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ÉRIC GOURGOULHON
La relativité restreinte est à la base de nombreux domaines de la physique moderne : physique des particules, théorie quantique des champs, astrophysique des hautes énergies, etc. Elle est présentée ici en adoptant d"emblée un point de vue quadridimensionnel, à savoir celui de l"espace-temps de Minkowski.
Une des particularités de l"ouvrage est qu"il ne se limite pas aux référentiels inertiels et
considère des observateurs accélérés ou en rotation. Cela permet de discuter simplement et
de manière rigoureuse d"effets physiques tels que la précession de Thomas ou l"effet Sagnac.
Les derniers chapitres abordent des aspects plus avancés : champs tensoriels, calcul extérieur,
hydrodynamique relativiste et traitement de la gravitation. Richement illustré et agrémenté de nombreuses notes historiques, cet ouvrage fait une part
belle aux applications, de la physique des particules (accélérateurs, collisions de particules,
plasma quark-gluon) à l"astrophysique (jets relativistes, noyaux actifs de galaxie), en passant par les applications pratiques (gyromètres à effet Sagnac, rayonnement synchrotron, GPS).
Le livre contient également des développements mathématiques tels que l"analyse détaillée
du groupe de Lorentz et de son algèbre de Lie.
Ce livre s"adresse aux étudiants en dernière année de licence de physique (L3) ou en master (M1
et M2), ainsi qu"aux chercheurs et à toute personne intéressée par la relativité. Sa lecture facilitera
également l"apprentissage de la relativité générale, en raison de l"approche géométrique adoptée.
" Un exposé moderne de la relativité restreinte se doit de faire ressortir ses structures essen-
tielles, avant de les illustrer par leurs applications concrètes à divers problèmes dynamiques
particuliers. Tel est le pari (ô combien réussi !) du beau livre d"Éric Gourgoulhon. » (Thibault
Damour, extrait de la préface).Éric Gourgoulhon est directeur de recherche au CNRS et travaille sur les trous noirs,
les étoiles à neutrons et les ondes gravitationnelles, au Laboratoire Univers et Théories à
Meudon (CNRS/Observatoire de Paris/Université Paris Diderot). Il enseigne la relativité générale
au master " Astronomie et astrophysique » de l"Observatoire de Paris et des universités
Paris 6, 7 et 11.
Ces ouvrages, écrits par des chercheurs, reflètent des enseignements dispensés dans le cadre de la formation à la recherche. Ils s"adressent donc aux étudiants avancés, aux chercheurs désireux de perfectionner leurs connaissances ainsi qu"à tout lecteur passionné par la science contemporaine.www.edpsciences.org
Création graphique : Béatrice Couëdel
ISBN EDP Sciences 978-2-7598-0067-4
ISBN CNRS ÉDITIONS 978-2-271-07018-0
69 €
ÉRIC GOURGOULHON
ÉRIC GOURGOULHON
CNRS ÉDITIONS
ACTUELSSAVOIRS
SAVOIRS ACTUELS
Série Physique et collection dirigée par Michèle LEDUC
CNRS ÉDITIONS
www.cnrseditions.fr
RELATIVITÉ RESTREINTE
DES PARTICULES À L"ASTROPHYSIQUEDES PARTICULES
À L"ASTROPHYSIQUE
PHYSIQUE
PHYSIQUERELATIVITÉ RESTREINTE
DES PARTICULES
À L"ASTROPHYSIQUEPHYSIQUE
RELATIVITÉRELATIVITÉ
RESRES
TREINTETREINTEExtrait de la publication
Éric Gourgoulhon
Relativité restreinte
Des particules à l"astrophysique
SAVOIRS ACTUELS
EDPSciences/CNRSÉDITIONS
Illustration de couverture: Cône de lumière et espace local de repos en un point d"une ligne d"univers.
Imprimé en France.
c?2010, EDP Sciences, 17, avenue du Hoggar, BP 112, Parc d"activités de Courtabuf,
91944 Les Ulis Cedex A
et
CNRS É
DITIONS, 15, rue Malebranche, 75005 Paris.
