TD - Matrices

Exercice 1 — Démontrer le point 4 sur l’inversibilité et l’inverse de la matrice transposée tA Exemple 1 — La matrice identité I n est inversible et : Exemple 2 — Montrer que la matrice nulle 0 n de M n(K) n’est pas inversible Exemple 3 — Montrer que si A2M n(K) possède une ligne ou une colonne nulle, alors A n’est pas

EXOS 02 Matrices - lewebpedagogiquecom

Montrer qu’une matrice carrée B, B ∈ Mn (R), n’est pas inversible si et seulement s’il existe un vecteur non nul V, V ∈ M n;1 (R) , tel que BV = 0 3

TD 3 Matrices inversibles et changements de bases

Montrer que B0= (v 1;v 2;v 3) est une base de R3 3 a Donner la matrice de passage P de la base Bà la base B0 b Calculer son inverse P 1 4 Déterminer la matrice A0de f dans la base B0par deux méthodes di érentes 5 a Calculer la matrice A0n pour tout entier n 2N b En déduire la matrice An pour tout entier n 2N 2

TD - Matrices

Montrer que A ∈GLn (R)et calculer A−1 3 Etudier l’inversibilité de A =(aij)∈Mn déﬁnie par : ˆ aij =a si i =j aij =b sinon Exercice 17 Soit A ∈Mn (R)une matrice nilpotente d’ordre p >1 On pose B =In −A 1 Montrer que B est inversible et exprimer son inverse à l’aide de A (penser à la factorisation de I −Ap) 2

TD 10 Matrices - Mathématiques en ECS1

1 Montrer que Aest inversible et donner son inverse 2 Montrer que A2 + A+ I n est inversible et calculer son inverse Exercice 28 (**) On consid ere la matrice A= 7 5 6 4 : 1 Calculer A2 3A+ 2I 2 En d eduire que Aest inversible et d eterminer A 1 2 Montrer qu’il existe deux suites (a n) et (b n) telles que pour tout n2N, que An = a nA+ b

TD 03 : Matrices

(a)Montrer que le réel detAest une racine d’un polynome de R 3[X] que l’on déterminera (b)En déduire que si A est inversible, alors n est pair Dans la suite, on suppose que n = 3 et on note F = ker(f2 + Id E) (c)Montrer que R3 = ker(f) ⊕F (d)Montrer que F est stable par f, et que l’endomorphisme g:= f F induit par f sur F

Correction R - Le Blog de la SUP1

1 (a) Montrer qu’une matrice A∈Mn(R) est non inversible si et seulement si elle est équivalente à une matrice nilpotente ⇐Supposons qu’il existe N∈Mntelle que A∼N Alors Rang A= Rang Ncar deux matrices équivalentes ont même rang, ⇒ Rang A6 n−1 parce que N/∈GLnet que une matrice non inversible est de rang 6 n−1,

CALCUL MATRICIEL Exercices - bagbouton

1) 1Avec la méthode de Gauss -Jordan, montrer que la matrice P et donner P − 2) 1Montrer que la matrice D P AP = − est une matrice diagonale puis calculer, pour tout entier naturel n, D n 3) Montrer que, pour tout entier naturel n, A PD P nn = −1 On pose, pour tout entier naturel n, 1 2 n nn n u X u u + + = 4) Montrer que

Université Paris Sud Année 2016–2017 L2/S3 M261 PMCP Algèbre

a) Montrer qu’il existe un vecteur ǫ2 tel que f(ǫ2)=ǫ2+ǫ1 b) Déterminer une matrice inversible P telle que P−1AP soit égale à la matrice B suivante : B := 1 1 0 0 1 0 0 0 2 3) Calculer Bn pour tout n > 0, et en déduire An Exercice E : Pour toute valeur du nombre réel a, on désigne par f a l’endomorphisme de R4 dont la matrice

Math Tsi CNC 2020 - WordPresscom

1 2 4 On note Q la matrice Q avec j = c T Montrer que Q est inversible puis justifier que la matrice Q est diagonale précisatlt ses élémellts diagonaux Partie Quclques généralités sur les matrices de permutations Dans cotte parties désigne un élémcnt quelconqtte 2 1 Inversibilité d'une matrice de permutation 2 1 1

[PDF] calculer le déterminant d'une matrice

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1

Matrices

Exercices

?Exercice 1Parmi les matrices suivantes, effectuer tous les produits possibles de deux matrices (il y en a9) :

A=?1 2 3?;B=?1 1 2 2?;C=?1 2 1 22 0 2 0?

D=((123))

;E=((((1 2 1 -2-1 0 2 1-1

0 3 1))))

;F=((1 23 1 -2 1)) ?Exercice 2SoientA=((4-2 0 6-3 0

3-2 1))

etB=((-3 2 0 -6 4 0 -3 2 0)) CalculerABetBA. En déduire que niAniBn"est inversible. ?Exercice 3SoientAetBdeux matrices nilpotentes deMn(K)qui commutent.

