équationx x n+ =ln( ) possède une unique solutionun dans]0,+¥[2) Montrer que la suite(n) n u ˛¥ est croissante et diverge vers +¥ 3) Montrer que u nn: puis queu n nn - -: ln( )
Exercice 10 Soient X et Y deux variables aléatoires
♣ Exercice 18 Soient > 0, µ > 0 et X,Y deux variables aléatoires telles que X ∼ P() et Y ∼ P(µ) Montrer que si X et Y sont indépendantes alors X +Y ∼ P(+µ) Corrigé :Soient > 0,µ > 0etX,Y deux variables aléatoires telles queX ∼ P()etY ∼ P(µ) On
Exercices d’Analyse 1 - CEREMADE
Exercice 9 1 Montrer que la r eunion de deux intervalles n’est pas un intervalle en g en eral 2 Montrer que l’intersection de deux intervalles est un intervalle ( eventuellement vide) 3 Soit Iun intervalle de R Montrer que c’est un intervalle ouvert si et seulement si 8x2I;9">0;]x ";x+ "[ˆI:
Chapitre 4 Vecteurs, bases et repères
Montrer que deux vecteurs sont colinéaires peut nous aider à montrer que deux droites sont paral- L Exercice 5 et pour montrer que des droites sont parallèles
Corrig´es d’exercices pour le TD 3 - Monteillet
1 Montrer que k· kp est une norme pour p∈ [1,∞] 2 Montrer que pour tout f∈ E,kfkp → kfk∞ quand p→ +∞ Solution 1 C’est exactement la mˆeme preuve que dans l’exercice pr´ec´edent : toutes les propri´et´es sont ´evidentes sauf l’in´egalit´e triangulaire pour p∈ [1,+∞[
Espaces vectoriels
Montrer que = Correction exercice 14 Exercice 15 1 Est-ce que le sous-ensemble = Donner une base de ces deux sous-espaces vectoriels de
Entiers, ensembles finis, dénombrement
Exercice 159 Montrer que pour tout n P Nzt1u, l’entier 5n ´3n n’est pas un nombre premier Exercice 160 Soient a et b deux entiers naturels de même parité Montrer que a3 +b3 2 est un entier naturel non premier Exercice 161 Soit n un entier naturel Montrer que le nombre 32n+1 +2n+2 est divisible par 7 Exercice 162
TD 22 Somme de sous-espaces vectoriels
Soient E un K-espace vectoriel et A, B et C trois sous-espaces vectoriels de E tels que A ˆC et B ˆC Montrer que A+ B ˆC Exercice 8 (**) Soient A et B deux s e v d’un espace vectoriel E tels que A ˆB On note F un s e v de E tel que A F = E Montrer que B = A (B \F): Exercice 9 (**) Soient E un K-e v et f un endomorphisme de E tel
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Lycee Janson de Sailly Annee 2020-2021
ECS1 TD 22 Somme de sous-espaces vectoriels1. Sommes, sommes directes, supplementairesExercice 1.(*)
Montrer queFetGsont des sous-espaces vectoriels deR3et qu'ils sont supplementaires dansR3:F=f(x;y;z)2R3: 2x4y+ 3z= 0getG=f(t;0;t) :t2Rg.
Exercice 2.(**)
Montrer queF=f(x;y;z)2R3:x=ygetG=f(x;y;z)2R3:x+z= 0gsont des sous-espaces vectoriels deR3, qu'ils verientF+G=R3mais qu'ils ne sont pas en somme directe.Exercice 3.(**)
1. On note El'ensemble des applications deRdansR. Soient les deux ensemblesF=f2Ejf(1) = 0etG=f2Ej 9a2Rt:q:8x2R;f(x) =ax:
Montrer queFetGsont des sous-espaces vectoriels deEet qu'ils sont supplementaires dans E. 2. On note El'ensemble des applications deRdansRderivables. Soient les deux ensembles F=f2Ejf(0) =f0(0) = 0etG=f2Ej 9(a;b)2R2t:q:8x2R;f(x) =ax+b: Montrer queFetGsont des sous-espaces vectoriels deEet qu'ils sont supplementaires dans E.Exercice 4.(**)
Demontrer que l'ensembleSn(R) des matrices carrees d'ordrensymetriques et l'ensembleAn(R) des matrices carrees d'ordrenantisymetriques sont deux sous-espaces vectoriels supplementaires de M n(R).Exercice 5.(**)
SoitF=fu2RN=8n2Nu2n+1=u2ngetG=fu2RN=8n2Nu2n+1= 0g. Demontrer queFetGsont deux sous-espaces vectoriels supplementaires deRN.Exercice 6.(**)
Demontrer que l'ensembleFdes fonctions constantes sur [0;1] et l'ensembleGdes fonctionsf continues qui verientZ 1 0 f(x)dx= 0 sont deux sous-espaces supplementaires de l'espace vectoriel C0([0;1];R).
1Exercice 7.(*)
SoientEunK-espace vectoriel etA,BetCtrois sous-espaces vectoriels deEtels queACetBC. Montrer queA+BC.
Exercice 8.(**)
SoientAetBdeux s.e.v. d'un espace vectorielEtels queAB. On noteFun s.e.v. deEtel queAF=E. Montrer queB=A(B\F):
Exercice 9.(**)
SoientEunK-e.v. etfun endomorphisme deEtel que : 2f2f6idE= 0:On poseu=f2idE etv= 2f+ 3idE. 1.D eterminerv2uet en deduire queE=Im(u) +Im(v).
2. Mon trerque uv=vu= 0. En deduire queIm(u)Ker(v) etIm(v)Ker(u). 3. Mon trerque Ker(u) etKer(v) sont supplementaires dansE.Exercice 10.(**)
1. Soit fun endomorphisme d'unK-espace vectorielEtel quef23f+ 2idE=0:Montrer queE=Ker(fidE)Ker(f2idE):
2. Soit fun endomorphisme d'unK-espace vectorielEtel quef+f3=0:Montrer queE=Ker(f)Im(f2):
3. Soien tfetgdeux endomorphismes d'unK-espace vectorielEtels quefgf=fetgfg=g.Montrer que
E=Ker(f)Im(g):
Exercice 11.(**) -A retenir !
SoientEunK-espace vectoriel et (e1;:::;en) une famille deE(avecn2Nn f0;1g). Soitk2J1;n1K.
1. Mon trerque V ect(e1;:::;ek) + Vect(ek+1;:::;en) = Vect(e1;:::;en). 2.On supp oseque ( e1;:::;en) est libre.
Montrer que les sous-espaces vectoriels Vect(e1;:::;ek) et Vect(ek+1;:::;en) sont en somme directe. 3.Mon trerque si ( e1;:::;en) est une base deE, alors Vect(e1;:::;ek)Vect(ek+1;:::;en) =E2. Projecteurs