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Calcul vectoriel - Exercices 1

EXERCICES - CALCUL VECTORIEL 1 Dans un triangle , une médiane est une droite issue d’un sommet qui coupe le côté opposé en son milieu

1 Produit scalaire et produit vectoriel

Université Aix-Marseille Faculté des sciences Licence de physique et licence de chimie Semestre 2 UE Mathématiques 2 TD2 Vecteurs de R3 On se place dans un repère orthonormé direct de R3

Espaces vectoriels

???? ( 4, 5) 4est un sous-espace vectoriel de supplémentaire ???? ( 1, 2, 3) dans ℝ Allez à : Correction exercice 13 Exercice 14

Devoir3pourle14Mai Corrigé Exercice1

Montrons que F est un sous-espace vectoriel de E et donner unebasede F Posons P 2 E = R 2 [ X ] Alorsilexistetroisréels a 0 ;a 1 ;a 2 telsque P = a 0 + a 1 X + a 2 X 2

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composante La dérivée d'un produit scalaire ou d'un produit vectoriel suit les lois de la dérivée d'un produit ordinaire 2 Les systèmes de coordonnées Rappel : L'intégrale d'une fonction f(x) entre deux bornes a et b est égale à l'aire sous la courbe associée Pour obtenir une valeur approximative de l'aire, on peut faire la

PRODUIT SCALAIRE EXERCICES CORRIGES - Meabilis

Exercice n° 3 ABC est un triangle équilatéral de côté a H est le projeté orthogonal de A sur (BC) et O le centre du cercle circonscrit à ABC Exprimer en fonction de a les produits scalaires suivants : AB AC⋅; AC CB⋅, AB AH⋅, AH BC⋅ et OA OB⋅ Exercice n° 4 u et v sont deux vecteurs de même norme

Chapitre 9 : Exercices

Exercice 13 Déterminer une base orthonormée des sous-espaces vectoriels F et G définis à l’exercice 9 Exercice 14 Soit E =R2 [X]muni du produit scalaire h·,·i défini par ∀(P,Q)∈ E2, hP,Qi = Z1 0 P (t)Q(t)dt Déterminer une base orthonormée de E pour ce produit scalaire Exercice 15 Erik Thomas Page 2/4 TSI 2

Espaces euclidiens – corrigé

Espaces euclidiens – corrigé (y) : désigne un exercice ou un raisonnement incontournable Exercice 1 On munit M n(R) du produit scalaire canonique a) Montrer que l’ensemble Hdes matrices de trace nulle est un sous-espace vectoriel de M n(R), et en donner la dimension b) Soit J la matrice dont tous les coefficients sont égaux à 1

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? Exercice 1 : Soient A, B, C, D et E cinq points n"appartenant pas tous à une même droite vérifiant :

CE DC AB==

a)Que peut-on dire des points C, D et E ? b)Quelle est la nature des quadrilatères ABCD et ABEC ? c)Que représente, pour le triangle ABC le point d"intersection des droites (AE) et (BD) ?

Solution :

a)Position des points D, C et E :

CE DC= donc C est milieu du segment [DC]

b)Nature des quadrilatères ABCD et ABEC :

DCAB= donc ABCD est un parallélogramme.

CE AB= donc ABEC est un parallélogramme.

c)Nature du point d"intersection des droites (AE) et (BD) pour le triangle ABC :

ABCD est un parallélogramme ( question b )

donc les diagonales [BD] et [AC] ont même milieu

THEME :

EXERCICES - CALCUL

VECTORIEL 1

Dans un triangle , une médiane est

une droite issue d"un sommet qui coupe le côté opposé en son milieu . donc (BD) coupe le segment [AC] en son milieu donc (BD) est la médiane issue de B dans le triangle ABC.

ABEC est un parallélogramme ( question b )

donc les diagonales [BC] et [AE] ont même milieu donc (AE) coupe le segment [BC] en son milieu donc (AE) est la médiane issue de A dans le triangle ABC.

Dans un triangle, les médianes sont concourantes en un point appelé centre de gravité du triangle.

