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TD d exercices de Géométrie dans l espace

2) Soit A(x) l'aire du carré MNPQ en fonction de x Montrer que A(x) = 0,5625 x2 3) Compléter le tableau suivant 4) Placer dans un repère sur papier millimétré (1cm = 1 unité en abscisses, 1 cm = 10 unités en ordonnées) les points d'abscisse x et d'ordonnée A(x) données par le tableau 5) L'aire de MNPQ est-elle proportionnelle

Géométrie dans l’espace - Claude Bernard University Lyon 1

Objectifs de l’école primaire Reconnaître, représenter, décrire et construire des solides de l'espace L’enseignement de la géométrie dans l’espae doit permettre aux élèves de mettre en relation : un solide, une représentation, des définitions et propriétés, un patron

NOM : GEOMETRIE DANS L’ESPACE 4ème

NOM : GEOMETRIE DANS L’ESPACE 4ème Exercice 1 5 cm 3 cm 4 cm A B D C E F H G On dispose d’un pavé droit dont les dimensions sont in-diquées sur la figure ci-contre On extrait de ce pavé droit une pyramide DBCG 1) Donne la nature la plus précise possible des faces de cette pyramide 2) Construis un patron de cette pyramide

Fiche d’exercices 9 : Géométrie dans l’espace

Fiche d’exercices 9 : Géométrie dans l’espace Mathématiques Troisième obligatoire - Année scolaire 2018/2019 PHYSIQUE ET MATHS – Soutien scolaire et Cours

ENTRAINEMENT Géométrie et mesures CM

EVALUATION Complète les phrases avec l’u / 15 / 10 Dans la figure ci-dessous colorie a les carrés en vert; b les rectangles en jaune; c les losanges en orange; d les parallélogrammes en bleu; e les quadrilatères quelconques en rouge Construis un carré de 4 cm 5 mm de côté Construis un losange dont une

Chapitre 1 : Géométrie dans l’espace

Chapitre 1 : Géométrie dans l’espace M HARCHY TS2-Lycée Agora-2015/2016 1 Droites et plans de l’espace 1 1 Règles d’incidence (Rappels) Théorème 1 Par deux points distincts Aet Bde l’espace passe une unique droite

ACTIVITÉS DE GÉOMÉTRIE - Editis

Proposée dans les ressources numériques (voir page suivante), la fiche de progrès est une fiche personnelle qui permet de maté - rialiser pas à pas les progrès de l’élève durant l’année et le cycle Cette fiche est complétée progressivement par l’enseignant à chaque réussite de l’élève en géométrie

VECTEURS, DROITES ET PLANS DE LESPACE

I Vecteurs de l’espace 1) Notion de vecteur dans l'espace Définition : Un vecteur de l'espace est défini par une direction de l'espace, un sens et une norme (longueur) Remarque : Les vecteurs de l'espace suivent les mêmes règles de construction qu'en géométrie plane : relation de Chasles, propriétés en rapport avec la colinéarité,

PARTIE B : EXERCICES d’application

1) Dans un parallélogramme, les côtés consécutifs ont la même longueur 2) Dans un parallélogramme, tous les angles ont la même mesure 3) Dans un parallélogramme, les diagonales ont la même longueur

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Chapitre 1 : Géométrie dans l"espace

M. HARCHYTS2-Lycée Agora-2015/2016

1 Droites et plans de l"espace

1.1 Règles d"incidence (Rappels)

Théorème 1

Par deux points distinctsAetBde l"espace passe une unique droite. Cette droite est notée (AB).

Par trois points dictincts non alignésA,BetCde l"espace passe un unique plan. Ce plan est noté (ABC). Les points sont alors dits

Théorème 2

SiAetBsont deux points d"un planP, alors tous les points de la droite (AB) appartiennent au planP.Vocabulaire

Des points appartenats à un même plan sont dits .....................

