TD 03 : Matrices
Montrer que A est la matrice nulle 17 / On note GL n(Z) l’ensemble des matrices de M (Z) à coefficients en-tiers, inversibles et dont l’inverse est aussi à coefficients entiers (a)Montrer que si A ∈GL n(Z), alors detA = ±1 (b)Soient A,B ∈M n(R) telles que pour tout k ∈[[0,2n]],A+ kB ∈ GL n(Z) Déterminer au signe près les
Définition et opérations sur les matrices
La matrice nulle de format ,np notée O np, (tous ses coefficients sont nuls) est élément neutre c’est-à-dire M p,A, Toute matrice M np, AK admet une matrice opposée notée A telle que O np, c) Multiplication d’une matrice par un scalaire Pour tout K, le produit de la matrice par le scalaire est la matrice , 1 1 ij in jp Pp dd dd notée A
Calcul matriciel
On appelle matrice nulle de format (n,p) la matrice de format (n,p) dont tous les coeffi-cients sont nuls On la note 0n,p ou 0 si cette notation ne présente pas d’ambiguïté
ALG 10 Matrices et applications linéaires
quelconque est la matrice nulle de Mn(K) Exemple 10 3 Dans les espaces canoniques Kn et Kn[X] On notera Bn la base canonique de Rn Les matrices des applications
TP 5 Correction - A retenir - Mathématiques en ECS1
matrice vide matrice nulle matrice identit e [] zeros(p,n) eye(p,n) La commande--> A= diag(v) cr ee la matrice dont la diagonale est v La commande--> diag(v,1) cr ee la matrice dont la sur-diagonale est 1, et en n-->v=diag(A) cr ee le vecteur colonne des el ements diagonaux de A On peut construire des matrices al eatoires avec les commandes
CALCUL MATRICIEL Exercices - bagbouton
différente de la matrice nulle de M n,1 ( ) et B XX = t ( ndésignant un entier naturel non nul et t X la transposée de la matrice X) 1) Montrer que le
Réduction de matrices et endomorphismes
1 5 Matrice de rang 1 : Soit Aune matrice de M n(R) a) Montrer que rg (A) = 1 si et seulement si il existe deux matrices colonnes U et V non nulles telles que A= U tV b) Soit Aune matrice de rang 1 Montrer que Aest diagonalisable si et seulement si rT (A) 6= 0 c) Si Aest une matrice de rang 1, calculer Ak pour tout entier k∈ N
Structures algébriques (partie1) - AlloSchool
1)la matrice : 2 10 01 I §· ¨¸ ©¹ s’appelle la matrice unitaire Et on a : A I Au 2 AM 2 2)la matrice : 00 0 00 §· ¨¸ ©¹ s’appelle la matrice nulle Et on a : AA 0 6-2) matrice carrée d'ordre 3 a)Définition : 1)Une matrice carrée d'ordre 3 à coefficients réels est un tableau de 9 nombres 2) l’ensemble des matrices carrées
Programme du 08 février au 19 février
Déterminer si une matrice carrée d’ordre 3 donnée par le colleur est inversible et le cas échéant calculer son inverse Programme du 08 février au 19 février Calcul matriciel : Notion de matrice, de matrice carrée, de matrice diagonale, de matrice triangulaire supérieure et triangulaire inférieure Matrice nulle, matrice identité
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Les matrices
1 Approche par les systemes
Exemple 1.Resoudre le systeme suivant par la methode de substitution :8>< :2x+y+z= 6 xyz= 03x+ 2yz= 7
Exemple 2.Resoudre le systeme suivant par la methode de combinaison lineaire :8>< :x+ 2y+ 3z= 95xy+ 2z= 17
x+y+z= 4 Exemple 3.Resoudre le systeme suivant par la methode de votre choix : 8>>>< >>:x+z= 6 y+t= 3 x+y= 5 z+t= 4Remarque.En plissant un peu les yeux et en penchant la t^ete vers la gauche, on voit une ressemblance
entre ces systemes et l'equation :ax=b...(si si !)2 Approche par les vecteurs
Vous ^etes familier de l'utilisation des vecteurs en mathematiques mais aussi en mecanique ouailleurs. Ce sont des tableaux de nombres presentes sous forme de lignes ou bien de colonne, avec 2, 3
ou 4 nombres.Exemple 4.
