II le cercle trigonométrique abscisses curvilignes : égalité
il existe un et un seul abscisse curviligne de M qui appartienne à , ( c à d 2k) cet abscisse est appelé abscisse curviligne principal de M d Remarque : Si M est situé sur le demi cercle « supérieure » la mesure principale appartienne à 0, Si non la mesure principale appartienne à ,0
I- Mouvement de rotation d’un solide autour d’un axe fixe
2- abscisse curviligne : On appelle abscisse curviligne du point mobile M à un instant t la valeur algébrique de l’arc : = ̂0 L’unité de mesure de l’abscisse curviligne est le mètre (m) S est une grandeur algébrique sa signe dépend de l’orientation de la trajectoire 3- La relation entre l’abscisse curviligne et
Mouvement de rotation autour d’un axe fixe
b – Abscisse curviligne On appelle abscisse curviligne du point mobile G à un instant donné t la valeur algébrique de la distance s AG L’unité de mesure de l’abscisse curviligne dans le système international des (S I) est le mètre noté : m c – Relation entre l’abscisse curviligne et l’abscisse angulaire (Activité 2) :
ROTATION DUN SOLIDE AUTOUR DUN AXE FIXE 1 - Définition
1 - Abscisse curviligne 2 - Abscisse angulaire On peut aussi repérer la position du mobile sur le cercle trajectoire par la donnée de l'angle θ(t) orienté au centre du cercle : θ(t) = ( ; ) en Unité de l’abscisse angulaire est le radian (rad) Soit M un point quelconque choisi sur le cercle trajectoire
الشغــل و الطــاقة الحــركـية - Dyrassa
Abscisse angulaire (rad) Rayon (m) Abscisse curviligne (m) θ 2 n Nombre de tours Abscisse angulaire (rad) en rad t en s m en rad s-1 θi 1 Abscisse angulaire à instant ti 1 θi 1 Abscisse angulaire à instant ti 1 d en m t en s Vm en m s-1
01: 06: - Dyrassa
Déterminer l'abscisse curviligne principale de chaque point dont une abscisse curviligne est: 22) 4 a 44) 6 b 214) 6 c d)12 29) 2 e Représenter ces point sur un cercle trigonométrique Exercice 03: Montrer que les nombres suivants sont les abscisses curvilignes du meme point d'un cercle trigonométrique: 96 16 12, 777 et
a)aa))a) Le radianLe radian Soit x un réel et un cercle
On dit réciproquement que x est une abscisse curviligne de M Par définition, x est une mesure en radians de l’angle IOMÆ Cela revient à « enrouler » sur le cercle la droite numérique graduée d’origine I Exemples J' Théorème (admis) Deux réels ont la même image sur le cercle trigonométrique si et seulement si leur
PROGRAMME DE PHYSIQUE (1BIOF)
1) Déterminer les valeurs de l’abscisse curviligne du point M à l’instant t = 0 et sa vitesse linéaire Exploitation : La courbe représentative de θ = f(t) est une droite affine d’équation mathématique de la forme θ = at + b , avec a est le coefficient directeur de cette droite tel que :
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a)a)a)a) Le radianLe radianLe radianLe radian Rappel Le périmètre d"un cercle de rayon R est : 2π RDéfinition
Soit AEAOB un secteur angulaire.
Une mesure en radians de l"angle
AEAOB est
égale à la longueur de l"arc intercepté par le secteurAEAOB sur un cercle de centre O et de rayon 1.
Mesures Si AEAOB = 0°, alors B" = A" donc ÈA"B" = 0 et AEAOB = 0 rad. SiAEAOB = 180°, B" est sym. de
A " par rapport à O donc ÈA"B" = π et AEAOB = π rad Par définition, les mesures en radians sont proportionnelles à celles en degrés donc : x en ° 0 30 45 60 90 180 360α en rad 0
6 4 3 2π 2π
En particulier on en déduit la formule α =
180x
Conséquences
La longueur L d"un arc d"angle au centre α rad le long d"un cercle de rayon R est:L = Rα
b)b)b)b) Cercle trigonométriqueCercle trigonométriqueCercle trigonométriqueCercle trigonométrique
Définition Une unité étant fixée, on appelle cercle trigonométrique un cercle de centre O et de rayon 1, muni d"un point origine I et d"un sens de rotation appelé sens direct (en général celui contraire aux aiguilles d"une montre). Soit x un réel et ? un cercle trigonométrique.On appelle image de
x sur ? le point M de ? obtenu en se déplaçant d"une longueur x sur ? à partir de I, • dans le sens direct si x > 0 • dans le sens indirect si x < 0On dit réciproquement que x est une abscisse
curviligne de M.Par définition,
x est une mesure en radians de l"angleAEIOM.
