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MATHÉMATIQUES
Licence 1
l CAPESTOUT LE COURS EN FICHES
MATHÉMATIQUES
Licence 1
l CAPESTOUT LE COURS EN FICHES
Claire David
Maître de conférences à l"UPMC (université Pierre-et-Marie-Curie), ParisSami Mustapha
Professeur à l"UPMC (université Pierre-et-Marie-Curie), Paris Illustration de couverture :©delabo - Fotolia.com©Dunod, 2014
5 rue Laromiguière, 75005 Paris
www.dunod.comISBN 978-2-10-059992-9
Table des matières
Avant-proposX
Comment utiliser cet ouvrage?XII
Partie 1
Calculus
Nombres réels1
Fiche 1 Les ensembles de nombres 2
Fiche 2 Intervalles, voisinages, bornes 6
Limites8
Fiche 3 Limite d"une fonction en un point 8
Fiche 4 Limite d"une fonction en+∞ou-∞12 Fiche 5 Propriétés des limites - Opérations sur les limites 14Fiche 6 Notations de Landau 16
Fonctions numériques18
Fiche 7 Domaine de définition d"une fonction, graphe 18 FocusLa construction de l"ensemble des réels : les coupures de Dedekind21Fiche 8 Comment définir une fonction? 22
Fiche 9 Majorations et minorations 24
Fiche 10 Fonctions monotones 26
Fiche 11 Parité, imparité 28
Fiche 12 Symétries 30
Fiche 13 Fonctions périodiques 32
Fonctions usuelles33
Fiche 14 Fonctions puissances entières 33
Fiche 15 Fonctions polynômes et fonction valeur absolue 35FocusJohn Napier et les tables logarithmiques38
Fiche 16 La fonction logarithme népérien 39
Fiche 17 La fonction exponentielle 41
Fiche 18 Fonctions puissances " non entières » 43FocusLeibniz et la fonction exponentielle44
Fiche 19 Fonctions circulaires 45
Fiche 20 Fonctions hyperboliques 47
FocusL"origine de la trigonométrie49
Continuité51
Fiche 21 Continuité d"une fonction en un point 51Fiche 22 Fonctions continues sur un intervalle 55
Dérivabilité58
Fiche 23 Dérivabilité en un point 58
©Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. vFiche 24 Dérivabilité sur un intervalle 61
Fiche 25 Dérivées successives 65
Fiche 26 Théorème des accroissements finis et théorème de Rolle 67Fiche 27 Formule de Taylor-Lagrange 71
Fonctions réciproques72
Fiche 28 Fonctions réciproques 72
Fiche 29 Les fonctions trigonométriques inverses 75Fiche 30 Les fonctions hyperboliques inverses 79
Développements limités81
Fiche 31 Développements limités 81
Fiche 32 Formule de Taylor-Young 84
Fiche 33 Développements limités usuels 89
Fiche 34 Opérations algébriques et composition des développements limités 92Développements asymptotiques95
Fiche 35 Développements asymptotiques 95
Convexité96
Fiche 36 Convexité 96
Équations différentielles linéaires du 1
er ordre100 Fiche 37 Équations différentielles linéaires du 1 er ordre homogènes 100 Fiche 38 Équations différentielles linéaires du 1 er ordre avec second membre 103Fonctions de plusieurs variables111
Fiche 39 Topologie 111
Fiche 40 Fonctions de plusieurs variables 117
Fiche 41 Les systèmes de coordonnées usuelles 119 Fiche 42 Limites, continuité et dérivation 121Exercices129
Corrigés133
Partie 2
Algèbre
Le plan complexe - Les nombres complexes161
FocusLes nombres complexes162
Fiche 43 Le corps des nombres complexes 164
Fiche 44 Représentation géométrique des nombres complexes 167Fiche 45 Inversion des nombres complexes 170
Fiche 46 Propriétés fondamentales des nombres complexes 172 Fiche 47 Complément : les polynômes de Tchebychev 174Fiche 48 Racinesn
i`emes de l"unité, racinesn i`emes complexes 177 Fiche 49 Factorisation des polynômes dans le corpsC180 Fiche 50 Fractions rationnelles et décomposition en éléments simples 185 viTable des matières
Fiche 51 Transformations du plan : translations, homothéties 196Fiche 52 Transformations du plan : rotations 198
Fiche 53 Transformations du plan : similitudes 200 FocusTransformations complexes, fractales, et représentations de la nature 204Matrices206
Fiche 54 Matrices de taille2×2206
Fiche 55 Déterminant de matrices de taille2×2208Fiche 56 Matrices de taille3×3210
Fiche 57 Déterminant de matrices de taille3×3213Fiche 58 Matrices de taillem×n216
Fiche 59 Opérations sur les matrices 218
Fiche 60 Matrices remarquables 220
Fiche 61 Introduction aux déterminants de matrices de taillen×n224Fiche 62 Inversion des matrices carrées 226
FocusL"origine des matrices230
FocusLes matrices et leurs applications232
Fiche 63 Systèmes linéaires 234
Fiche 64 Vecteurs 238
Fiche 65 Barycentres 242
Fiche 66 Droites, plans 246
Fiche 67 Produit scalaire 249
FocusProduit scalaire, espaces fonctionnels et calcul numérique253Fiche 68 Produit vectoriel 254
Fiche 69 Aires et volumes 256
FocusGéométrie euclidienne - ou non? Encore des matrices!258Transformations linéaires du plan260
Fiche 70 Bases et transformations linéaires du plan 260 Fiche 71 Changement de base endimension 2, et déterminant d"une application linéaire 264 Fiche 72 Conjugaison - Matrices semblables de taille2×2266 Fiche 73 Opérateurs orthogonaux en dimension 2 268Fiche 74 Rotations vectorielles du plan 270
Transformations linéaires de l"espace273
Fiche 75 Bases de l"espaceR
3 273Fiche 76 Transformations linéaires de l"espaceR 3 274
Fiche 77 Changement de base en dimension 3 278
Fiche 78 Conjugaison - Matrices semblables de taille3×3280Fiche 79 Opérateurs orthogonaux de l"espaceR
3 282Fiche 80 Rotations vectorielles de l"espaceR
3 284L"espaceR
n 286Fiche 81 Vecteurs en dimensionn,n?2286
©Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. vii Fiche 82 Espace engendré par une famille de vecteurs - Sous-espaces vectoriels deR n 288Fiche 83 Transformations linéaires de l"espaceR n 291