Tous droits de traduction, d"adaptation et de reproduction par tous procédés réservés pour tous pays. Toute reproduction ou représentation intégrale ou partielle, par quelque
procédé que ce soit, des pages publiées dans le présent ouvrage, faite sans l"autorisation
de l"éditeur est illicite et constitue une contrefaçon. Seules sont autorisées, d"une part, les
reproductions strictement réservées à l"usage privé du copiste et non destinées à une utili-
sation collective, et d"autre part, les courtes citations justifiées par le caractère scientifique
ou d"information de l"uvre dans laquelle elles sont incorporées (art. L. 122-4, L. 122-5 et L. 335-2 du Code de la propriété intellectuelle). Des photocopies payantes peuvent être
réalisées avec l"accord de l"éditeur. S"adresser au : Centre français d"exploitation du droit
de copie, 3, rue Hautefeuille,75006 Paris. Tél. : 01 43 26 95 35.
ISBNEDP Sciences 978-2-7598-0067-4
ISBNCNRSÉditions978-2-271-07018-0Extrait de la publication
À Valérie et Maxime
Extrait de la publication
Table des matières
Préface xix
Avant-propos xxi
1 L"espace-temps de Minkowski 1
1.1 Lesquatredimensions ....................... 2
1.1.1 L"espace-temps comme espace affine . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 Quelquesnotations..................... 3
1.1.3 Système de coordonnées affines . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.4 Constantec......................... 5
1.1.5 L"espace-tempsnewtonien................. 5
1.2 Letenseurmétrique ........................ 6
1.2.1 Produit scalaire sur l"espace-temps . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 Matricedutenseurmétrique ............... 9
1.2.3 Basesorthonormales.................... 10
1.2.4 Genredesvecteurs..................... 11
1.2.5 Normed"unvecteur .................... 11
1.2.6 Diagrammesd"espace-temps................ 12
1.3 Côneisotropeetflèchedutemps ................. 15
1.3.1 Définitions ......................... 15
1.3.2 Deux petits lemmes bien utiles . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.3 Classificationdesvecteursunitaires............ 17
1.4 Orientationdel"espace-temps................... 18
1.4.1 Notiond"orientation.................... 18
1.4.2 LetenseurdeLevi-Civita ................. 19
1.5 Dualitévecteurs-formeslinéaires ................. 21
1.5.1 Formes linéaires et espace dual . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5.2 Dualitémétrique...................... 22
1.6 Bilan:l"espace-tempsdeMinkowski ............... 24
1.7 Avantd"allerplusloin... ...................... 26
viRelativité restreinte
2 Lignes d"univers et temps propre 29
2.1 Ligned"universd"unpointmatériel................ 29
2.2 Tempspropre............................ 32
2.2.1 Définition.......................... 32
2.2.2 Horlogesidéales....................... 34
2.3 Quadrivitesse et quadriaccélération . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.1 Quadrivitesse........................ 35
2.3.2 Quadriaccélération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4 Lesphotons............................. 39
2.4.1 Géodésiqueslumière.................... 39
2.4.2 Cônedelumière ...................... 40
2.5 Voyageur de Langevin et paradoxe des jumeaux . . . . . . . . . 41
2.5.1 Lignesd"universdesjumeaux............... 41
2.5.2 Tempspropredechaquejumeau ............. 43
2.5.3 4-vitesse et 4-accélération . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.5.4 Un aller-retour vers le centre de la Galaxie . . . . . . . 51
2.5.5 Vérificationsexpérimentales................ 55
2.6 Propriétés géométriques d"une ligne d"univers . . . . . . . . . . 57
2.6.1 Géodésiquesdugenretemps................ 57
2.6.2 Champ de vecteur le long d"une ligne d"univers . . . . . 59
2.6.3 Courbureettorsions.................... 60
3 Observateurs 65
3.1 Simultanéitéetmesuredutemps................. 65
3.1.1 Positionduproblème.................... 65
3.1.2 Critère de simultanéité d"Einstein-Poincaré . . . . . . . 66
3.1.3 Espacelocalderepos ................... 68
3.1.4 Inexistenced"untempsabsolu............... 71
3.1.5 Projecteur orthogonal sur l"espace local de repos . . . . 73
3.1.6 Caractère euclidien de l"espace local de repos . . . . . . 74
