Trigonalisation et diagonalisation des matrices
de relier des invariants d’une matrice, tels que sa trace et son determinant,´ a ses valeurs propres ` Si une matrice A est trigonalisable, semblable `a une matrice triangulaire sup ´erieure T, alors les valeurs propres de A etant les racines du polyn´ omeˆ p A, sont aussi les coefficients de la diagonale de la matrice T
Fiche technique 5 - Diagonalisation, trigonalisation
• Pour trigonaliser une matrice, il n’y a pas de méthode globale à connaître a priori • La trigonalisabilité d’une matrice s’obtient après le calcul de son polynôme caractéristique et le constat que ce polynôme est scindé sur le corps de référence de la matrice
Trigonalisation et diagonalisation des matrices
de relier des invariants d’une matrice, tels que sa trace et son d ´ eterminant, ` a ses valeurs propres Si une matrice A est trigonalisable, semblable ` a une matrice triangulaire sup ´ erieure T, alors les valeurs propres de A ´ etant les racines du polyn ˆ ome p A, sont aussi les coefficients de la diagonale de la matrice T ´ Etant
Diagonalisation et trigonalisation
De nition 4 1 1) On dit qu’une matrice A= (a ij) de M n(K) est triangulaire sup erieure si a ij= 0 pour tout i>j 2) On dit qu’un endomorphisme uest "triangulable" (ou "trigonalisable") s’il existe une base dans laquelle la matrice de uest triangulaire sup erieure En particulier, etant donn e une base B, uun endomorphisme et A= Mat
Trigonalisation
Dans ce cas, il est facile de trigonaliser On commence par se calculer une famille de n −1 vecteurs propres indépendants(possibled’aprèsleshypothèses),etoncomplèteenunebaseE deRn en«rajoutant »unvecteur à lafin «Dans »cettebase, la matrice sera triangulaire Exemple : A = 9 1 6 − 7 1 −6 −10 1 −7 det(A−λI3)= ¯ ¯ ¯
Trigonalisation - Ensah-community
Déterminer une matrice à coefficients entiers de polynôme caractéristique Yn i=1 (X Trigonaliser la matrice A reste à trouver un contre-exemple
Une matrice est trigonalisable ssi son polyn^ome caract
Une matrice est trigonalisable ssi son polyn^ome caract eristique est scind e Une m ethode e cace pour trigonaliser une matrice est d’utiliser les sous es-paces caract eristiques Si ˜ A(X) = Q k i=1 (X a i) i le sous espace caract eristique N i est le noyau de (A a iI) i Le sous espace propre E A(a i), qui est le noyau de (A a iI) est uns
Triangularisation, jordanisation, exponentielle de matrices 1
Une matrice A (2,2), ou un endomorphisme ϕ, dont le polynˆome caract´eristique est scind´e et qui n’est pas diagonalisable a une valeur propre double λ Proposition 2 2 Sous l’hypoth`ese pr´ec´edente il existe P telle que P−1AP = J 2(λ) On dira qu’on a jordanis´e la matrice Une base de Jordanisation est obtenue de la mani
Chapitre 7 Réduction des endomorphismes : trigonalisation et
Trigonaliser la matrice A , c'est donner explicitement une matrice inversible P telle que P 1 AP soit triangulaire Bien entendu, les colonnes de P représentent une base de trigonalisation de l'endomorphisme f : V 7 AV canoniquement associé à A Evidemment toute matrice triangulaire est trigonalisable, et la réciproque est fausse Si A 2
L2 Math ematiques Math ematiques: ALGEBRE LINEAIRE II Cours
Si toute matrice carr ee complexe est trigonalisable, ceci n’est pas vrai pour les matrices r eelles Ceci signi e qu’il n’existe pas toujours une matrice triangulaire r eelle semblable a la matrice r eele donn ee, la matrice de passage devant ^etre aussi r eelle Prenons par exemple la matrice M= 0 1 1 0 :
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