Cela revient à " enrouler » sur le cercle la droite numérique graduée d"origine I.Exemples
Théorème (admis) Deux réels ont la même image sur le cercle trigonométrique si et seulement si leur
différence est de la forme 2 kπ, avec k?? (autrement dit s"il y a un nombre entier de tours complets entre les deux images).Par conséquent si
x est une abscisse curviligne de M, alors tout réel de la forme x+2 kπ (avec k☻?) est aussi une abscisse curviligne de M. I I' JJ'O O A B A' B' 1 1• Le nombre 0 a pour image le point I de même que les nombres 2π, 4π ... ou -2π; -4π...
• Le nombre π a pour image le point I" de même que les nombres 3π, 5π... ou -π, -3π...
• Le nombre 2 a pour image le point J de même que 5π 2 , 9π 2 ... ou - 3π 2 7π 2 • Le nombre - 2 a pour image le point J" de même que 3π 2 , 7π 2 ... ou - 5π 2 9π 2 I OPage 2
c)c)c)c) Angle orienté de deuAngle orienté de deuAngle orienté de deuAngle orienté de deux vecteurs non nulsx vecteurs non nulsx vecteurs non nulsx vecteurs non nuls
Définition Soient A et B deux points d"un cercle trigonométrique ? de centre O.On appelle angle orienté de vecteurs
ÄOA et
OB et on note (ÄOA , ÄOB) la différence
sB - sA des abscisses curvilignes de A et de B.ÄOA , ÄOB) =
sB - sA Si u et Å v sont deux vecteurs non nuls, et A et B les points de ? tels que : u est colinéaire et de même sens que ÄOA ; • Åv est colinéaire et de même sens que ÄOB.Alors on pose :
u , Åv) = (ÄOA , ÄOB)Ainsi (Å
u , Å v) est l"angle formé par les deux vecteurs Å u et Å v, orienté de Å u vers Å v, quand Å u et Å v ont même origine. DéfinitionSoit (Å
u , Åv) un angle orienté.u , Åv ) possède une infinité de mesures en radian, différant toutes de multiples de 2π.
Il en existe donc une et une seule située dans l"intervalle ]-π , π].Elle est appelée mesure principale de (
u , Å v).Exemple
[OK) étant la bissectrice de AEIOJ :La mesure principale de (
ÄOI , ÄOI) est 0
La mesure principale de (
ÄOI , ÄOJ) est
2La mesure principale de (
ÄOI , ÄOJ") est - π
2La mesure principale de (
ÄOI , ÄOK) est
4La mesure principale de (
ÄOK , ÄOJ") est - 3π
4d)d)d)d) Cosinus et sinus d"un angle oCosinus et sinus d"un angle oCosinus et sinus d"un angle oCosinus et sinus d"un angle orientérientérientérienté
On considère un cercle trigonométrique ? de centre O et d"origine I. Il munit le plan d"un repère orthonormé (O ; ÄOI , ÄOJ). Soit x un réel et M l"image de x sur ? (c"est à dire le point de ? d"abscisse curviligne x).Définition
cos x est l"abscisse de M dans le repère (O ; ÄOI , ÄOJ). sin x est l"ordonnée de M dans le repère (O ; ÄOI , ÄOJ). A B I O sB - sA 1Åv Å
u 1 ? (Åu , Åv) I I' JJ'O K x cos x sin x A B I O I JO MPage 3
Remarque Si
x ? ]0 ; 2 [, cette définition est compatible avec celle connue dans un triangle rectangle (et donc pour un angle strictement aigu).Conséquences
Soit x un réel. • Pour tout entier k, cos ( x + 2 kπ) = cos x et sin ( x + 2 kπ) = sin x • -1  cos x Â1 • -1  sin x  1 • cos2x + sin
2x = 1 (car c"est OH
2+HM2 = OM
2 = 12 = 1 d"après Pythagore)
e)e)e)e) Valeurs particulièresValeurs particulièresValeurs particulièresValeurs particulières
A la lecture du cercle trigonométrique, on constate que : cos(0) = 1 et sin (0) = 0De même cos
2 = 0 et sin
2 = 1, cos(π) = -1 et sin(π) = 0
Et enfin cos
2 = 0 et sin
2 = -1.
Cherchons les valeurs particulières pour
6 (c"est-à-dire 30°) et 3(soit 60°). Pour cela on raisonne dans cette figure qui est un triangle équilatéral IJK de côté 1 dans
lequel H est le milieu du segment [JK]. IJK est équilatéral donc sa médiane (IH) est aussi sa hauteur et ainsi (IH) ? (JK).