3.2 Mesurededistancesspatiales ................... 75
3.2.1 FormuledeSynge ..................... 75
3.2.2 CritèrederigiditédeBorn................. 77
3.3 Référentiellocal........................... 79
3.3.1 Observateuretsonréférentiellocal............ 79
3.3.2 Coordonnées relatives au référentiel local . . . . . . . . 81
3.3.3 Espace de référence d"un observateur . . . . . . . . . . . 82
3.4 Quadrirotationd"unréférentiellocal ............... 83
3.4.1 Variation du référentiel local le long de la ligne d"univers 84
3.4.2 Décomposition orthogonale des formes bilinéaires
antisymétriques....................... 86
3.4.3 Application à la variation du référentiel local . . . . . . 88
3.4.4 Observateursinertiels ................... 91
3.5 Dérivée d"un vecteur le long d"une ligne d"univers . . . . . . . . 92Extrait de la publication
Table des matièresvii
3.5.1 Dérivéeabsolue....................... 92
3.5.2 Dérivéeparrapportàunobservateur .......... 92
3.5.3 DérivéedeFermi-Walker.................. 93
3.6 Localitéduréférentield"unobservateur ............. 95
4 Cinématique 99
4.1 FacteurdeLorentz......................... 99
4.1.1 Définition.......................... 99
4.1.2 Expression en terme de 4-vitesses et 4-accélération . . . 103
4.1.3 Dilatationdestemps....................105
4.2 Vitesserelativeàunobservateur .................106
4.2.1 Définition..........................106
4.2.2 4-vitesse et facteur de Lorentz en fonction de la vitesse 108
4.2.3 Vitesserelativemaximale .................110
4.2.4 Expressions en terme de composantes . . . . . . . . . . 112
4.3 Vérifications expérimentales de la dilatation des temps . . . . . 113
4.3.1 Muonsatmosphériques...................113
4.3.2 Autrestests.........................115
4.4 Accélération relative à un observateur . . . . . . . . . . . . . . 115
4.4.1 Définition..........................115
4.4.2 Relation avec la dérivée seconde du vecteur position . . 116
4.4.3 Expression de la 4-accélération . . . . . . . . . . . . . . 118
4.5 Mouvementdesphotons......................122
4.5.1 Direction de propagation d"un photon . . . . . . . . . . 123
4.5.2 Vitessedelalumière....................124
4.5.3 Vérifications expérimentales de l"invariance de la vitesse
delalumière ........................127
5 Changement d"observateur 135
5.1 Relationsentredeuxobservateurs.................135
5.1.1 Réciprocitédelavitesserelative .............135
5.1.2 Contraction des longueurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.2 Loidecompositiondesvitesses..................141
5.2.1 Formegénérale.......................141
5.2.2 Décomposition en parties parallèle et transverse . . . . . 144
5.2.3 Casdesvitessescolinéaires ................147
5.2.4 Formulealternative.....................147
5.2.5 Vérification expérimentale : expérience de Fizeau . . . . 149
5.3 Loi de composition des accélérations . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.4 EffetDoppler............................152
5.4.1 Dérivation..........................153
5.4.2 Vérificationsexpérimentales................156
5.5 Aberration .............................157
5.5.1 Expressionthéorique....................157Extrait de la publication
viiiRelativité restreinte
5.5.2 Distorsiondelasphèrecéleste...............161
5.5.3 Vérificationsexpérimentales................161
5.6 Imagesdesobjetsenmouvement.................163
5.6.1 Imageetpositioninstantanée...............163
5.6.2 Rotationapparente.....................164
5.6.3 Imaged"unesphère.....................166
5.6.4 Mouvementssuperluminiques...............169
6 Groupe de Lorentz 173
6.1 TransformationsdeLorentz....................174
6.1.1 Définitionetcaractérisation................174
6.1.2 GroupedeLorentz.....................175
6.1.3 Propriétés des transformations de Lorentz . . . . . . . . 176
6.2 Sous-groupesdeO(3,1) ......................178
6.2.1 GroupedeLorentzpropreSO(3,1)............178
6.2.2 Transformations de Lorentz orthochrones . . . . . . . . 178
6.2.3 Transformations de Lorentz restreintes . . . . . . . . . . 180
6.2.4 Réduction du groupe de Lorentz à SO
o (3,1).......180
6.3 Classification des transformations de Lorentz restreintes . . . . 182
