[PDF] Exercices : Puissances de matrices Exercice 1



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Exercices : Puissances de matrices Exercice 1

Exercices : Puissances de matrices Exercice 1 Calculerlesvaleurspropres(siellesexistent)desmatricessuivantes: A= 0 1 1 0 ,B= 0 1 1 0 ,C= 3 1 0 3 ,D=



Chapitre 11 : PUISSANCES DE MATRICES CARREES

B2C - Cours de Terminale maths expertes – Patricia Pouzin – Puissances de matrices – Page 1 Rappels : On appelle diagonale (ou diagonale principale) d’une matrice A, les éléments a ii, de la matrice ayant un indice de ligne égal à l’indice de colonne On appelle matrice diagonale une matrice carrée dont les coefficients en dehors





Série d’exercices no4/6 Recherche de valeurs propres

Exercice 2 Méthode de la puissance a) Calculer les valeurs propres et les vecteurs propres de A = 10 0 91 b) Que donne la méthode de la puissance pour la matrice A en partant de x 0 =(2,1)T? c) Calculer les valeurs propres et les vecteurs propres v 1 et v 2 de A = 1 3 31 d) Exprimer x 0 =(1,0)T en fonction de v 1 et v 2 En déduire l



CALCUL MATRICIEL Exercices - bagbouton

1 CALCUL MATRICIEL Exercices EXERCICE 1 : opérations sur les matrices a) Soient les matrices 1 23 456 7 89 01 0 A = et



Calculs sur les matrices - Exo7 : Cours et exercices de

Il faut connaître les formules de cos(q +q0) et sin(q +q0) Indication pourl’exercice3 N Essayer avec X la matrice élémentaire E ij (des zéros partout sauf le coefficient 1 à la i-ème ligne et la j-ème colonne) Indication pourl’exercice4 N Appliquer la formule du produit pour calculer les coefficients diagonaux de A tA



CORRECTION DU TD 3 - TSE

2) D’après l’exercice 1 , la matrice est trigonalisable et la décomposition de Jordan de cette matrice est : 3) Pour tout , on en déduit que : On doit donc chercher la puissance de la matrice ; pour cela, on la décompose en : où est une matrice nilpotente d’indice Comme les



Calcul matriciel, corrections des exercices

Calcul matriciel, corrections des exercices 1 Syst`emes lin´eaires Correctiondel’exercice1 1(Syst`emelin´eaireparam´etrique) 2 Matrices, Produits de matrices

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Exercices : Puissances de matrices

Exercice 1

Calculer les valeurs propres (si elles existent) des matrices suivantes : A=0 1 1 0 ,B=01 1 0 ,C=3 1 0 3 ,D=1 1 1 0 ,E=2 0 0 3 etF=0:9 0:2

0:1 0:8

Exercice 2

Chercher des vecteurs propres des matrices ci-dessus lorsque c"est possible

Exercice 3SoitA=a b

c d etB=db c a 1.

Calculer AB

2.

En déduire si Ainversible la matriceA1

Exercice 4

Donner un exemple de matricebistochastique(c"est à dire stochastique suivant les lignes et les colonnes) d"ordre 2 puis d"ordre 3

Exercice 5

Montrer que siXest un vecteur propre associé à la valeur proprede la matriceA alors pour toutkréelnon nulle vecteurkXest aussi un vecteur propre deA

Exercice 6

Etant donné un polynôme quelconque à coefficients réelsP(x) =k=nP k=0a kxk. Si(; X) est un couple valeur-vecteur propre d"une matriceA, prouver que(P(); X)est un couple valeur-vecteur propre de la matriceP(A)

Exercice 7

Si -1 et 2 sont les valeurs propres deAune matrice carrée d"ordre 2 quelles sont les valeurs propres deA2?

Exercice 9

Prouver queAune matrice carrée d"ordrenest singulière (det(A)= 0)()0 est une valeur propre deA

Exercice 10

SiAn"est pas une matrice singulière on a vu ci-dessus que 0 ne peut pas être une valeur propre deA Prouver alors que siest une valeur propre deAalors1 est une valeur propre deA1 1

Exercice 11

1. Soit Aune matrice stochastique d"ordrensuivant les lignes. Montrer que(1;V)est un couple valeur-vecteur propre deA( avecV=0 B B@1 1 11 C CA)

Exercice 12

SoitAune matrice carrée d"ordrenidempotente (i.eA2=A). Montrer que les seules valeurs propres possibles pour une matrice idempotente sont 0 ou 1

Exercice 13

Une matrice carrée d"ordren,Aest dite nilpotente, s"il existe un entierp>2tel que A p= (0) 1. Mon trerque la seule v aleurp roprep ossiblep ourune matrice nilp otente,est 0 2.

