MATRICE DE TRANSITION
Le tableau suivant est la Matrice de Transition de WARA pour le second semestre 2019 Ce tableau résume, en pourentages, le taux de migration d’une atégorie de notation vers une autre, entre le 30 juin 2019 et le 31 décembre 2019 D’une manière générale, les notations de WARA sont restées très stables au cours de la période, à
MATRICE DE TRANSITION
Le tableau suivant est la Matrice de Transition de WARA pour le second semestre 2020 Ce tableau résume, en pour entages, le taux de migration d’une atégorie de notation vers une autre, entre le 30 juin 2020 et le 31 décembre 2020 D’une manière générale, les notations de WARA sont restées stables au cours de la période, avec
Graphes lexique TES - MatMirf
matrice de transition est donnée ci-contre La somme des éléments d’une ligne vaut 1 0,9 0,1 0 0,3 0,2 0,5 0,2 0 0,8 Propriété 5 : Si M est la matrice de transition d’un graphe probabiliste, si P 0 est la matrice ligne décrivant l’état initial, et P k l’état probabiliste à l’étape k, on a P k = P 0 ×M k
CHAPITRE 3 GRAPHES PROBABILISTES 1 Graphe probabiliste
Propriété admise: soit M est la matrice de transition d'un graphe probabiliste, P0 la matrice décrivant l'état initial d'une expérience aléatoire et Pn l'état probabiliste à l'étape n Alors, pour tout n⩾0; Pn=P0×M n Exemple des Puces : Pour déterminer P4 et P5, on peut calculer respectivement P 0×M 4 et P 0×M 5
GRAPHES - EXERCICES CORRIGES Compilation réalisée à partir d
Déterminer la matrice ligne P 0 de l’état probabiliste initial 2 Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B, A pour Aurore et B pour Boréale 3 a Écrire la matrice de transition M de ce graphe en respectant l’ordre alphabétique des sommets b Montrer que la matrice ligne P 1 est égale à (0,3 0,7) 4 a
FILTRAGE PARTICULAIRE MODÈLES DE MARKOV CACHÉS
ainsi il s’agit bien d’une chaîne de Markov de matrice de transition Q k (x,x 0 ) = P(f k (x,W 1 ) = x 0 ) si f= f k ne dépend pas de k, alors cette chaîne est homogène
Exercice : Simuler et étudier une marche aléatoire
Soit la variable aléatoire donnant l’état d’un habitant pris au hasard à l’année n On suppose que la loi de probabilité de (ce que l’on appellera la loi de probabilité initiale) est donnée par le vecteur-ligne + (On a notamment = ) Partie 1 1) Dessiner un graphe et écrire la matrice de transition T relative à ce processus
Matrice de communication
plus complexes de communiquer et nous avons besoin d’exprimer de nouveaux messages, ce qui ne peut se faire si on utilise les comportements précoces de communication La Matrice est organisée en quatre raisons basiques de communiquer, décrites ci-après 1 REFUSER ce qu’on ne veut pas
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Exercice : Simuler et étudier une marche aléatoireUne puce se déplace (à raison d'uns aut par seconde) sur les sommets d'un triangle équilatéral ABC.A chaque seconde, elle saute de façon aléatoire d'un sommet à l'autre, en choisissant avec une égale probabilité (égale à ) l'un des deux sommets possibles.1)A l'aide d'un tableur, nous allons simuler 1000 marches aléatoires de 10 sauts, la position initiale de la puce étant le sommet A. Pour cela, on pourra associer aux sommets A, B et C du triangle les nombres 0, 1 et 2. Expliquer pourquoi, si on écrit le nombre 0 dans la cellule A1, la formule =MOD(A1+2*ALEA.ENTRE.BORNES(0;1)-1;3) écrite dans la cellule B1, convient pour simuler le premier saut. Effectuer la simulation et compter grâce à la fonction NB.SI() le nombre de fois où la puce s'est arrêtée sur chaque sommet à l'issue de ses 10 sauts.2)Pour , soit la variable aléatoire donnant la position de la puce à l'instant et la matrice-ligne associée à la loi de probabilité de . Initialement la puce est située sur le sommet A.a. Démontrer que et que la matrice de transition est .b. Grâce à la calculatrice, calculer . Comment peut on interpréter chacun des coefficients de ce vecteur-ligne? Comparer avec les résultats obtenus lors de la simulation.Exercice : Etudier un processus évolutif aléatoireDans une grande ville (dont on suppose que la population reste globalement constante), on cherche à étudier les mouvements de la population entre la banlieue et le centre ville. On considère pour cela que, si on choisit au hasard un habitant de la banlieue, il a une probabilité de 0,03 de déménager au centre-ville l'année suivante ; de même si on choisit au hasard un habitant du centre-ville, il a une probabilité de 0,07 de déménager en banlieue l'année suivante.On note A l'état " habiter au centre-ville » et B l'état " habiter en banlieue ». On identifiera l'ensemble des états à l'ensemble .Soit la variable aléatoire donnant l'état d'un habitant pris au hasard à l'année . On suppose que la loi de probabilité de (ce que l'on appellera la loi de probabilité initiale) est donnée par le vecteur-ligne (On a notamment ).Partie 11)Dessiner un graphe et écrire la matrice de transition T relative à ce processus.2)Pour cette question, on prend .Calculer les matrices-lignes et associées aux lois de probabilités des variables aléatoires et . Que constate-t-on?On dit que la loi de probabilité est une loi invariante pour ce processus.3)Dans cette question, on prend . Grâce à la calculatrice, calculer les lois de probabilité , , et (arrondir les résultats au millième). Que peut-on dire de l'évolution de la répartition de la population entre centre-ville et banlieue au cours des années?12n∈!XnnUnXnU0=100()T=012121201212120⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟U10A;B{}1;2{}XnnX0U0=x0y0()x0+y0=1x0=0,3U1U2X1X2U0=0,30,7()x0=0,2U3U5U10U30
Partie 2Pour tout , on note le vecteur-ligne donnant la loi de probabilité de . On prend toujours . Nous allons, dans cette partie, déterminer une expression explicite des termes généraux des suites et .1)Soit . Démontrer que P est inversible et calculer P-1
.2)A l'aide de la calculatrice, démontrer que la matrice D définie par est une matrice diagonale dont on donnera les coefficients.3)En déduire que l'on a . Comment peut on justifier que, pour tout , on a ?4)Calculer explicitement les coefficients de la matrice en fonction de .5)En déduire les expressions des termes généraux des suites (xn) et (yn).Exercice : Modèle proie-prédateurLes chouettes tachetées sont les principaux prédateurs d'une expèce de souris vivant dans la même région. On cherche à étudier l'évolution des deux populations mois après mois. Notons un la population des chouettes et vn celle des souris (en milliers) au n-ième mois. On suppose :1)a. S'il n'y avait aucune souris, comment évoluerait la population de chouettes? b. S'il n'y avait aucune chouette, que se passerait-il pour la population des souris?2)Notons , pour tout entier n.a. Ecrire le système linéaire sous la forme d'une égalité matricielle du type où A est une matrice carrée d'ordre 2 que l'on précisera.b. Démontrer soigneusement que l'on a pour tout .3)On pose .a. Calculer la population de chacune des deux espèces après un mois, après deux mois.b. En utilisant la calculatrice et en s'appuyant sur les résultats de la question 2b, calculer (à l'unité près) X6, X12 et X18.4)Que peut-on conjecturer quant à l'évolution de la répartition des deux populations lorsque n tend vers ?n∈!Un=xnyn()Xnx0=0,2xn()yn()P=171-3⎛⎝⎜⎞⎠⎟D=P-1TPT=PDP-1n∈!Tn=PDnP-1Tnnun+1=0,5un+0,5vnvn+1=-0,1un+1,1vn⎧⎨⎪⎩⎪Xn=unvn⎛⎝⎜⎞⎠⎟Xn+1=AXnXn=AnX0n∈!X0=80100⎛⎝⎜⎞⎠⎟+∞
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