6.3.1 Directionlumièreinvariante................182
6.3.2 Décomposition à partir d"une direction lumière
invariante..........................183
6.3.3 Rotationsspatiales.....................187
6.3.4 TransformationsdeLorentzspéciales...........189
6.3.5 Rotationslumière .....................191
6.3.6 Quadrivis..........................193
6.3.7 Vecteurs propres d"une transformation de Lorentz
restreinte ..........................194
6.3.8 Bilan.............................195
6.4 Décompositionpolaire.......................197
6.4.1 Énoncéetdémonstration .................197
6.4.2 Formesexplicites......................199
6.5 Compléments sur les transformations
deLorentzspéciales ........................200
6.5.1 Interprétationcinématique ................200
6.5.2 Expressiondansunebasegénérale ............203
6.5.3 Rapidité...........................204
6.5.4 Valeurspropres.......................207
6.6 Composition des transformations spéciales et rotation
deThomas .............................208
6.6.1 Transformationsdemêmeplan..............209
6.6.2 RotationdeThomas....................211
6.6.3 Expressions de l"angle de la rotation de Thomas . . . . 216
6.6.4 Bilan.............................220
Table des matièresix
7 LegroupedeLorentzentantquegroupedeLie 223
7.1 StructuredegroupedeLie ....................223
7.1.1 Définition..........................223
7.1.2 DimensiondeO(3,1)....................224
7.1.3 Topologie de SO
o (3,1)etO(3,1) .............225
7.2 GénérateursetalgèbredeLie...................226
7.2.1 Transformations de Lorentz infinitésimales . . . . . . . . 226
7.2.2 Structured"algèbredeLie.................227
7.2.3 Générateurs.........................229
7.2.4 Lien avec la variation du référentiel local
d"unobservateur......................232
7.3 Réduction de O(3,1) à son algèbre de Lie . . . . . . . . . . . . 233
7.3.1 Applicationexponentielle .................233
7.3.2 Génération des transformations de Lorentz spéciales . . 235
7.3.3 Génération des rotations spatiales . . . . . . . . . . . . 238
7.3.4 Constantesdestructure..................239
7.4 LiensentrelegroupedeLorentzetSL(2,C)...........242
7.4.1 L"applicationspineur....................242
7.4.2 L"application spineur de SU(2) vers SO(3) . . . . . . . . 247
7.4.3 L"application spineur et les transformations de Lorentz
7.4.4 Revêtement deSO
o (3,1)parSL(2,C) ..........251
7.4.5 Existence de vecteurs propres lumière . . . . . . . . . . 253
7.4.6 AlgèbredeLiedeSL(2,C).................254
7.4.7 Application exponentielle sur sl(2,C) . . . . . . . . . . . 257
8 Observateurs inertiels 259
8.1 Caractérisation des observateurs inertiels . . . . . . . . . . . . . 259
8.1.1 Définition..........................259
8.1.2 Ligned"univers.......................260
8.1.3 Globalité de l"espace local de repos . . . . . . . . . . . . 261
8.1.4 Réseau rigide d"observateurs inertiels . . . . . . . . . . . 262
8.2 GroupedePoincaré ........................263
8.2.1 Changement de coordonnées inertielles . . . . . . . . . . 263
8.2.2 Transformations de Poincaré actives . . . . . . . . . . . 265
8.2.3 Structuredegroupe ....................266
8.2.4 Le groupe de Poincaré en tant que groupe de Lie . . . . 268
9 Énergie et impulsion 273
9.1 Quadri-impulsion,masseeténergie................273
9.1.1 Quadri-impulsion et masse d"une particule . . . . . . . . 273
9.1.2 Énergie et impulsion relatives à un observateur . . . . . 275
9.1.3 Casd"uneparticulemassive................278
9.1.4 Énergie et impulsion d"un photon . . . . . . . . . . . . . 282Extrait de la publication
xRelativité restreinte
9.1.5 Relation entreP,Eetlavitesserelative.........283
9.1.6 Composantesdela4-impulsion..............284
9.2 Conservationdela4-impulsion ..................285
9.2.1 4-impulsion totale d"un système de particules . . . . . . 285
9.2.2 Système isolé et collisions entre particules . . . . . . . . 287
9.2.3 Principe de conservation de la 4-impulsion . . . . . . . . 288
9.2.4 Application à une particule isolée : loi d"inertie . . . . . 289
9.2.5 4-impulsiontotaled"unsystèmeisolé...........291
9.2.6 Énergieetimpulsiond"unsystème ............294
9.2.7 Application:effetDoppler ................295
