[PDF] Trigonalisation et diagonalisation des matrices

DETERMINANTS - bagbouton

Le déterminant d’une matrice triangulaire est égal au produit de ses termes diagonaux En effet il suffit de développer successivement par rapport à la première ligne (ou première colonne) 2) Déterminant d’un produit de matrices

Chapitr e 7 D eterminants« - sorbonne-universitefr

Pr oposition 51 Si A est une matrice triangulair e sup erieur« e ou inferieur« e, alor s on a det A = a11 a22 áááann Autrement dit, pour une matrice triangulaire, et seulement pour une telle ma-trice, le determinant« est «eg al au produit des termes diagonaux D emonstr« ation

Lecture Notes 1: Matrix Algebra Part C: Pivoting and Matrix

The determinant of any unitriangular matrix is 1 Proof The determinant of any triangular matrix is the product of its diagonal elements, which must be 1 in the unitriangular case when every diagonal elements is 1 University of Warwick, EC9A0 Maths for Economists Peter J Hammond 12 of 46

Généralités sur les matrices - HEC Montréal

Matrice triangulaire supérieure : n a 5 5a 5 6⋯a 5 l 0a 6 6⋯a 6 l ⋮⋮⋱⋮ 00⋯a k l r Matrice triangulaire inférieure : n a 5 50⋯0 a 6 5a 6 6⋯0 ⋮⋮⋱⋮ a k 5a k 6⋯a k l r 2 Opérations sur les matrices Multiplication par un scalaire : G # L n G = 5 5 G = 5 6⋯ = 5 á G = 6 5 G = 6 6⋯ = 6 á ⋮⋮⋱⋮

Trigonalisation et diagonalisation des matrices

de relier des invariants d’une matrice, tels que sa trace et son determinant,´ a ses valeurs propres ` Si une matrice A est trigonalisable, semblable `a une matrice triangulaire sup ´erieure T, alors les valeurs propres de A etant les racines du polyn´ omeˆ p A, sont aussi les coefficients de la diagonale de la matrice T

L1 - PCP - DETERMINANTS (COURS-EXERCICES)

Si la matrice possède deux colonnes proportionelles son déterminant est nul Par exemple 3 25 1 75 23 3 69 12 2 36 = 0 car C = 3C1, vérifiez le par le calcul • 3 Le déterminant d’une matrice reste inchangé si l’on ajoute à une colonne de la ma-trice une combinaison linéaire des autres colonnes En particulier, si les colonnes

Exo7 - Cours de mathématiques

(ii)si une matrice A a deux colonnes identiques, alors son déterminant est nul; (iii)le déterminant de la matrice identité In vaut 1 Une preuve de l’existence du déterminant sera donnée plus bas en section2 4 On note le déterminant d’une matrice A= (aij) par : detA ou 11 a a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann

solution de - Cours

Une matrice est dite diagonale si les entrées de la matrice sont nulles en dehors de sa diagonale: Dans ce cas, donc le système admet une solution si pour et dans ce cas Une matrice est dite triangulaire inférieure (ou supérieure) si toutes ses entrées

Résolution de systèmes linéaires : Méthodes directes Polytech

Définition Une matrice A = (aij)1≤i,j≤n est triangulaire supérieure (respectivement inférieure) si ∀i,j t q j > i (resp j > i) aij = 0 Si A est une matrice triangulaire supérieure, et si aucun élément diagonal n’est nul, la solution du système Ax = b est : xn = bn ann xi = bi − Pn j=i+1 aijxj aii

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CHAPITRE

7Trigonalisation et diagonalisation

des matrices Sommaire1 Trigonalisation des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1

2 Diagonalisation des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

3 Une obstruction au caract

`ere diagonalisable . . . . . . . . . . . . . . . .11

4 Caract

´erisation des matrices diagonalisables . . . . . . . . . . . . . . . .12

5 Matrices diagonalisables : premi

`eres applications . . . . . . . . . . . . .15

6 Trigonalisation et diagonalisation des endomorphismes . . . . . . . . . .

17

7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20 Nous abordons dans ce chapitre les probl

`emes de trigonalisation et diagonalisation des ma- trices. Nous montrons que toute matrice `a coefficients complexes est trigonalisable, c"est-`a-dire semblable `a une matrice triangulaire sup´erieure. On pr´esente quelques cons´equences th´eoriques importantes de ce r

´esultat.

Le probl

`eme de la diagonalisation est plus´epineux. Une matrice n"est pas en g´en´eral dia- gonalisable, c"est- `a-dire semblable`a une matrice diagonale. Dans ce chapitre, on s"int´eressera aux obstructions au caract `ere diagonalisable. En particulier, nous donnerons une caract´erisation de nature g

´eom´etrique des matrices diagonalisables.