Théorème 3

Une droite sécante à un plan coupe ce plan en ..................... Deux plans sécants se coupent suivant .....................1.2 Parallélisme dans l"espace

1.2.1 Parallélisme entre droites

Définition

Deux droitesdetd0sont parallèles quand :

il existe un planPcontenantdetd0; les droitesdetd0sont parallèles dans ce planP.

Remarque

Deux droites non sécantes ne sont pas necessairement parallèles; elles peuvent être .....................

Les deux figures suivantes représentent la même situation sous deux angles différents.On a : .....................

Théorème 4

Il existe une unique droite qui passe par un point donné et parallèle à une droite donnée.

Deux droites parallèles à une même troisième sont parallèles entre elles. Lorsque deux droites sont parallèles, tout plan qui coupe l"une coupe l"autre.

Théorème 5 : Théorème du toit

Soientdetd0deux droites parallèles. SoitPun plan contenantd, et soitP0un plan contenantd0.

Si les plansPetP0sont sécants, alors la droite d"intersection de ces plans est parallèle àdet àd0.1.2.2 Parallélisme entre plans

Définition

Deux plansPetP0sont parallèles quand l"une des deux conditions suivantes est vérifiée : les plansPetP0sont confondus; les plansPetP0n"admettent aucun point d"intersection.

Théorème 6

Il existe un unique plan qui passe par un point donné et parallèle à un plan donné. Deux plans parallèles à un même troisième sont parallèles entre eux. Si deux plans sont parallèles, toute droite qui coupe l"un coupe l"autre.

Théorème 7

Si deux droites sécantes d"un planPsont respectivement parallèles à deux droites d"un planQ, alors les plansPetQsont parallèles.Théorème 8

SiPetP0sont deux plans parallèles, alors tout planQqui coupePcoupe aussiP0et les droites d"intersection sont parallèles.

1.2.3 Parallélisme entre droites et plans

Définition

Une droitedet un planPsont parallèles quand l"une des deux conditions suivantes est vérifiée :

la droitedest contenue dans le planP; la droitedet le planPn"admettent aucun point d"intersection.

Théorème 9

Si deux plansPetP0sont parallèles, et si une droitedest parallèle àP, alorsdest parallèle àP0.

Si une droitedest parallèle à une droited0, alors la droitedest parallèle à tout planPcontenant la droited0.

Soientdune droite etPun plan tel quedest parallèle àP. SiQest un plan sécant àPqui contientd, alors la droite d"intersection

dePetQest une droite parallèle àd.

1.3 Orthogonalité dans l"espace

1.3.1 Orthogonalité de deux droites

Définition

Deux droitesdetd0de l"espace sontorthogonalesquand on peut trouver un point M tel que les parallèles àdetd0passant par M sont

perpendiculaires.

Exemple

Les droitesdetd0sont orthogonales; en effet : .....................Remarque :

Deux droitesdetd0sont dites perpendiculaires si elles sont orthogonales et coplanaires (donc sécantes).PSi deux droites sont parallèles,

alors toute droite orthogonale à l"une est orthogonale à l"autre.

1.3.2 Orthogonalité d"une droite et d"un plan

Définition

Une droitedest orthogonale à un planPquand elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.

Exemple

Les droitesdet le planPsont orthogonaux; en effet : .....................

Théorème 10

Si une droitedest orthogonale à un planP, alorsdest orthogonale à toute droite contenue dansP.

Si deux droites sont parallèles, alors tout plan orthogonal à l"une est orthogonal à l"autre.

Si deux droites sont orthogonales au même plan, alors elles sont parallèles.

Si deux plans sont parallèles, alors toute droite orthogonale à l"un est orthogonale à l"autre.

Si deux plans sont orthogonaux à une même droite, alorts ils sont parallèles.

2 Géométrie vectorielle

2.1 Vecteurs et plans

2.1.1 Extension de la notion de vecteur

Définition

Deux vecteurs non nuls

!AB et!CD sont égaux si et seulement si le quadrilatère ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati).