Montrer queABetA+Bsont nilpotentes.

?Exercice 4Si(a,b,c)?R3,on noteM(a,b,c) =((a+c b-c b a+ 2c-b -c-b a+c)) et

A=?M(a,b,c),(a,b,c)?R3?

1. Montrer que toute combinaison linéaire d"éléments deAest dansA.

2. Montrer que tout produit d"éléments deAest dansA

?Exercice 5Soita?RetA=((0 1 11 1 11 1a)) ?M3(C).

1. Déterminer le rang deAselon les valeurs dea.

2. En déduire les valeurs deapour lesquellesAest inversible et préciser son inverse.

?Exercice 6A l"aide d"une matrice nilpotente, calculerAn, n?Z, où

A=((-1a a

1-1 0 -1 0-1)) , a?C ?Exercice 7SoitA=?a b c d? ?M2(K).On note trA=a+dlatracedeAetdetA=ad-bc son déterminant.

1. Montrer que :A2-(trA)A+ (detA)I2= 02,2. (théorème de Cayley-Hamilton pour la

dimension2)

2. En déduire queAest inversible si et seulement siad-bc?= 0. Préciser alors son inverse.

?Exercice 8Soient(xn),(yn)et(zn)les suites définies par récurrence parx0= 1,y0=-1, z

0= 1et

?n?N,???x n+1= 4xn-3yn-3zn y n+1= 3xn-2yn-3zn z n+1= 3xn-3yn-2zn

P°ts°iffl

2O. V`a'n`a`d°i`affl 2020/2021

1. Calculer les puissances deA=((4-3-3

3-2-3

3-3-2))

à l"aide d"un polynôme annulateur et de

suites récurrentes.

2. En déduire les expressions de(xn) (yn)et(zn)en fonction den.

?Exercice 9On considère les matrices :

A=((-1 2 2

2-1 2

2 2-1))

,P=1 3(( 2-1-1 -1 2-1 -1-1 2)) etQ=13(( 1 1 1 1 1 1

1 1 1))

1. CalculerP2,Q2,PQetQP.

2. Déterminer deux réelsaetbtels que :A=aP+bQ.

3. Montrer que :?n?N,An=anP+bnQ.

?Exercice 10Soita?R?etA=13(( 0a a2 a -10a a -2a-10))

1. Trouver deux réelsαetβtels que :A2+αA+βI3= 0.

2. Montrer qu"il existe deux suites(an)et(bn)telles que?n?N?, An=anA+bnIn. (On

pourra trouver une relation de récurrence, puis déterminerexplicitement l"expression de a netbnen fonction den.) ?Exercice 11SoitA=((1 1 11 0 01 0 0))

1. Montrer qu"il existe deux suites(an)et(bn)telles que?n?N?, An=anA+bnA2

2. Calculer(an)et(bn)et en déduire la forme générale deAn, n?N?.

?Exercice 12SoitA= (aij)?Mn(K). On appelletracedeAle scalaire noté Tr(A) =n? i=1a ii.

1. Montrer que pour(A,B)?Mn(K)2et(λ,μ)?R2,Tr(λA+μB) =λTrA+μTrB

2. Montrer que pour(A,B)?Mn(K)2,Tr(AB) =Tr(BA)

3. Montrer que pourA?Mn(K)etP?GLn(K),on a Tr?PAP-1?=TrA

?Exercice 13

1. SoitA?Mn(K)etP?GLn(K),etB=PAP-1.CalculerAk(k?N)à l"aide deAet

2. Application : soitA=((2-1 2

-1 2 2

2 2-1))

etP=((1 1 11-1 1

1 0-2))

CalculerD=P-1APet en déduire les puissances deA ?Exercice 14Calculer les inverse deA=((0-1 1 -1 0 1

1 1-1))

etB=((((2 1 1 31 0-1 0

0 2 1 1

4 3 2 4))))

?Exercice 15Soientn?N?etω=e2iπ/n,etA= (aij)? Mn(R)définie paraij=ω(i-1)(j-1).

On note

Ala matrice de terme généralaij.CalculerAAet en déduire queAest inversible et donnerA-1.

P°ts°iffl

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3 ?Exercice 16On noteJn?Mn(K)la matrice dont tous les termes valent1.

1. SoitA?Mn(K),etσla somme de tous les coefficients deA.

Montrer queJnAJn=σJn.Que vautJ2n?

2. SoitA= (aij)?Mndéfinie par :?aij= 0sii=j

a ij= 1sinon.

Montrer queA?GLn(R)et calculerA-1.

3. Etudier l"inversibilité deA= (aij)?Mndéfinie par :?aij=asii=j

a ij=bsinon. ?Exercice 17SoitA?Mn(R)une matrice nilpotente d"ordrep?1.On poseB=In-A.