Donner un exemple de matrice nilp otente

Exercice 14

On rappelle que la matrice d"une rotation plane de centre l"origine du repèreOet d"angleest : M =cos()sin() sin() cos() Discuter en fonction dede l"existence de valeurs propres pourM. Etait ce prévisible d"un point de vue géométrique?

Exercice 15

Trois vecteurs

!u1,!u2, et!u3de l"espace sontcoplanairessi le vecteur nul!0peut s"exprimer comme une combinaison linéaire des vecteurs!u1,!u2, et!u3c"est à dire il existeipour16i64non tous nulstel que : i=3X i=1 i!ui=!0 1. Donner dans le cub eABCDEFGHtrois vecteurs coplanaires (justifier) 2. Il s" agitmain tenantd"étendre la définition du déterminan taux matrices c ar- rées d"ordre 3 de telle sorte que si trois vecteurs coplanairesC1,C2etC3sont coplanaires alors le déterminant de la matrice(C1C2C3)est nul 2 On va définir le déterminant d"une matrice carréepar récurrenceainsi : (a) S iAest une matrice carrée d"ordren= 1alorsAest un nombre réel et det(A) = A (b) Si Aest une matrice carrée d"ordren>2on définitAijla sous-matrice de Aobtenue en supprimant la ligneiet la colonnejalorsAijest une matrice carrée d"ordren1et det(A) =nP j=1(1)i+jaijdet(Aij) =nP i=1(1)i+jaijdet(Aij) 3. Vérifier que cette définition redonn ela définition du d éterminantp ourune ma- trice carrée d"ordre 2 4.

Soit M=0

@0 1 2 1 01

1 1 01

A Vérifier que les vecteurs colonnesM1etM2ne sont pas colinéaires et les vecteursM1,M2etM3sont coplanaires (carM3= 2M2M1) 5.

Vérifier que det (M) = 0

6. Prouv erq uesi det (M) = 0oùMest une matrice carrée d"ordre 3 quelconque alors les vecteurs colonnes deMsont coplanaires

Exercice 16

SoitPun polynôme à coefficients réels de degrén,P(x) =nP k=0a kxkavecak2R 1. En admettan tle théorème de D"Alem bertGauss qui assure que tout p olynôme de degrénà coefficients réels anracines complexes , prouver que siaest racine dePalorsa, le conjugué deaaussi 2. En déduire que tout p olynômede degré impairà coefficients réels a au moins une racine réelle

Exercice 17

1. Donner un exemple de matrice carrée d"ordre 2 n"a yantpas de v aleurpropre réelle 2. Mon trerque toute matrice carrée d"ordre 3 a a umoins une v aleurprop reréelle 3. Com mentdéfinir la matrice ca rréed"une rotation dan sl"espace ?

Exercice 18

Calculer les valeurs propres (si elles existent) des matrices suivantes : A=0 @1 1 2 0 2 1

0 0 31

A ,B=0 @1 0 0 0 2 0

0 0 31

A ,C=0 @1 1 1 1 1 1

1 1 11

A , etD=0 @1 1 0 0 1 1

0 0 11

A

Exercice 19

Chercher des vecteurs propres des matrices ci-dessus lorsque c"est possible

Exercice 20

1. Calculer le p olynômecaract éristiquepBde la matrice diagonaleBde l"exercice 18 3

2.Vérifier que pB(B) = (0)

Exercice 21

On rappelle que deux matrices carréesMetNsont semblables s"il existe une matrice carrée inversibleStel queM=S1NS On dit qu"une relationRentre deux objets mathématiquesxetyest unerelation d"équivalence sur l"ensemble des objetsEdu même typequexetysi :

1.8x2E xRx(relation réflexive)

2.8x2E;8y2EsixRyalorsyRx(relation symétrique)

3.8x2E;8y2E8z2EsixRyetyRzalorsxRz(relation transitive)