Théorème 11

Soit~uun vecteur de l"espace. Pour tout point A de l"espace, il existe un unique point B tel que~u=!AB.

La flèche d"origine A et d"extrémité B est appelée lereprésentant d"origine Adu vecteur~u. On étend parfois par abus de language cette

dénomination au vecteur!AB.

2.1.2 Vecteurs coplanaires

Définition

Soient~u,~vet~wtrois vecteurs de l"espace, et soient A, B, C et D quatre points de l"espace tels que~u=!AB ,~v=!AC et~w=!AD.

Les vecteurs~u,~vet~wsont ditscoplanairessi et seulement si les points A, B, C et D appartiennent à un même plan.

Exemple

Trois vecteurs coplanairesTrois vecteurs non coplanaires

Remarques

De manière générale, des vecteurs (en nombre quelconque) sont coplanaires si les extrémités de leurs représentants construits à

partir d"une même origine A sont coplanaires avec A.

Comme trois points de l"espace sont toujours coplanaires,deux vecteurs sont toujours coplanaireségalement.

Deux vecteurs étant toujours coplanaires, on définit alors dans l"espace comme dans le plan la somme de deux vecteurs, le produit

d"un vecteur par un réel, ainsi que les notions de vecteurs colinéaires et de vecteur directeur d"une droite.

Si deux vecteurs parmi~u,~vet~wsont colinéaires, alors ces trois vecteurs sont coplanaires.

De manière générale, pour montrer que trois vecteurs sont coplanaires, on utilise la propriété suivante :

Théorème 12

Soient~u,~vet~wtrois vecteurs de l"espace tels que~uet~vne soient pas colinéaires. Les vecteurs~u,~vet~wsont coplanaires si et seulement s"il existe deux réelsettels que ~w=~u+~v: On démontre cette propriété en utilisant le lemme préliminaire suivant :

Théorème 13

Soient A, B et C trois points non alignés. Un point M quelconque appartient au plan (ABC) si et seulement s"il existe des réelsettels

que!AM =!AB +!AC:

Remarque :

La définition la plus générale de la coplanarité de trois vecteurs~u,~vet~w, équivalente à la caractérisation du théorème 12, est l"existence

de trois réels,et non tous nuls tels que ~u+~v+ ~w=~0:

On dit aussi que~u,~vet~wforment unefamille liéede vecteurs de l"espace (le contraire étant unefamille libre, pour laquelle il est

impossible de trouver comme ci-dessus une combinaison linéaire nulle de ces trois vecteurs).

Exemple

Dans le cube ABCDEFGH, soit R le centre du carré ADHE. Les vecteurs

!BC,!DH et!AR sont coplanaires. En effet : .....................2.1.3 Caractérisation d"un plan de l"espace par un point et deux vecteurs non colinéaires

Théorème 14

Soit A un point de l"espace,~uet~vdeux vecteurs non colinéaires, B et C les points tels que~u=!AB et~v=!AC. Alors l"ensemble des

points M pour lesquels il existe deux réelsettels que!AM =~u+~vest égal au plan (ABC).

Réciproquement :soitPun plan de l"espace, A, B et C trois points non alignés de ce plan. AlorsPest égal à l"ensemble des points

M pour lesquels il existe deux réelsettels que!AM =~u+~v.

Remarque :

Un planPpeut donc être défini par un point et une " direction » donnée par deux vecteurs non colinéaires. Cette direction est

commune à tous les plans parallèles àP. Deux plans dirigés par le même couple de vecteurs non colinéaires sont parallèles.

Le plan passant par le point A et dirigé par le couple de vecteurs (~u ; ~v) est noté (A;~u ; ~v).

Théorème 15

Une droitedde vecteur directeur~west parallèle à un planPde vecteurs directeurs~uet~vsi et seulement si~u,~vet~wsont coplanaires.

Ou encore : la droite (AB) est parallèle au plan (CDE) si et seulement si!AB,!CD et!CE sont coplanaires.

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