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Domaine et racines d’une fonction

Une fonction peut ne pas avoir de racine, ou bien peut en avoir une ou plusieurs voire une infinité Sur le graphe de la fonction, les racines sont les intersections du graphe avec l’axe des x Comment trouver les racines d’une fonction ? Il suffit d’annuler le numérateur de la fonction On est donc ramené à résoudre une équation

Domaine de définition d’une fonction : solutions des exercices

Remédiation mathématique - A Vandenbruaene 1 Domaine de définition d’une fonction : solutions des exercices 1 € f(x)= 2x−10 x−7 C E € 2x−10≥0 x−7≠0 x≥5

Les polynˆomes: fonctions rationnelles

– Par exemple le domaine de la fonction rationnelle 7x4 −3x5 +12 2x− 1 est tous les nombres r´eels R except´e le num´ero 1 2 puisque 2· 1 2 −1 = 0 On peut exprimer le domaine comme suit: R\{1 2} Trouver le domaine d’une fonction rationnelle Si on cherche le domaine d’une fonction rationnelle p(x) q(x) il faut d’abord trouver

Bornes des fonctions - unicefr

Maximum d’une fonction Certaines fonctions major´ees atteignent leur maximum Et d’autres ne l’atteignent pas Exemples La fonction cosinus atteint son maximum en 0 La fonction x 7→ −ex n’atteint pas son maximum, bien qu’elle soit major´ee par 0 Exo 4 Donnez un exemple de fonction qui, bien que minor´ee, n’atteint pas son

Fonction exponentielle et fonction logarithmique 5

À l’inverse si l’on cherchait à trouver la valeur de l’exposant x associée à une valeur de y, on associerait à y = 4, l’exposant x = 2 On appel-le cet exposant le logarithme de base 2 de 4 et on le note log 2 4 La fonction ainsi créée que l’on désigne par ƒ-1 est appelée fonction logarithmique de base 2 et est notée log 2

Fonctions holomorphes - Université Paris-Saclay

– Une fonction polynomiale P(z) = Pk 0 anz n est holomorphe Par contre une fonction x + iy ∈ C → P(x,y) ∈ C pour P ∈ C[X,Y] ne sera en g´en´eral pas holomorphe – La fonction z → 1/z est holomorphe sur C∗; les fractions rationnelles P(z)/Q(z) sont holomorphes en dehors des z´eros de Q Proposition 1 9 Soit U ⊂ Cun ouvert connexe

Fonctions trigonométriques - ac-noumeanc

II] La fonction tangente Définition : tan x = sinx cosx, donc tan x existe si et seulement si cos x ≠ 0 c'est-à-dire si x ≠ π 2 + k π avec k ∈ On note D l'ensemble de définition de la fonction tangente : D = − {π 2 + k π avec k∈ } Propriétés : La fonction tangente est π périodique et impaire

onctionF arcsin

1) Déterminer le domaine de dé nition de la fonction f 2) Déterminer le domaine où la fonction f est dérivable 3) Dériver f Correction de l'exercice 1 1) La fonction n'est pas dé nie pour x = 1 puisque dans ce cas 1−x = 0 De plus, la fonction f n'est dé nie que si: −1 6 1+x 1−x 6 1

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Term S Fonctions trigonométriques I ] Les fonctions sinus et cosinus ( rappels de seconde ) 1) Définitions et valeurs remarquables Définitions : Soit M un point du cercle trigonométrique tel que

IOM

Valeurs remarquables x 0 π6 π4 π3 π2 2π3 3π4 5π6 π cos x 1 32 22 12 0 - 12 - 22 - 32 -1 sin x 0 12 22 32 1 32 22 12 0 tan x 0 1

3 1 3

N'existe pas - 3

-1 -1 3

0 2) La fonction cosinus cos :

[ -1 ; 1 ] x cos x Ensemble de définition =

. (rappel de 1er : cos ' x = - sin x ) Quel que soit le réel x, cos(x + 2π) = cos x ; On dit que la fonction cosinus est périodique de période 2π. Quel que soit le réel x, cos(-x) = cos x La fonction cosinus est paire . On peut donc étudier la fonction cosinus sur [ 0 ; π

] , puis faire la symétrie par rapport à l'axe des abscisses (parité) , puis des translations (période). Tableau des variations : x -π - π2 0 π2 π cos 1 0 0 -1 -1

Courbe représentative de la fonction cosinus : 3) La fonction sinus sin : [ -1 ; 1 ] x sin x Ensemble de définition =

. (rappel de 1er : sin ' x = cos x ) Quel que soit le réel x, sin(x + 2π) = sin x ; On dit que la fonctions sinus est périodique de période 2π. Quel que soit le réel x, sin(-x) = -sin x La fonction sinus est impaire . On peut donc étudier la fonction sinus sur [ 0 ; π ] , puis faire la symétrie par rapport à l'origine du repère (parité) , puis des translations (période). Tableau des variations : x -π - π2 0 π2 π sin 1 0 0 0 -1 Courbe représentative de la fonction sinus : II] La fonction tangente Définition : tan x =

sinx cosx

, donc tan x existe si et seulement si cos x ≠ 0 c'est-à-dire si x ≠ π2 + k π avec k ∈

. On note D l'ensemble de définition de la fonction tangente : D = - {π2 + k π avec k∈

} Propriétés : La fonction tangente est π périodique et impaire. Conséquence : on réduit l'intervalle d'étude à ] - π2 ; + π2 [ O

1 -1

π2π-π-2π

3π 2 2 2 3π 2

3π-3π

5π 2 5π 2 O 1 -1 3π 2 2 2 3π 2 3π 5π 2 5π 2 -3π-2π-π2π Propriétés: la fonction tangente est dérivable en tout x de D et tan ' x = 1 + tan² x = 1 cos 2 x

>0 donc la fonction tangente est strictement croissante sur D. III ] Equations trigonométriques 1) Résolution des équations cos x = a et sin x = a ( x ∈

) • Si a ∉ [ -1 ; +1 ] alors ces équations n'ont pas de solutions. • Si a ∈ [ -1 ; +1 ] alors ces équations ont une infinité de solutions dans

: Pour sin x = a , on cherche une solution particulière α sur [ 0 ; π ] telle que sin α = a = sin x , on obtient toutes les solutions sous la forme : x=!+2k" x="#!+2k" avec k ∈ . Pour cos x = a , on cherche une solution particulière α sur [ 0 ; π ] telle que cos α = a = cos x , on obtient toutes les solutions sous la forme : x=!+2k" x=#!+2k" avec k ∈ . Exercice : Résoudre les équations suivantes : cos x = - 0,5 dans ; sin x = 3 2

sur [ 0 ; 2 π] ; 2 sin(3x) = 1 pour x ∈ [0 ; 6 π ]. 2) Résolution de l'équation tan x = a , x ∈ D Pour a réel quelconque, on cherche une solution particulière α

sur [ - 2 ; 2 ] telle que tan α = a = tan x, on obtient toutes les solutions sous la forme x = α + k π avec k ∈quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34