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Recueil compilé par ClémentBOULONNESession CAPES 2013 Ce document est sous licence Creative Commons 3.0 France: paternité pas d"utilisation commerciale partage des conditions initiales à l"identique 4Table des matières
Correspondance avec les leçons de la session 2017 (option maths) 17I Probabilités et statistiques
1 1Résolution de pr oblèmesà l"aide de gra phes•• • • • • • • • • • • • • • • • • 3
1.1 1.2Color ationde gr aphes5
1.3Recher chedu plus cour tchemin 9
1.4Gr aphepr obabiliste12
2Expér iencealéa toire,pr obabilité,pr obabilitéconditionnelle •• • • • • 15
2.1Expér iencealéatoir e,événements 15
2.2Pr obabilités16
2.3Pr obabilitésconditionnelles 19
3V ariablesaléa toiresdiscrètes •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 23
3.1 Loi de pr obabilités.Fonction de répar tition23 3.2Espér ancem athématique25
3.3V arianceet écar t-type26
3.4 Exemples de v ariablesaléatoir esdiscrètes 29 4Loi binomiale •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 33
4.1Loi de Ber noulli33
4.2Loi binomiale 34
4.3 Pr opriétéssur les coef ficientsbinomiaux 35 4.4Sta bilitéadditiv ede la loi binomiale 40
4.5Con vergence40
4.6Échantillonnage 41
4.7Loi m ultinomiale43
5Loi de P oisson,loi nor male•• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 45
5.1Loi de P oisson45
5.2Loi nor male47
5.3Con vergence50
6V ariablesaléa toiresréelles à densité •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 53
6.1Intr oduction53
6.2Densité et loi de pr obabilité53
6.3 V ariablesaléatoir escontinues .Loi unif orme,loi exponentielle 54 6.4 Espér anced"une v ariablealéatoir econtinue 566TABLE DES MATIÈRES6.5Exemples de v ariablesaléatoir esà densité 56
6.6Applications 62
7Lois unif ormes,lois e xponentielles•• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 65
7.1Lois unif ormes65
7.2Lois exponentielles 69
8Lois nor males•• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 75
8.1Pr emièresdéfinitions 75
8.2Loi nor malecentrée 75
8.3 De la loi nor maleà la loi nor malecentrée réduite, utilisation de ta bles76 8.4Con vergence79
8.5 Théorème de De Moivr e-Laplaceet a pplications80 9Mar chesaléa toires•• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 83
9.1Chaînes de Mar kov83
9.2Chaînes de Mar kovau lycée 85
9.3 Un cas par ticulierde chaîne de Mar kov: m archesaléatoir essur Z86 9.4Mar chesaléatoir essur Zd92
9.5Mar chesaléatoir essur un gr oupe94
9.6Mar chesaléatoir esgr andeurnatur e95
10Sér iessta tistiquesà une v ariable•• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 97
10.1Pr emièresdéfinitions et exemples 97
10.2Ef fectifet fréquence 98
10.3Etendue et mode d"une sér iestatistique 99
10.4P aramètrede position 99
10.5P aramètrede disper sion100
11Sér iessta tistiquesà deux v ariablesnumér iques•• • • • • • • • • • • • • 103
11.1Nuage de points 103
11.2P ointmo yen103
11.3Car actéristiquesnumér iques104
11.4Ajustement af fine105
11.5A utrestypes de régr ession110
12Inter vallesde fluctua tion•• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 111
12.1Le théorème de De Moivr e-Laplace111
12.2Activités d"intr oductionen Seconde 112
12.3 Inter vallede fluctuation, la théor ieen T erminaleS 113 12.4D"autr esexemples 117
12.5A vecXcas 119
13Estima tion•• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 121
13.1Estim ation121
13.2T estsd"h ypothèses123
TABLE DES MATIÈRES7II Arithmétique & Algèbre129 14Multiples ,diviseur s,division euc lidienne•• • • • • • • • • • • • • • • • • • • 131
14.1Multiples et diviseur sdans Z131
14.2Division euclidienne 135
14.3V ersles congr uences136
15PGCD ,ég alitéde Bézout •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 141
15.1PGCD : Plus gr andcomm undiviseur 141
15.2Nombr espr emiersentr eeux 143
15.3Ég alitéde Bézout 145
15.4Applications 146
15.5Questions du jur y150
16Nombr espr emiers•• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 151
16.1Intr oduction151
16.2Nombr espr emiers: définition 151
16.3 Quelques pr opriétéssur les nombr espr emiers151 16.4Recher chedes nombr espr emiers153