Le point d"intersection des deux médianes (BD) et (AE) est le centre de gravité du triangle ABC

? Exercice 2 :

Soient ABCD et ABEF deux parallélogrammes.

Démontrer que le quadrilatère DCEF est un parallélogramme.

Solution :

ABCD est un parallélogramme donc

DC AB=

ABEF est un parallélogramme donc

FE AB=

Des deux égalités précédentes, nous pouvons en conclure que :

FE DC=

donc DCEF est un parallélogramme. ? Exercice 3 :

Soient A,B et C trois points non alignés.

a)Construire, au compas, le point M tel que

AB CM=

b)Soit N le point vérifiant AB NC= . Que peut-on dire des points N, C et M ?

Solution :

a)Construction du point M :

AB CM= donc CMBA est un parallélogramme.

Il suffit donc de construire, connaissant trois points , d"un parallélogramme, le quatrième point. Etape 1 : Prendre l"écartement AB avec le compas. Etape 2 : Pointe sèche en C, tracer un arc de cercle. Etape 3 : Prendre l"écartement AC avec le compas. Etape 4 : Pointe sèche en B, tracer un arc de cercle.

Etape 5 : Le point M est l"intersection des deux

arcs de cercle.

Position approximative du point M

b)Position des points N, C et M :

AB NC= et AB CM=

donc

CM NC=

donc C est milieu de [NM] ? Exercice 4 :

Soient A,B et C trois points non alignés.

Soit I le milieu de [AB]. Soit D l"image du point C dans la translation de vecteur AI.

Quelle est la nature du quadrilatère IBDC ?

Solution :

D est l"image du point C dans la translation de

vecteur

AI donc

CD AI=

I est milieu de [AB] donc

IB AI=

Des deux égalités vectorielles précédentes, nous pouvons écrire :

CD IB=

donc IBDC est un parallélogramme. ? Exercice 5 : Soit ABCD un parallélogramme et soit E l"image de C dans la translation de vecteur AB . a)Montrer que

CE DC= .

b)Que peut-on en déduire pour le point C ?

Solution :

a) Egalité des vecteurs

CE t DCe :

ABCD est un parallélogramme donc

DC AB=

E est l"image de C dans la translation de

vecteur

AB donc

AB CE=

Des deux égalités, nous pouvons écrire :

CE DC=

b)Position du point C :

CE DC= donc C est milieu de (DE]

? Exercice 6 : Soit [EF] et [CD] deux diamètres d"un même cercle.

Montrer que

DC DF DE et EF ED EC=+=+

Solution :

En appelant O le centre du cercle, nous avons :

O milieu de [CD] ( [CD] est un diamètre du cercle de centre O ) O milieu de [EF] ( [EF] est un diamètre du cercle de centre O ) Les diagonales du quadrilatère ECFD ont même milieu

Donc ECFDest un parallélogramme.

( C"est même un rectangle - diagonales de même longueur - mais cette information est inutile ici )

ECFD est un parallélogramme donc

EF ED EC=+ ( cf. cours -

Addition vectorielle - Méthode du parallélogramme ) ECFD est un parallélogramme donc DECF est un parallélogramme autre nom du même parallélogramme ) DECF est un parallélogramme donc DC DF DE=+ ( cf. cours - Addition vectorielle - Méthode du parallélogramme ) ? Exercice 7 : Brevet des Collèges - Afrique - 1996 Construire un triangle équilatéral ABC de 5 cm de côté, puis placer sur la figure les points M et N tels que

AC BN CB CA CM=+=

Question supplémentaire ( non demandé au Brevet )

Montrer que B est milieu de [MN]

Solution :

Construction de M :

CB CA CM+= donc CAMB est un parallélogramme

Construction de N :

AC BN=donc BNCA est un parallélogramme ( ou N est le translaté de B dans la translation de vecteur AC )

Question supplémentaire - Position de B :

CB CA CM+= donc CAMB est un parallélogramme

donc

AC MB=

De plus

AC BN=( hypothèse )

Donc

BN MB=

Donc B est milieu de [MN]

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