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Math 4G - Exercices Page 1 Calcul vectoriel Exercices supplémentaires 1 On donne les points A, B, C, D, E, F et G Représente les vecteurs suivants :

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CALCUL MATRICIEL Exercices EXERCICE 1 : opérations sur les matrices a) Soient les matrices 1 23 456 7 89 01 0 A = et 10 1 022 23 3 12 1 B − −− −− Calculer 2 ; ;3 2 ;A B B A A B AB+ − − b) Effectuer les produits suivants (si cela est possible) : ( ) 1 13

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EXERCICES

CALCUL DIFFERENTIEL EXERCICES EXERCICE 1 : On considère la fonction f définie sur 2 par 42 64 si , 0,0, 0 si , 0,0 xy xy f x y xy xy ­ ° z ® ° ¯ 1) Montrer que pour tous réels positifs u et v, 2 vd 2) En déduire que la fonction f est continue sur 3) Montrer que la fonction f admet des dérivées partielles d’ordre 1 en tout point de

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Exercice 2 On donne A = 71 et B = 71 Calculer A², AB et 11 AB Exercice 3 1 Soit A = 11 4 7 43 12 7 Montrer que A = 4 ; 2 Soit n un entier naturel et B = 1 n 1 n a) Montrer que B n 1 n b) En déduire que 1 B 2 n 1d d Exercice 4 1 Soit A = 2 3 2 3 ; Calculer A2 et déduire A 2 a) Montrer que pour tout x * \ on a 6x: 1 1 1 2 x 1 x 1 x 2 x

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72 - 73 Enlever un nombre à un autre (calcul en ligne) 74 à 82 Tables de multiplication 83 – 86 Doubles Exercice 1 : 1 min 1 + 1 = 2 + 3 = 6 + 2

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Introduction au calcul scientifique 1 MA261 Introduction au calcul scientifique Corrig´e 1 : Introduction `a Matlab Exercice 1 Soient les vecteurs colonnes et la matrice suivants ~u1 = 1 2 3 , ~u 2 = −5 2 1 , ~u 3 = −1 −3 7 , A = 2 3 4 7 6 5 2 8 7 1 Structures Matlab (a) Entrer ces donn´ees sous Matlab

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TD Master 2 { Martingales et calcul stochastique

TD Master 2 { Martingales et calcul stochastique Corrig e des exercices du chapitre 8 { Int egrale d’It^o Exercice 8 1 On consid ere les deux processus stochastiques X t= Z t 0 esdB s; Y t= e tX t: 1 D eterminer E(X t), Var(X t), E(Y t) et Var(Y t) X t etant l’int egrale d’un processus adapt e, on a E(X t) = 0 Par cons equent, l’isom

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TD Master 2 { Martingales et calcul stochastique

Corrige des exercices du chapitre 8 { Integrale d'It^o

Exercice 8.1

On considere les deux processus stochastiques

X t=Z t 0 esdBs; Yt= etXt: X tetant l'integrale d'un processus adapte, on aE(Xt) = 0. Par consequent, l'isometrie d'It^o donne Var(Xt) =E(X2t) =Rt

0e2sds=12

[e2t1]. Enn, par lineariteE(Yt) = 0 et par bilinearite Var(Yt) = e2tVar(Xt) =12 [1e2t].

2.Specier la loi deXtet deYt.

Etant des integrales stochastiques de fonctions deterministes,XtetYtsuivent des lois normales (centrees, de variance calculee ci-dessus).

3.Montrer queYtconverge en loi vers une variableY1lorsquet! 1et specier sa

loi. La fonction caracteristique deYtestE(eiuYt) = eu2Var(Yt)=2. Elle converge donc vers e u2=4lorsquet! 1. Par consequent,Ytconverge en loi vers une variableY1, de loi normale centree de variance 1=2.

4.ExprimerdYten fonction deYtet deBt.