1)En g eometrieplane : en ligne
!u(1;2), ou en colonne!v 3 4! 2)En g eometriedans l'espace : en ligne
!u(1;2;3), ou en colonne!v0 B @3 4 51C A. 3) En mecanique, un vecteur decrit la position spatiale et temporelle d'un objet : en ligne!u(x;y;z;t), ou en colonne!v0 B BB@x y z t1 C CCA. 1
3 Generalisation : les matricesUne matricenpa coecient reels est un tableau de nombres reels denlignes et depcolonnes.
A=0 B B@a1;1a1;2::: a1;p
a2;1::: ::: a2;p
::: ::: a i;j::: a n;1::: an;p1 C CA Chaque coecient est designe par ses \coordonnees "dans le tableau :ai;jse situe a l'intersection de la \ieme"ligne et de la \jeme"colonne.DenitionRemarque.
1) u nematrice a nligne etpcolonnes est dite de type ou de format \n;p"ou \np"; 2) u nematrice constitu eed'une seule colonne est dite \matrice colonne" ; 3) u nematrice constitu eed'une seule ligne est dite \matrice ligne" ; 4) u nematrice p ossedantnlignes etncolonnes est dite \carree d'ordren";4 Les operations sur les matrices
SoientA=(ai;j)etB=(bi;j)toutes les deux de m^eme formatnp, alors la sommeC=A+B est la matrice de terme generalci;j=ai;j+bi;j. 0 @a1;1::: a1;p
::: a i;j::: a n;1::: an;p1 A +0 @b1;1::: b1;p
::: b i;j::: b n;1::: bn;p1 A =0 @a1;1+b1;1::: a1;p+b1;p
::: a i;j+bi;j::: a n;1+bn;1::: an;p+bn;p1ALa somme
Remarque.
1) si AetBsont de m^eme format, alorsA+B=B+A; 2) on dit qu'une matrice est nulle si tous ces coecients sont nuls. La matrice nulle de formatn;p sera notee 0 n;pou plus simplement 0 ; 3) si Aest une matrice de formatn;pet 0 la matrice nulle de m^eme format, alorsA+ 0 =A; 4)si Aest une matrice, on noteAla matrice telle queA+ (A) = 0 ;SoitAune matrice etun reel quelconque, alors:Aest la matrice de terme general:ai;j:
0 @a1;1::: a1;p
::: a i;j::: a n;1::: an;p1 A =0 @:a1;1::: :a1;p
::: :a i;j::: :a n;1::: :an;p1ALa multiplication par un scalaire
Remarque.
1) a insiA= (1):A; 2)si 2R,AetBdes matrices de m^eme format, alors:(A+B) =:A+:B;SoientAune matricenpetBune matricepq, alors on peut eectuer le produitC=AB
qui est la matrice de formatnqde terme general : c 0 @b1;1::: b1;q
::: b i;j::: b p;1::: bp;q1 A 0 @a1;1::: a1;p
::: a i;j::: a n;1::: an;p1 A0 @c1;1::: c1;q
::: c i;j::: c n;1::: cn;q1ALa multiplication entre matrices
Remarque.
1) On ne peut pas multiplier n'importe quelles matrices les unes avec les autres : on peut se souvenir de la sorte de relation de Chasles sur les formats suivante :n;pp;q=n;q; 2) En g eneralAB6=BA: la multiplication n'est pas commutative ; 3)O na A0 = 0 (avec les formats adequats)
4)S iAest carree d'ordren, on noteIn=0
BB@1 0:::0
0 1:::0
:::0 1:::0 0:::11
CCAla matrice dont tous les coecients
de la diagonale valent 1 et les autres 0, alorsInA=AIn=A.Inest l'element neutre de la multiplication. 5) Il n'existe pas de division c hezles matrice s,on ne p eutdonc en aucun cas ecrire ABRemarque.
Un systeme denequations apinconnues peut toujours s'interpreter a l'aide d'un produit de matrices.Exemple 5.
8>< :2x+y+z= 6 xyz= 03x+ 2yz= 7,0
@2 1 1 1113 211 A |{z} A0 @x y z1 A |{z} X=0 @6 0 71
A |{z}
B,AX=B
L'idee est d'adapter alors ce qu'on fait pour les nombres (ax=b,x=ba sia6= 0). La matriceAest dite inversible s'il existe une matrice noteeA1telle queA1A=AA1=I ouIest la matrice identite de m^eme taille queA(ce qui implique queAdoit au moins ^etre une matrice carree...).Des lors on aAX=B,A1AX=A1B,IX=A1B,X=A1B.A l'aide de la calculatrice, calculer pour la matriceAci-dessusA1et en deduireX=A1B.
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