9.3 Collisions de particules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
9.3.1 Interactionslocalisées ...................296
9.3.2 Collision entre deux particules . . . . . . . . . . . . . . 297
9.3.3 Collision élastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
9.3.4 EffetCompton .......................303
9.3.5 DiffusionComptoninverse.................305
9.3.6 Collisions inélastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
9.4 Quadriforce.............................313
9.4.1 Définition..........................313
9.4.2 Décomposition orthogonale de la 4-force . . . . . . . . . 314
9.4.3 Force mesurée par un observateur . . . . . . . . . . . . 315
9.4.4 Version relativiste de la relation fondamentale
deladynamique ......................317
9.4.5 Évolutiondel"énergie ...................318
9.4.6 Expressiondela4-force..................318
10 Moment cinétique 321
10.1.2 Vecteur moment cinétique relatif à un observateur . . . 322
10.2.2Changementd"origine ...................326
10.2.3 Vecteur moment cinétique d"un système par rapport
10.3.3 Conservation du vecteur moment cinétique relatif
10.4.1Centroïded"unsystème ..................330
10.4.2Centred"inertied"unsystèmeisolé............331Extrait de la publication
Table des matièresxi
10.4.3Spind"unsystèmeisolé ..................334
10.4.5 Taille minimale d"un système avec spin . . . . . . . . . . 336
10.5.2 Loi d"évolution du vecteur moment cinétique . . . . . . 340
10.6.2Loid"évolutionduspin ..................345
11 Principe de moindre action 349
11.1 Principe de moindre action pour une particule . . . . . . . . . . 349
11.1.1 Rappels de mécanique lagrangienne non-relativiste . . . 349
11.1.2Généralisationrelativiste .................350
11.1.3 Lagrangien et action d"une particule . . . . . . . . . . . 351
11.1.4Principedemoindreaction ................352
11.1.6 Particule dans un champ vectoriel . . . . . . . . . . . . 356
11.1.7 Autres exemples de lagrangien . . . . . . . . . . . . . . 358
11.2ThéorèmedeNoether .......................359
11.2.1 Théorème de Noether pour une particule . . . . . . . . 360
11.2.2 Application à une particule libre . . . . . . . . . . . . . 361
11.3Formulationhamiltonienne ....................364
11.3.1 Rappels de mécanique hamiltonienne non-relativiste . . 364
11.3.2 Quadri-impulsion généralisée d"une particule relativiste 368
11.3.3 Hamiltonien d"une particule relativiste . . . . . . . . . . 369
11.4.1Principedemoindreaction ................373
11.4.2Formulationhamiltonienne ................376
12 Observateurs accélérés 379
12.1 Observateur uniformément accéléré . . . . . . . . . . . . . . . . 379
12.1.3 Changement d"observateur inertiel de référence . . . . . 383
12.1.4 Mouvement perçu par l"observateur inertiel . . . . . . . 386
12.1.7 Référentiel de l"observateur uniformément accéléré . . . 390
12.2 Écart entre l"espace local et l"hypersurface de simultanéité . . . 394
12.2.1 Cas d"un observateur quelconque . . . . . . . . . . . . . 395
12.2.2 Cas d"un observateur uniformément accéléré . . . . . . . 397
12.3 Physique dans un référentiel accéléré . . . . . . . . . . . . . . . 398
xiiRelativité restreinte
12.3.1 Synchronisation des horloges . . . . . . . . . . . . . . . 398
12.3.2 4-accélération des observateurs comobiles . . . . . . . . 401
12.3.3 Règle rigide en mouvement accéléré . . . . . . . . . . . 402
12.3.6Mouvementdesparticuleslibres .............409
12.4PrécessiondeThomas .......................412
12.4.2 Application à un gyroscope . . . . . . . . . . . . . . . . 418
13 Observateurs en rotation 425
13.1.1 Réalisation physique d"un observateur sans rotation . . 426
13.2Disquetournant ..........................427
13.2.2 Observateurs cotournants . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
13.2.3 4-accélération et 4-rotation de l"observateur cotournant 431
13.2.4 Simultanéité pour un observateur cotournant . . . . . . 434
13.3 Désynchronisation des horloges . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
13.3.1Introduction ........................438
13.3.3 Impossibilité d"une synchronisation globale . . . . . . . 440
13.3.4 Transport d"une horloge sur le disque tournant . . . . . 444
