Fonctions Trigonométriques - Partie 3 Limites et intégration
Fonctions Trigonométriques - Partie 3 Limites et intégration I - Limites Rappel : les fonctions sinus et cosinus n’admettent pas de limite en +∞ et en –∞ Les théorèmes de comparaison et le théorème « des gendarmes » doivent être utilisés dans de nombreux cas
Développement limité des fonctions trigonométriques : 1)
Si une fonction f admet un D L d’ordre n au voisinage de 0 de partie régulière p x ( ) et si, en plus, f est intégrable sur un intervalle formé contenant 0, alors ∫ x f t dt 0 ( ) admet, au voisinage de 0, un D L d’ordre n+1 de partie régulière ∫ ∫ ∫⇒ = + + x x x n n n p t dt f t dt p t dt x 0 0 0 1( ) ( ) ( ) 0( )
EXERCICES Fonctions Trigonométriques TS
Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x)=cos(2x)−7cosx−3 1) Exprimer f en fonction de cosx seulement 2) Donnez une expression factorisée de f(x) 3) Déterminer l'abscisse des points d'intersection de cf avec l'axe des abscisses Exercice TRIGO 6 Soitf la fonction définie sur ℝ par f(x)=4sin4(x)−3cosx Oumou doit calculer la
Fonctions trigonométriques : Cours
Conséquence graphique : Dans un repère orthogonal, une fonction fest impaire si et seule-ment si sa courbe représentative C f admet l'origine comme centre de symétrie ♠ ♠ ♠ La fonction sinus est impaire : ∀x∈R, sin(−x)=−sin(x) Propriété 4 ˘ La fonction sinus est périodique de période 2ˇ(qui est la plus petite période) :
TP19-0429 Book — 10/07/2020 21:5 — page I Maths
Fiche63 Limite en l’infini d’une fonction irrationnelle 125 Fiche64 Limite en l’infini d’une fonction trigonométrique 127 Fiche65 Limite en l’infini d’un quotient d’exponentielles 129 Fiche66 Limite d’une fonction comparée à une autre fonction 131 Fiche67 Recherche d’une asymptote au graphique d’une fonction 133
Formule trigonometrice - Math
Formule trigonometrice 2 23 fl fl fltg fi 2 fl fl fl = r 1¡cosfi 1+cosfi 24 tg fi 2 = sinfi 1+cosfi 1¡cosfi sinfi 25 fl fl flctg fi 2 fl fl fl = r 1+cosfi 1¡cosfi 26 ctg fi 2 =
Fiche technique sur les limites - lyceedadultesfr
Si g a pour limite l0 1 1 1 alors f g a pour limite l l0 1* F ind 1* *Appliquer la règle des signes 3 3 Quotient de fonctions Si f a pour limite l l , 0 0 l 1 1 Si g a pour limite l0, 0 0 0 1 l 1 alors f g a pour limite l l0 1* F ind 0 1* F ind *Appliquer la règle des signes 4 Polynômes et les fonctions rationnelles 4 1 Fonction polynôme
2
a fonction f est donc périodique de période 6π V Etudier des limites Exercice 18 Etudier la limite en 0 de la fonction f définie sur * par 3sin ( ) x f x x = Correction : La fonction f est définie sur * par 3sin ( ) x f x x = sin ( ) 3 x f x x = ×, or on sait d’après le cours que 0 sin lim 1 x x → x =, donc par
I - La fonction cosinus
I - La fonction cosinus a Définition La fonction qui à tout réel x, associe le réel cos(x) est appelée fonction cosinus : cos : x→cos(x) b Propriétés - Pour tout réel x, cos(-x) = cos(x) On dit que la fonction cosinus est une fonction paire Sa courbe représentative est donc symétrique par rapport à l'axe des ordonnées
Laboratoire Paul Painlevé UMR CNRS 8524
Created Date: 6/27/2005 4:02:34 PM
[PDF] 2074 i
[PDF] 2074 abt 2016
[PDF] 2074 notice
[PDF] déclaration 2074 (2017)
