[PDF] TD2 : Relations d’ordre et d’équivalence (avec corrigé)

Relation d’équivalence, relation d’ordre 1 Relation d’équivalence

Exercice 2 Montrer que la relation R définie sur R par : xRy()xey =yex est une relation d’équivalence Préciser, pour x fixé dans R, le nombre d’éléments de la classe de x modulo R Indication H Correction H Vidéo [000212] 2 Relation d’ordre Exercice 3 Soit (E;6) un ensemble ordonné On définit sur P(E)nf0/gla relation ˚par X

TD2 : Relations d’ordre et d’équivalence (avec corrigé)

TD2 : Relations d’ordre et d’équivalence (avec corrigé) Exercice 1: (a) Prouvez que la relation sur Z aRb ⇔ a −b est un multiple de 5 est une relation d’équivalence Solution: On vérifie les 3 conditions : — Réflexivité : Soit x ∈ Z On veut prouver xRx, c’est à dire x− est un multiple de 5 On a x − x = 0 = 5 ×0

1 Exemples simples de relations d’équivalence

(a;b) ˘(c;d) ssiad bc= 0: 1 Prouvez que la relation ˘est une relation d’équivalence, et que l’ensemble quotient E=˘est en bijection avecl’ensembleQ desnombresrationnels 2 Prouvez que les opérations et sont compatibles avec ˘, et que leurs quotients sont les opérations d’additionetdemultiplication(classiques)surQ 5

Daniel ALIBERT Ensembles, applications Relations d

Une relation réflexive, symétrique et transitive est appelée une relation d'équivalence Définition Soit E un ensemble, muni d'une relation d'équivalence R Pour tout élément x de E, on appelle classe d'équivalence de x et l'on note C(x) le sous-ensemble de E formé des éléments y tels que x R y soit vrai

Feuille d’exercice n 08 : Relations d’ordre et d’équivalence

Feuille d’exercice n° 08 : Relations d’ordre et d’équivalence, et ensembles de nombres usuels Exercice 1 SoitEunensembleetAunepartiedeE OndéfinitlarelationRsurP(E) par :XRY siX∪A= Y∪A 1) MontrerqueRestunerelationd’équivalence 2) Décrirelaclassed’équivalencedeX∈P(E)

Relations d’équivalence

2 Pour toute relation d’équivalence Rsur E, le sous-ensemble des parties U R est une partition de E 3 U7R Uet R7U R sont des bijections inverses l’une de l’autre entre les partitions de Eet les relations d’équivalence sur E Autrement dit, se donner une relation d’équivalence sur E est “la même chose” que se donner

RELATION BINAIRE - Claude Bernard University Lyon 1

Est une relation d’équivalence sur 2 En vous servant de la division euclidienne, montrer qu’il y a exactement classes d’équivalentes distinctes Allez à : Correction exercice 2 : Exercice 3 : Sur , on considère la relation définie par ( ) ( ) 1 Montrer que est une relation d’équivalence 2

Module B03 Feuille d’exercices N 5 - univ-rennes1fr

Exercice n 6 Soir T la relation d´efinie dans R par : xT y si x3 −y3 = 3(x−y) Montrer que T est une relation d’´equivalence et d´eterminer les classes Exercice n 7 On d´efinit la relation ∼ sur Z par x ∼ y ⇔ x2 ≡ y2 [5] 1) Montrer que ∼ est une relation d’´equivalence et d´eterminer l’ensemble quotient

CHAPITRE 3 : Relations d’équivalence et ensemble quotient

2 2 Représentant canonique et relation d’équivalence induite Dés qu’ils ont choisi une représentation des données A Les informaticiens définissent une fonction canon : A -> A qui à chaque élément a:A associe

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Licence informatique

Elements d'algebre

2015-2016M. DuprezTD 2 : Relations d'ordre et d'equivalence

RelationR:Rest re

exive sixRx;

Rest symetrique sixRy=)yRx;

Rest antisymetrique sixRyetyRx=)x=y;

Rest transitive sixRyetyRz=)xRz.

Exercice 1 :Completer le tableau suivant en indiquant OUI ou NON dans les cases qui conviennent.ensemblerelationre exivesymetriqueantisymetriquetransitive R= R R R< R6=RxRy()x2+y2= 1NdivisionpjqCzRz0() jzj=jz0jNpRq()p+q= 0fdroites du plangk fdroites du plang? R

2(x;y)R(x0;y0)()xx0

yy0Exercice 2 :

1. Quelles relations du tableau precedent peut-on appeler des relations d'ordre?

2. Quelles relations du tableau precedent peut-on appeler des relations d'equivalence?

Exercice 3 :On poseI= [0;2[ et on munitIde la relation d'ordre.

1. Est-ce queIadmet un majorant? une borne superieure? un plus grand element?

2. Montrer queIa un plus petit element.

1

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Elements d'algebre

2015-2016M. DuprezExercice 4 :Pour toutp2Net toutq2N, on pose

pRq()2jpq:

1. La relationRest-elle re

exive? symetrique? antisymetrique? transitive?

2. La relationRest-elle une relation d'ordre ou relation d'equivalence?

Exercice 5 :On denit la relationjsurNpar : pour toutp2Net toutq2N: pjq()(9k2N;q=pk):

1. Montrer quejest une relation d'ordre surN. Est-ce un ordre total?

2. Montrer queNmuni de cet ordre admet un plus petit element et un plus grand

element. Comparer ces resultats a ce que l'on a dansNmuni de l'ordre naturel.

Exercice 6 :Pour toutx2Ret touty2R, on pose

xRy()x2y2=xy:

1. Montrer queRest une relation d'equivalence.

2. Donner la classe d'equivalence dex2Rquelconque.

Exercice 7 :SoitERun ensemble non vide. On noteREl'ensemble des fonctions denies surEa valeurs dansR. Pour toutf;g2REon pose fg()f(x)g(x);8x2E:

1. Montrer queest une relation d'ordre surRE. Est-ce un ordre total?

2. On prend deux elementsf;g2REet on noteA=ff;gg. Montrer quejfj+jgjest

un majorant deA. Proposer un minorant deA. 2quotesdbs_dbs6.pdfusesText_12