13.3.5 Mesures expérimentales de la désynchronisation . . . . . 448
13.4.1 Circonférence du disque tournant . . . . . . . . . . . . . 450
13.4.2Rayondudisque ......................451
13.4.4Miseenrotationdudisque ................453
13.5.1DélaiSagnac ........................456
13.5.2Dérivationalternative ...................460
13.5.3 Temps propre de parcours de chaque signal . . . . . . . 461
13.5.4 Interféromètre de Sagnac optique . . . . . . . . . . . . . 462
13.5.5 Interféromètre de Sagnac à ondes de matière . . . . . . 466
14 Les tenseurs en toute généralité 471
14.1Tenseurs:définitionetexemples .................472
14.2Opérationssurlestenseurs ....................473Extrait de la publication
Table des matièresxiii
14.2.2 Composantes dans une base vectorielle . . . . . . . . . . 474
14.3Formesalternées ..........................478
14.3.3 Base de l"espace desp-formes...............481
14.3.4 Composantes du tenseur de Levi-Civita . . . . . . . . . 482
14.4.1 Tenseurs associés au tenseur de Levi-Civita . . . . . . . 484
14.4.2ÉtoiledeHodge ......................487
14.4.3 Étoile de Hodge et produit extérieur . . . . . . . . . . . 489
14.4.4 Décomposition orthogonale des 2-formes . . . . . . . . . 489
15 Champs sur l"espace-temps 491
15.1 Coordonnées quelconques sur l"espace-temps . . . . . . . . . . . 491
15.1.3 Composantes du tenseur métrique . . . . . . . . . . . . 494
15.2Champstensoriels .........................498
15.2.1Définitions .........................498
15.2.2 Champ scalaire et gradient . . . . . . . . . . . . . . . . 499
15.3.1 Dérivée covariante d"un vecteur . . . . . . . . . . . . . . 500
15.3.3Coefficientsdeconnexion .................503
15.3.4SymbolesdeChristoffel ..................504
15.3.5 Divergence d"un champ vectoriel . . . . . . . . . . . . . 506
15.3.6 Divergence d"un champ tensoriel . . . . . . . . . . . . . 507
15.4.2Dérivéeextérieure .....................508
15.4.3 Propriétés de la dérivation extérieure . . . . . . . . . . . 511
15.4.4 Décomposition sur un système de coordonnées . . . . . 512
15.4.5 Dérivée extérieure d"une 3-forme et divergence
16 Intégration dans l"espace-temps 515
16.1 Intégration sur un volume quadridimensionnel . . . . . . . . . . 515
16.1.2 Quadrivolume d"une partie de l"espace-temps . . . . . . 516
16.1.3 Intégrale d"une 4-forme différentielle . . . . . . . . . . . 517Extrait de la publication
xivRelativité restreinte
16.2 Sous-variétés deE.........................518
16.2.1Définitiond"unesous-variété ...............518
16.2.2Sous-variétésàbord ....................520
16.3 Intégration sur une sous-variété deE...............521
16.3.1 Intégrale d"une forme différentielle quelconque . . . . . . 521
16.3.2 Élément de volume d"une hypersurface . . . . . . . . . . 524
16.3.3Élémentd"aired"unesurface ...............526
16.3.4 Élément de longueur d"une courbe . . . . . . . . . . . . 528
16.3.5 Intégrale d"un champ scalaire sur une sous-variété . . . 529
16.3.6Intégraled"unchamptensoriel ..............530
16.4ThéorèmedeStokes ........................531
16.4.1Énoncéetexemples ....................531
16.4.2Applications ........................533
17 Champ électromagnétique 537
17.1Tenseurchampélectromagnétique ................537
17.1.1 Champ électromagnétique et 4-force de Lorentz . . . . . 537
17.1.2 Le champ électromagnétique comme 2-forme . . . . . . 539
17.1.3 Champ électrique et champ magnétique . . . . . . . . . 539
17.1.4 Force de Lorentz relative à un observateur . . . . . . . . 541
17.1.5DualmétriqueetdualdeHodge .............542
17.2.1 Loi de transformation des champs électrique
17.2.2 Invariants du champ électromagnétique . . . . . . . . . 547
17.2.3 Réduction à des champs électrique et magnétique
parallèles ..........................549
17.2.4 Champ créé par une charge en translation . . . . . . . . 551
17.3 Particule dans un champ électromagnétique . . . . . . . . . . . 554
17.3.1 Champ électromagnétique uniforme : cas général . . . . 555
17.3.2 Champs électrique et magnétique orthogonaux . . . . . 561
17.3.3 CasI
2 =0etI 1 >0(filtredeWien)...........562
17.3.4 CasI
2 =0etI 1 = 0 (champ électromagnétiquequotesdbs_dbs5.pdfusesText_10
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