1. Montrer queBest inversible et exprimer son inverse à l"aide deA(penser à la factorisation

deI-Ap)

2. Application :B=((((1-1 0 0

0 1-1 0

0 0 1-1

0 0 0 1))))

.Montrer queB?GL4et calculerB-1 ?Exercice 18Démontrer le résultat suivant : SoitA= (aij)?Mn(K)une matrice à diagonale strictement dominante, c"est-à-dire vérifiant : ?i??1,n?,|aii|>? j?=i|aij|.

AlorsAest inversible.

?Exercice 19Matrices élémentaires: si(k,?)??1,n?2,on considère la matriceEk?deMn(K) dont tous les termes sont nuls hormis le terme d"indice(k,?)qui vaut1.

1. Exprimer le terme général deEk?à l"aide du symbole de Kroneckerδ.On rappelle que

ij=?1sii=j

0sinon

2. Exprimer une matriceA= (aij)?Mn(K)à l"aide des matricesEk?.

3. Pour(k,?,p,q)??1,n?4,calculerEk?Epq.

4. PourA= (aij)?Mn(K),calculerAEk?etEk?A.

5. En déduire que la multiplication à gauche deAparIn+λEpqopèreLp←Lp+λLq.

6.[?]Déterminer toutes les matricesAdeMn(K)vérifiant:

?M?Mn(K), AM=MA

P°ts°iffl

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[PDF] TD - Matrices

Matrices

Exercices

A=?1 2 3?;B=?1 1 2 2?;C=?1 2 1 22 0 2 0?

D=((123))

0 3 1))))

3-2 1))

Montrer queABetA+Bsont nilpotentes.

A=?M(a,b,c),(a,b,c)?R3?

1. Montrer que toute combinaison linéaire d"éléments deAest dansA.

2. Montrer que tout produit d"éléments deAest dansA

1. Déterminer le rang deAselon les valeurs dea.

2. En déduire les valeurs deapour lesquellesAest inversible et préciser son inverse.

A=((-1a a

1. Montrer que :A2-(trA)A+ (detA)I2= 02,2. (théorème de Cayley-Hamilton pour la

2. En déduire queAest inversible si et seulement siad-bc?= 0. Préciser alors son inverse.

0= 1et

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1. Calculer les puissances deA=((4-3-3

3-3-2))

à l"aide d"un polynôme annulateur et de

2. En déduire les expressions de(xn) (yn)et(zn)en fonction den.

A=((-1 2 2

2 2-1))

1 1 1))

1. CalculerP2,Q2,PQetQP.

2. Déterminer deux réelsaetbtels que :A=aP+bQ.

3. Montrer que :?n?N,An=anP+bnQ.

1. Trouver deux réelsαetβtels que :A2+αA+βI3= 0.

2. Montrer qu"il existe deux suites(an)et(bn)telles que?n?N?, An=anA+bnIn. (On

1. Montrer qu"il existe deux suites(an)et(bn)telles que?n?N?, An=anA+bnA2

2. Calculer(an)et(bn)et en déduire la forme générale deAn, n?N?.

1. Montrer que pour(A,B)?Mn(K)2et(λ,μ)?R2,Tr(λA+μB) =λTrA+μTrB

2. Montrer que pour(A,B)?Mn(K)2,Tr(AB) =Tr(BA)

3. Montrer que pourA?Mn(K)etP?GLn(K),on a Tr?PAP-1?=TrA

1. SoitA?Mn(K)etP?GLn(K),etB=PAP-1.CalculerAk(k?N)à l"aide deAet

2. Application : soitA=((2-1 2

2 2-1))

1 0-2))

1 1-1))

0 2 1 1

4 3 2 4))))

On note

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1. SoitA?Mn(K),etσla somme de tous les coefficients deA.

Montrer queJnAJn=σJn.Que vautJ2n?

2. SoitA= (aij)?Mndéfinie par :?aij= 0sii=j

Montrer queA?GLn(R)et calculerA-1.

3. Etudier l"inversibilité deA= (aij)?Mndéfinie par :?aij=asii=j

1. Montrer queBest inversible et exprimer son inverse à l"aide deA(penser à la factorisation

2. Application :B=((((1-1 0 0

0 1-1 0

0 0 1-1

0 0 0 1))))

AlorsAest inversible.

1. Exprimer le terme général deEk?à l"aide du symbole de Kroneckerδ.On rappelle que

0sinon

2. Exprimer une matriceA= (aij)?Mn(K)à l"aide des matricesEk?.

3. Pour(k,?,p,q)??1,n?4,calculerEk?Epq.

4. PourA= (aij)?Mn(K),calculerAEk?etEk?A.

5. En déduire que la multiplication à gauche deAparIn+λEpqopèreLp←Lp+λLq.

6.[?]Déterminer toutes les matricesAdeMn(K)vérifiant:

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