[PDF] 2074 dir
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Biblioth`eque d"exercicesBonus
L1Exercices d"Orsay
Table des mati`eres
I SM1 Exercices 4
1 Nombres complexes 4
1.1 Forme cart´esienne, forme polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Trigonom´etrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 G´eom´etrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Ensembles, r´eels 5
2.1 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 R´eels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Logique et raisonnements 8
4 Fonctions, limites 9
4.1 Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.2 Notion de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.3 Calculs de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5 Continuit´e 10
6 D´erivabilit´e 11
6.1 D´efinition, calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
6.2 Th´eor`eme de Rolle et accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6.3 Formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
7 Convexit´e13
7.1 Convexit´e, concavit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
7.2 Bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
7.3 Fonctions trigonom´etriques r´eciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
7.4 Croissance compar´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
II SM1 Devoirs 16
8 Devoir : Nombres complexes 16
19 Devoir : In´egalit´es, nombres complexes, r´ecurrence 17
9.1 In´egalit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9.2 Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9.3 R´ecurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9.4 Probl`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10 Devoir : Fonctions 18
11 Devoir : Limites, continuit´e 19
12 Devoir : D´erivabilit´e 20
13 Devoir : Fonctions r´eciproques 21
14 Examen22
III SM2 Exercices 22
15 Int´egration 22
16´Equations diff´erentielles 24
17 Matrices, syst`emes lin´eaires 25
18 Espaces vectoriels : d´efinition 27
19 Espaces vectoriels : bases, dimension 28
20 Applications lin´eaires 30
21 Int´egrales multiples 32
IV SM2 Devoirs 34
22 Devoir : Int´egration 34
23 Devoir :
´Equations diff´erentielles 34
24 Devoir : Matrices 35
25 Devoir : Int´egration 35
26 Devoir :
´Equations diff´erentielles 36
27 Devoir : Matrices, syst`emes lin´eaires 37
28 Devoir : Espaces vectoriels 37
29 Devoir : Espaces vectoriels 38
30 Interrogation : Espaces vectoriels 38
231 Interrogation : Int´egration, ´equations diff´erentielles 39
32 Interrogation : Espaces vectoriels 39
33 Examen : partiel 39
34 Examen : Juin 2004 40
35 Examen : Septembre 2004 41
V Corrections 43
3Premi`ere partie
SM1 Exercices
1 Nombres complexes
1.1 Forme cart´esienne, forme polaire
Exercice 1Calculer le module des nombres complexes suivants : Z1=-i;Z2= 1 +i;Z3= 2i(3 +i)(1 +i)
Z4=(2 + 3i)(1 + 2i)(-1 +i)(1 +i);Z5=(1 +i)42 +i;Z6=2 +i1-i+2i1 +i
Exercice 2Placer sur le cercle trigonom´etrique les nombres complexes suivants : Z Exercice 3Mettre sous forme trigonom´etrique les nombres complexes suivants :1 +i; 1-i⎷3 ;-⎷3 +i;1 +i⎷3⎷3-i
Exercice 4Mettre sous forme alg´ebrique, c"est-`a-dire sous la formea+ib(a,b?R), les nombres complexes suivants : Z1=3 + 6i3-4i;Z2=?1 +i2-i?
