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On note kXk2 = tXX : kXkest la norme ou la longueur du vecteur X De ce calcul on déduit d’une part que tXX >0 Et aussi que tXX >0 si et seulement si X est le vecteur nul 1 Nous allons montrer que I+M est inversible en montrant que si un vecteur X vérifie (I+M)X =0 alors X =0 Nous allons estimer t(MX)(MX) de deux façons
Feuille d’exercices n 13 : Calcul matriciel
ECE1-B 2015-2016 Feuille d’exercices n°13 : Calcul matriciel Manipulationsdebasesurlesmatrices Exercice 1 ( ) Parmi ces matrices, lesquelles sont triangulaires
Calcul matriciel, corrections des exercices
Calcul matriciel, corrections des exercices 1 Syst`emes lin´eaires Correctiondel’exercice1 1(Syst`emelin´eaireparam´etrique) x + 2y = 1 2x + my = 1
Exercice 1 - unicefr
Exercice 10 { 1) Appliquer avec pr ecision l’algorithme du cours pour inverser la matrice : M= 1 1 2 3 2M 2;2(R) : 2 ) Donner une expression de M 1, puis de Mcomme produit de matrices el ementaires Exercice 11 { ) Appliquer avec pr ecision l’algorithme du cours pour inverser la matrice : M= 2 1 3 2 2M 2;2(R) :
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ou plus simplement 0 Dans le calcul matriciel, la matrice nulle joue le rôle du nombre 0 pour les réels 1 3 Addition de matrices Définition 3 (Somme de deux matrices) Soient A et B deux matrices ayant la même taille n p Leur somme C = A+B est la matrice de taille n p définie par cij = aij + bij En d’autres termes, on somme
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Calcul matriciel, corrections des exercices
1 Syst`emes lin´eaires
Correction de l'exercice 1.1 (Syst`eme lin´eaire param´etrique) �x + 2y = 1 2 x my = 1⇐⇒�x + 2y = 1 (4 m y = 1Ce syst`eme n'admet de solution que si
m = 4. Dans ce cas, on a donc y = 1 (4 m , et x = 1 2 y , soit x = (2 m (4 m Correction de l'exercice 1.2 (Syst`eme lin´eaire param´etrique) �x + (m + 1)y = m + 2 mx m + 4) y = 3⇐⇒�x + (m + 1)y = m + 2 m 2 4) y m m + 2) 3 admet une solution si et seulement si m2. Alors, on a
y m 2 + 2 m 3) m 2 4) , et y m + 2 m + 1) y , soit x m 2 3 m 5) m 2 4) �mx + (m - 1)y = m + 2 m + 1) x my = 5 m + 32 Matrices, Produits de matrices
Correction de l'exercice 2.1
1.Calculons
�1 i 1 - i 2 i i� X =�0 1 + i -i 1 1 i i1�
conduit `a X =�1 i 1 - i 2 i i� -�0 1 + i -i 1 1 i i1�
=�1 -1 1 11 1�
2. En additionnant les deux ´equations membre `a membre on obtient
X 12�
1 i 1 i� +12� 1 i 1 i� =�1 0 0 i� d'o`u Y X -�1 -i 1 i� =12�
0 i1 0�
Correction de l'exercice 2.2
Produit des matrices :
�2 13 2��
1 11 1�
=�3 -1 51�
1 2 0 3 1 4 -1 -1 0 1 4 1 1 7 -2 6 5 7 0 9 a b c c b a 1 a c 1 b b 1 a + b + c a 2 b 2 c 2 b 2 + 2 ac a b c b 2 + 2 ac a 2 b 2 c 2 3 a b c a b 5 Correction de l'exercice 2.3 Produits de matrices rectangulaires �1 i i0��
1 i 0 i1 2�
=�0 0 2i i1 0�
0 0 00 0 0��
0 0 00 0 0�
produit impossible1 1 1�
1 1 = 3 1 1 �1 1 1�= 1 1 1 1 1 1 1 i 0 i1 2�
1 i i 1 =�0 00 4�
1 i i 1 �1 i 0 i1 2�
0 0 2i 0 0 2 2 i Correction de l'exercice 2.4 (Associativit´e du produit matriciel)On consid`ere les trois matrices
suivantes : A 2 -3 1 05 4 1 3
6 2 B 7 2 5 2 3 1 et C =�-1 2 63 5 7�
AB 32 -1 36 19AB C -35 59 185