16.5Décomposition en f acteurspr emiers156
16.6Compléments 157
17Congr uencesdans Z•• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 161
17.1Pr emièresdéfinitions 161
17.2Compléments : l"anneau Z/nZ163
17.3Applications 166
18 Équa tionsdu second degré à coef ficientsréels ou comple xes•• • 173 18.1 Pr emièresdéfinitions et mise sous f ormecano nique173 18.2 Résolution dans Cdes équations du second degré à coefficients réels174 18.3Applications 177
18.4 Résolution d"équations du second degré à coef ficientscomplexes 180 19Module et ar gumentd"un nombr ecomple xe•• • • • • • • • • • • • • • • 183
19.1P etitr appelsur les nombr escomplexes 183
19.2Module d"un nombr ecomplexe 184
19.3Ar gumentd"un nombr ecomplexe 185
19.4 Dif férentesf ormesd"écr ituresdes nombr escomplexes 188 19.5Applications 191
19.6 Pr opositionsde questions posées par le Ju ry193 20Ex emplesd"utilisa tiondes nombr escomple xes•• • • • • • • • • • • • • 195
20.1Les nombr escomplexes en géométr ie195
20.2Les nombr escomplexes pour la résolution d" équationsalgébr iques203 20.3
Les nombr escomplexes et l"électr onique205
21Calcul v ectoriel•• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 209
21.1Opér ationssur les v ecteurs209
21.2Équations d"une dr oiteou d"un plan 210
21.3Bar ycentresd"un ensemble de points de l"espace 212 21.4
Pr oduitscalair e215
21.5Pr oduitv ectoriel,pr oduitmixte 222
22Ex emplesd"utilisa tiond"un r epère•• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 229
22.1Définition d"un r epère229
22.2Utilisation de r epères232
22.3Fonctions et changement de r epère241
22.4Système de coor données241
22.5Coor donnéesgéogr aphiques242
22.6Et sans r epèreor thonormé...243
22.7A utrespistes pr oposéespar Ar mellesur LCM2013 245 23
Résolution de pr oblèmesà l"aide de ma trices•• • • • • • • • • • • • • • 247
23.1Matr iceset opér ationssur les m atrices247
23.2Résolution de systèmes d"équations 251
23.3Matr icede Leontief 253
23.4Courbes polynomiales 254
23.5T rigonalisationde m atrices255
23.6DM TICE - Chif frementde Hill 257
24Pr oportionnalitéet linéar ité•• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 261
24.1Situation de pr oportionnalité261
24.2Représentation gr aphique265
24.3Pr oportionnalitéet f onctionslinéair es265
24.4Pr oportionnalitéet f onctionsaf fines266
24.5Applications 268
25P ourcentages•• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 271
25.1Intr oductiondu pour centageau collège 271
25.2Des pour centagesen 1
reES273 25.3Les pièges des pour centages277
25.4Applications économiques : les intérêts 278 26
Systèmes d"équa tionset systèmes d"inéqua tions•• • • • • • • • • • • • 281
26.1Rem arquesav antde commencer 281
26.2Cas par ticulier: systèmes d"équations 2×2281 26.3
Cas génér ald"un système d"équations ,métho dedu piv otde Gauss 283 26.4
Système d"inéquations 285
26.5Intr oductionà la pr ogrammationlinéair e287
TABLE DES MATIÈRES9III Géométrie291
27Dr oitesdu plan •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 293
27.1Génér alitéssur les dr oites293
27.2Dr oitespar allèlesà un axe 293
27.3Equation d"une dr oite293
27.4Car actérisationde dr oitespar allèleset per pendiculaires298 27.5
A utresf ormesd"équations de la dr oite300
27.6For meimplicite, par allélismeet per pendiculaires301 27.7
Inter sectionde tr oisdr oites302
28Dr oiteset plans de l"espace •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 303
28.1Dr oiteset plans 303
28.2P ositionsr elatives305
28.3Applications 308
29Dr oitesr emarquablesdu tr iangle•• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 313
29.1Intr oduction313
29.2Médiatr ices313
29.3Hauteur s315
29.4Médianes 317
29.5Bissectr ices319
29.6Dr oitespar ticulièresd"un tr iangleisocèle ou équila téral322 29.7
Compléments 324
30Le cer cle•• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 327
30.1Définitions 327
30.2Quelques pr opriétésdu cer cle328
30.3Equation car tésiennedu cer cle330
30.4Puissance d"un point par r apportà un cer cle332 30.5
Le cer clevue comme une conique 332
31Solides de l"espace •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 333
31.1