2 +3 + 6i3-4i;Z3=2 + 5i1-i+2-5i1 +i Z 4=? 12 +i⎷3 2 3 ;Z5=(1 +i)9(1-i)71.2 Trigonom´etrie
Le but des exercices suivants est de retrouver les formules usuelles de trigonom´etrie `a partirdes propri´et´es de l"exponentielle complexe. On rappelle les propri´et´es suivantes (x, y?R) :
|eix|= 1 ;ei(x+y)=eixeiy;eix= cosx+isinx.Exercice 51. Montrer que (eiθ)-1=e
iθ=e-iθ(θ?R).2. Etablir les formules d"Euler :
cosθ=eiθ+e-iθ2 et sinθ=eiθ-e-iθ2i. Exercice 61. Calculer sin(x+y), cos(x+y) et tan(x+y) en fonction des sinus, cosinus et tangente dexou dey; en d´eduire les formules de calcul pour sin(2x), cos(2x) et tan(2x) (x, y?R).2. Calculer cosxet sinxen fonction de tanx2
pourx?=π+ 2kπ , k?Z.Exercice 7En utilisant les formules d"Euler,
41. exprimer cosacosb, sinasinbet cosasinb`a l"aide de somme de cosinus et/ou sinus,
2. lin´eariser cos
2aet sin2a.
Exercice 8Etablir la formule de Moivre (θ?R,n?N) : (cosθ+isinθ)n= cos(nθ) +isin(nθ).Exercice 9CalculerZ= (1 +i⎷3)
2003.Exercice 10Calculer cos(π/12).D´eveloppercos(x-y)pour de "bonnes" valeurs dexety. Exercice 11R´esoudre dansRles ´equations suivantes et placer les images des solutions sur le cercle trigonom´etrique : sinx=⎷3 2 ; tanx=-1.
Exercice 12R´esoudre dansRl"´equation
cos(5x) = cos?2π3 -x?1.3 G´eom´etrie
Exercice 131. R´esoudre dansCl"´equationz/(z-1) =i. Donner la solution sous forme alg´ebrique.2. SoientM,OetAles points d"affixes respectivesz, 0, 1; on suppose que ces trois points
sont distincts. Interpr´eter g´eom´etriquement le module et un argument dez/(z-1) et retrouver la solution de l"´equation du (1).Exercice 14Trouver les nombres complexesztels que
a)z-1z+ 1?R;b)z-1z+ 1?iR.2 Ensembles, r´eels
2.1 Ensembles
Exercice 15On poseA={(x,y)?R2;y > x2-1}etB={(x,y)?R2;y <1-x2}. Repr´esenter graphiquementA,B,A∩B,A?B,?A,?B,?A??Bet?(A∩B).Tous les compl´ementaires sont pris ici dansR2.Ecrire chacun de ces ensembles sous la forme{(x,y)? R2;...}.
Exercice 16SoientAetBdeux parties d"un ensembleE. Exprimer?(A∩B) et?(A?B) `a l"aide de?Aet?B. Exercice 17Montrer que chacun des ensembles suivants est un intervalle, ´eventuellement vide, I 1=10? n=1? 1-1n ,2-1n ;I2=10? n=1? 1-1n ,2-1n I3=+∞?
n=1[n,+∞[ ;I4=+∞? n=1? 1n 52.2 R´eels
Exercice 18Mettre sous forme de fractions irr´eductibles les nombres rationnels suivants, donn´es par leurs d´eveloppements d´ecimaux p´eriodiques : x1= 3,14?14...;x2= 0,9?9...;x3= 3,149?9...
Exercice 191. Montrer que pour toutn?1, on a :⎷n+ 1-⎷n=1⎷n+ 1 +⎷n2. Montrer que pour tout entiern?1, on a
2( ⎷n+ 1-⎷n)<1⎷n <2(⎷n-⎷n-1)3. En d´eduire un encadrement de la somme
?N n=11⎷n , pour toutN?1.4. Quelle est la partie enti`ere de 1 +
1⎷2
+1⎷3 +···+1⎷10000 Encadrer s´epar´ement la somme den= 2`aN= 10000, puis den= 1`aN-1. Exercice 20On noteE(x) la partie enti`ere d"un r´eelx, c"est `a direE(x) est l"unique entier relatif v´erifiantE(x)?x < E(x) + 1.1. Montrer que pour tout r´eelsxety, on aE(x) +E(y)?E(x+y)?E(x) +E(y) + 1.