Nous pr

´esentons deux applications imm´ediates de la diagonalisation des matrices avec le calcul des puissances d"une matrice diagonalisable et la r

´esolution des syst`emes diff´erentiels

lin ´eaires d´efinis par une matrice diagonalisable. Nous reviendrons sur ces deux applications dans les prochains chapitres, notamment dans le cas o `u ils mettent en jeu des matrices non diagonalisables. x1 Trigonalisation des matrices

7.1.1. D

´efinition.-Une matriceAdeMn(K)est ditetrigonalisabledansMn(K), siAest semblable `a une matrice triangulaire sup´erieure deMn(K). C"est-`a-dire, s"il existe une matrice 1 2

CHAPITRE 7. TRIGONALISATION ET DIAGONALISATION

DES MATRICES

inversiblePdeMn(K)et une matrice triangulaire sup´erieureT`a coefficients dansKtelles que

A=PTP1:(7.1)

On notera que toute matrice triangulaire sup

´erieure´etant semblable`a une matrice triangu- laireinf a une matrice triangulaire inf´erieure.

7.1.2 Exercice.-SoitAune matrice deMn(K)et soitune valeur propre deA. Montrer

que la matriceAest semblable`a une matrice de la forme 2 6 664
0...B 03 7 775
o `uBest une matrice deMn1(K).

7.1.3. Caract

´erisation des matrices trigonalisables.-Le r´esultat suivant fournit une ca- ract ´erisation des matrices trigonalisables.7.1.4 Th ´eor`eme (Th´eor`eme de trigonalisation).-Une matriceAdeMn(K)est trigonalisable dansMn(K)si, et seulement si, son polynˆome caract´eristiquepAest scind´e

surK.Preuve.La condition est n ´ecessaire. SiAest une matrice trigonalisable, par d´efinition, elle est

semblable `a une matrice triangulaire sup´erieure : t=2 6 664
1

02...............

00n3 7 775

Le polyn

ˆome caract´eristique de la matriceTest scind´e : p

T= (1)n(x1):::(xn):

D"apr `es la proposition 6.3.3, deux matrices semblables ont mˆeme polynˆome caract´eristique. Ainsi,pA=pTet par suite le polynˆome caract´eristique deAest scind´e surK.

La condition est suffisante. On proc

`ede par r´ecurrence surn. Toute matrice deM1(K)est trigonalisable. On suppose que tout matrice deMn1(K), dont le polynˆome caract´eristique est scind ´e, est trigonalisable, montrons que cela est vrai pour toute matrice deMn(K). SoitA2 Mn(K), telle que le polynˆomepAsoit scind´e surK. Le polynˆomepAadmet donc au moins une racinedansK. Consid´erons un vecteur propreedansKnassoci´e`a la valeur propre. Compl´etons le vecteureen une baseB= (e;e2;:::;en)deKn. SoituA l"endomorphisme deKnassoci´e`a la matriceA,i.e., l"endomorphisme d´efini, pour tout vecteur xdeKn, paruA(x) =Ax. On a u

A(e) =Ae=e;

CHAPITRE 7. TRIGONALISATION ET DIAGONALISATION

DES MATRICES3

par suite, la matrice de l"endomorphismeuAexprim´e dans la baseBest [uA]B=2 6 664
0...B 03 7 775;
o `uBest une matrice deMn1(K). La matriceA´etant semblable`a la matrice[uA]B, il existe une matrice inversiblePdeMn(C), telle que P 1AP=2 6 664
0...B 03 7 775:

De plus, d"apr

`es 6.3.8, le polynˆome caract´eristique du blocBdivise le polynˆome caract´eristique

de la matriceA, il est donc scind´e comme ce dernier. Par hypoth`ese de r´ecurrence, la matriceB

est semblable `a une matrice triangulaire sup´erieure, il existe une matrice inversibleQdans M n1(K), telle quet0=Q1BQsoit triangulaire sup´erieure. En multipliant par blocs, on a : 2 6

6641 00

0...Q 03 7 7751
P 1AP2 6

6641 00

0...Q 03 7 775=2
6 664

0...Q1BQ

03 7 775
2 6 664

0...T0

03 7 775:

En posant

R=P2 6

6641 00

0...Q 03 7 775;
la derni `ere´egalit´e s"´ecrit R 1AR=2 6

6641 00

0...Q 03 7 775:
Ainsi,Aest semblable`a une triangulaire sup´erieure.

7.1.5. Trigonalisation surC.-Voici une premi`ere cons´equence importante du th´eor`eme de

trigonalisation.D"apr nul deC[x]est scind´e surC. Par suite, on a 4

CHAPITRE 7. TRIGONALISATION ET DIAGONALISATION

DES MATRICES7.1.6 Proposition.-Toute matriceAdeMn(C)est trigonalisable dansMn(C).Notons que toute matriceAdeMn(R)peut toujours se trigonaliser dansMn(C). En effet,

si le polyn ˆome carat´eristique deAest scind´e surR,Aest trigonalisable dansMn(R). Sinon, le polyn ˆomepAest toujours scind´e dansMn(C). Il existe alors une matrice inversiblePet une matrice triangulaireTdeMn(C)telles queA=PTP1.

7.1.7. Exemple.-La matrice suivante deM4(R)

A=2 6

6401 1 1

1 0 1 1

0 0 01

0 0 1 03

7 75
admet pour polyn

ˆome caract´eristique

p

A= (x2+ 1)2:

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