La formule d'It^o avecu(t;x) = etxdonne

dYt=etXtdt+ etdXt=Ytdt+ dBt: Y test appeleprocessus d'Ornstein{Uhlenbeck.

Exercice 8.2

Soit X t=Z t 0 sdBs:

1.CalculerE(Xt)etVar(Xt).

X tetant l'integrale d'un processus adapte, on aE(Xt) = 0. Par consequent, l'isometrie d'It^o donne Var(Xt) =E(X2t) =Rt

0s2ds=13

t3.

2.Quelle est la loi deXt?

X tsuit une loi normale centree de variance13 t3.

3.Calculerd(tBt)a l'aide de la formule d'It^o.

La formule d'It^o avecu(t;x) =txdonne d(tBt) =Btdt+tdBt.

4.En deduire une relation entreXtet

Y t=Z t 0 B sds : CommeBsds= d(sBs)sdBs, on a la formule d'integration par parties Y t=Z t 0 d(sBs)Z t 0 sdBs=tBtXt: Y tsuit donc une loi normale de moyenne nulle.

5.Calculer la variance deYt,

(a)directement a partir de sa denition;

CommeE(BsBu) =s^u,

E(Y2t) =EZ

t 0Z t 0 B sBudsdu=Z t 0Z t 0 (s^u) dsdu Z t 0 Zu 0 sds+Z t u uds du=Z t 0 12 u2+utu2 du=13 t3: (b)en calculant d'abord la covariance deBtetXt, a l'aide d'une partition de[0;t]. Pour calculer la covariance, on introduit une partitionftkgde [0;t], d'espacement

1=n. Alors

cov(Bt;Xt) =E(BtXt) =EZ t 0 sB tdBs = lim n!1X kt k1E(Bt(BtkBtk1)) = lim n!1X kt k1(tktk1) Z t 0 sds=12 t2:

Il suit que

Var(Yt) = Var(tBt) + Var(Xt)2cov(tBt;Xt) =t3+13

t32tcov(Bt;Xt) =13 t3:

En deduire la loi deYt.

Y t=tBtXtetant une combinaison lineaire de variables normales centres, elle suit egalement une loi normale centree, en l'occurrence de variancet3=3. Remarquons que Y trepresente l'aire (signee) entre la trajectoire Brownienne et l'axe des abscisses.

Exercice 8.3

1.SoitYune variable aleatoire normale centree, de variance2. Montrer que

E(eY) = e2=2

En completant le carre (yy2=22=2=2(y2)2=22), il vient

E(eY) =Z

1 1 eyey2=22p22dy= e2=2Z1 1e (y2)2=22p22dy= e2=2: 2

2.SoitBtun mouvement Brownien standard, et': [0;T]!Rune fonction indepen-

dante deBt. Pourt2[0;T]on pose X t=Z t 0 '(s)dBs CalculerE(Xt)etVarXt. On precisera les hypotheses faites sur la fonction'. '(s) etant adapte, on aE(Xt) = 0 pourvu que'soit integrable. L'isometrie d'It^o montre que

VarXt=Z

t 0 '(s)2ds=: (t); pourvu que'soit de carre integrable.

3.Montrer que

M t= exp X t12 Z t 0 '(s)2ds est une martingale.

Soitt > s>0. La dierenceXtXs=Rt

s'(u)dBuest independante deFs, et suit une loi normale centree de variance (t)(s). Par consequent, E(eXtjFs) =E(eXseXtXsjFs) = eXsE(eXtXs) = e((t)(s))=2 en vertu de 1., ce qui equivaut a la propriete de martingale pourMt.

4.Demontrer l'inegalite de Bernstein : Pour tout >0,

P n sup

06s6tXs> o

6exp 22(t)
ou(t) =Z t 0 '(s)2ds. Soit >0. En remplacant'par 'dans la denition deXt, on voit que M t= exp X t 22
Z t 0 '(s)2ds est egalement une martingale. Il suit que P sup

06s6tXs>

=P sup

06s6te

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