1. Mon trerque toute relation de congruence sur Zest une relation d"équivalence surZ 2. Mon trerque to uterelation de similitude sur l"ensem bledes matrices carrées d"ordrenest une relation d"équivalence 3. Mon trerqu"u nerelation d"équiv alenceRsur un ensembleEengendre une par- tition deE

Exercice 22

1. Mon trerque si deux matrices carrées d"ordre 3 MetNsont semblables alors det(M) =det(N) 2. Mon trerque si deux matrices carrées d"ordre 3 MetNsont semblables alors p M=pN 3. Mon trerque la seule matrice ca rréed"ordre 2 sem blableà la matrice n ulle(0) est la matrice nulle 4. Mon trerque la matrice id entitéest sem blablea vecelle-même 5. Mon trerque la matrice n ulleest sem blablea vecelle-même 6.

Mon trerque A=0 1

0 0 et la matrice nulle (0) ont la même valeur propre 0 de multiplicité 2. Sont elles semblables?

Exercice 23

Une matrice carréeMest dite diagonalisable si elle est semblable à une matrice diago- nale. On a vu en cours une condition suffisante (mais non nécéssaire) : Si une matrice carrée d"ordrenanvaleurs propres réelles distinctes alors elle est diagonalisable 1. Mon trerque toute matrice carrée d"ordre 2 sto chastiqueest diagonalisable 2. Donner un exemple de ma tricecarrée d"ordre 2 diagonalisable a yantune v aleur propre de multiplicité 2 Exercice 24 (BAC Amérique du Nord juin 2016)On dispose de deux urnes U et V contenant chacune deux boules. Au départ, l"urne U contient deux boules blanches et l"urne V contient deux boules noires. 4 On effectue des tirages successifs dans ces urnes de la façon suivante : chaque tirage consiste à prendre au hasard, de manière simultanée, une boule dans chaque urne et à la mettre dans l"autre urne. Pour tout entier naturelnnon nul, on noteXnla variable aléatoire égale au nombre de boules blanches que contient l"urne U à la fin dun-ième tirage. 1. (a) T raduirepar une phrase la probabilité P(Xn=1)(Xn+1= 1)puis déterminer les probabilités conditionnelles suivantes : P (Xn=0)(Xn+1= 1);P(Xn=1)(Xn+1= 1)etP(Xn=2)(Xn+1= 1): (b) Exprimer P(Xn+1= 1)en fonction deP(Xn= 0);P(Xn= 1)etP(Xn= 2). 2. P ourtout en tiernaturel nnon nul, on noteRnla matrice ligne définie par : R n=P(Xn= 0)P(Xn= 1)P(Xn= 2) et on considèreMla matrice0 B @0 1 0 14 12 14

0 1 01

C A.

On noteR0la matrice ligne0 0 1.

On admettra par la suite que, pour tout entier natureln; Rn+1=RnM. DéterminerR1et justifier que, pour tout entier natureln; Rn=R0Mn. 3.

On admet que M=PDP1avec :

P=16 0 @2 3 1 1 0 1 23 11
A ; D=0 B @12 0 0 0 0 0

0 0 11

C

AetP1=0

@12 1 1 01

1 4 11

A

Etablir que, pour tout entier natureln; Mn=PDnP1.

On admettra que, pour tout entier natureln; Dn=0

B B@ 12 n 0 0 0 0 0

0 0 11

C CA. 4. (a)

Calculer DnP1en fonction den.

(b)

Sac hantque R0P=13

12 16 , déterminer les coefficients deRnen fonc- tion den. 5. Déterm inerlimn!+1P(Xn= 0);limn!+1P(Xn= 1)etlimn!+1P(Xn= 2).

Interpréter ces résultats.

Exercice 25 (Bac Polynésie juin 2016)Pour chacune des cinq propositions sui- vantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non jus- tifiée n"est pas prise en compte. Une absence de réponse n"est pas pénalisée. 5

1.Proposition 1

Pour tout entier natureln, le chiffre des unités den2+nn"est jamais égal à 4. 2. On considère la suite (un)définie, pourn>1, par u n=1n pgcd(20 ;n):

Proposition 2

La suite(un)est convergente.

3.Proposition 3

Pour toutes matricesAetBcarrées de dimension 2, on aAB=BA.quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19