2. CalculerE(x) +E(-x) pourxr´eel.
3. Montrer que pour tout entier natureln?1 et pour tout r´eelx,E(x) =E?E(nx)/n?.
Exercice 21Comparer 6⎷5 et 8
⎷3, puis2⎷6-⎷5
et3⎷5-⎷2 +4⎷6 + ⎷2 Exercice 22Soientxetydes r´eels tels que-5?x?4 et-10?y?-6. Trouver des encadrements dex+y,x-y,xy,x/yet⎷x2. Que peut-on dire de 1/x?
-facultatifmˆeme question pour-7?x?9 et-2?y?-1. R´eponse :-9?x+y?8 ;-6?x-y?11 ;-18?xy?14 ;-9?x/y?7 ; 0?⎷x 2?9 -facultatifmˆeme question pour-12?x?1 et-3?y?4. R´eponse :-15?x+y?5;-16?x-y?4;-48?xy?36; 0?⎷x 2?12. x/yn"est pas d´efini poury= 0 et{x/y;-12?x?1 et-3?y?4 ety?= 0}est non born´e. -facultatifmˆeme question pour 3?x?4 et-5?y?-3R´eponse :-2?x+y?1; 6?x-y?9;-20?xy?-9;-43
?x/y?-35 ; 3?⎷x 2?4.Exercice 23Dans cet exercice, on demande d"utiliser les propri´et´es de la relation d"ordre dans
Ret non d"´etudier les variations d"une fonction. R´esoudre dansRles in´equations suivantes :
a)|x-3|+|x+ 4|?7 b) 0?⎷x2+ 3-⎷x
2+ 1?1
c)⎷x2-4x+ 4?|3x2
-1| d) 0Exercice 25D´emontrer l"implication suivante :
|x|?1 =?????x+ sinxx7+x-3?
????2 Exercice 26Pour tout r´eelanon nul, on noteIa={x?R| |x-a|<|a|/2}.1. D´ecrire en termes d"encadrement, puis en termes d"intervalle, l"ensembleIa. Hachurer sur
la droite r´eelle l"ensembleIapoura=-2 eta= 1. V´erifier que pour toutx?Ia, alorsx est non nul et a mˆeme signe quea.2. Peut-on dire qu"il existe une constantem >0 ind´ependante deatelle que pour toutx
appartenant `a l"ensembleIa, on ait|x|> m? Exercice 27D´eterminer si les ensembles suivants sont born´es et en donner eventuellement des bornes. {n-1n+ 1|n?N},{(-1)nn|n?N},{(-1)n+1n |n?N?}.Exercice 28Soitz?Ctel que 2?|z|?4. Montrer que
15 ?????5-zi+z? ????9. Exercice 29Trouver les racines carr´ees complexes des nombres complexes suivants : Z1=-1, Z2=1-i⎷3
2 , Z3= 1 +i , Z4= 5-12i , Z5=2-i⎷5 3Pour les trois premiers, on donnera le r´esultat sous forme alg´ebrique et trigonom´etrique; pour
Z4etZ5, sous forme alg´ebrique.
Exercice 30R´esoudre dansCles ´equations suivantes : a)z2+ (1-2i)z+ 1 + 5i= 0, b)z4+ (1-2i)z2-3-i= 0, c) (z+ 1)4+ 16(z-1)4= 0, d)?z+1z-1?3+?z-1z+1?
3= 0.Exercice 31
´Enoncer la formule du binˆome (z1+z2)net l"expliciter pourn= 5. A l"aide de la formule d"Euler et de la formule pr´ec´edente, exprimer cos5(θ) en fonction de cos(θ), cos(3θ)
et cos(5θ). Plus difficile : essayer de g´en´eraliser la formuler pour cos n(θ).Remarque : cette m´ethode sera r´eutilis´ee pour le calcul d"int´egrales de fonctions trigonom´etriques.