1 Proportionnalité et représentation graphique
3 a Quatrième proportionnelle Dans une situation de proportionnalité, la quatrième proportionnelle est le nombre x (inconnu) calculer à partir de trois autre nombres déjà connus (a, b et c) Ce tableau ci-contre est un tableau de proportionnalité Donc c x a b = et donc b×c =a×x (égalité du produit en croix) a c b x? a, b et c sont non
Fonctions et proportionnalité - univ-reunionfr
On souhaite tracer la courbe représentative de la fonction f définie sur R par : fpxq “ x2 ´4x `1 On trace par exemple la portion de courbe représentative de f dont les abscisses sont comprises entre ´1 et 5
Fonctions et proportionnalité - pagesperso-orangefr
1°) definition et proprietes Soit x une quantité variable et f une fonction qui à x associe la quantité y ( Exemple 1 : x est la durée du travail en heures de M Dupont et y est le salaire en francs de M Dupont - Exemple 2 : x est l’âge de M Dupont et y est le
LANALY-SE DES -TACHES ET LA QUALIFICATION DU TRAVAIL
13 Courbe proportionnelle de salaire entre la valeur du travail et le salaire normal en partant du salaire normal maximum et du salaire conventionnel minimum 14 Exemple d'une courbe de salaire progressive pour les valeurs du travail 15
LA SÉLECTION DES POMPES CENTRIFUGES ET L’INTERPRÉTATION DES
courbe pointillée de la figure 4-10 représente la courbe caractéristique de la pompe La pompe opère seulement sur sa courbe caractéristique L’intersection de la courbe du système avec la courbe caractéristique définit la point d’opération, ce qui est le seul point à partir duquel la pompe et le système peuvent opérer
Création des courbes d’évolution
La courbe d’évolution est une moyenne des courbes de croissance Deux types de courbes d’évolution existent : la courbe actuelle d’évolution et la courbe effets de traitement La courbe actuelle d’évolution fait évoluer les strates au début du calcul, tant qu’aucun traitement sylvicole n’est appliqué sur la strate
NOTIONS FONDAMENTALES DE CHROMATOGRAPHIE
Fig Courbe d'élution ou Chromatogramme d'un mélange à 2 constituants Le pic de gauche correspond au soluté qui n'est pas retenu par la phase stationnaire et qui atteint le détecteur à la même vitesse que celle de l'éluant Son temps de rétention t M
Principes de Pharmacocinétique
AUC = Aire sous la courbe = - si toute la dose administrée PO est absorbée => BD absolue = 100 (= IV)-une BD absolue de 50 signifie que seule la moitié de la quantité administrée est retrouvée dans le circulation générale-La BD relative est la comparaison de 2 galéniques pour une même voie BD absolue et relative Notion de
UE3 – COURS 3 : Pharmacodynamie: Interactions médicament
• Décrire et interpréter une courbe dose-réponse en pharmacologie expérimentale et en clinique (notions d’efficacité et de puissance) • Comprendre la notion de sélectivité d’une molécule Ces points peuvent tomber comme QR aux partiels ou sous forme de QCM mais aussi sous forme de graphique que l'on devra interpréter
[PDF] ax3+bx2+cx+d=0
[PDF] dérivée ax2+bx+c
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UE 22A1Fonctions etproportionnalité
Gottfried Wilhelm Leibniz, 1700.c?Johann Friedrich WentzelUn peu d"histoire L"idée de relation entre des quantités est très ancienne. Le premier âge de l"idée de fonction est celui de l"antiquité avec notamment les mathématiciens babyloniens qui usaient large- ment des tables sexagésimales de réciproques, de carrés, de racines carrées, de cubes... Mais peut-on dire que l"idée de fonction était présente? Ces tables étaient conçues comme des relations entre des ensembles discrets et finis de quanti- tés constantes, bien loin avant que la quantité variable, etla loi de variation soient exhibées comme des objets mathéma- tiques.Il faudra attendre la fin du 17
èmesiècle pour que le terme
de fonction (du latinfuctioqui signifie exécution) soit intro- duit par le mathématicien allemandLeibniz Gottfried, dans un cadre géométrique. La notation fx apparaît chezLéonard Euleren 1734.La notion de proportion, elle, est présente chezEuclidedans leLivre V des Éléments(compilation du savoir géométrique qui resta le noyau de l"enseignement mathématique pendant près de 2000 ans). Voilà la définition qu"il donne qu"il donne de nombres proportionnels : "On ditde quatregrandeurs, a,b,c,d,prisesdanscetordre, que la première est à la deuxième dans le même rapport que la troisième est à la quatrième, quand n"importe quel équi- multiple de la première et de la troisième grandeur est en même temps et respectivement soit supérieur, soit égal, soit inférieur à n"importe quel équimultiple de la deuxième et de la quatrième grandeur. » Je laisse au lecteur le soin de traduire, en langage mathéma- tique, cette définition;-) 3Ce qu"il faut savoir
1.Généralités sur les fonctions
A.Définitions
DÉFINITION :Fonction, image, antécédent
Unefonctionest une relation qui à chaque élémentxd"un ensembleDappelé ensemble de définition est associé un unique élémenty. On note :y"fpxqouf:xÞÑyou encorexfÞÑy. yest l"imagedexparfetxest unantécédentdeyparf. REMARQUE:il y a toujours une image, mais il peut y avoir aucun, un ou plusieurs antécé- dents. ExempleSoitfla fonction définie surRparfpxq "x2`3. "Pour calculer l"image d"un nombrexparf, il suffit de remplacer le "x» dans l"expression def: l"image de 5 parfestfp5q "52`3"28."Pour calculer les éventuels antécédents d"un nombreyparf, il faut résoudre l"équation
fpxq "y: - les antécédents de 7 vérifientfpxq "7 c"est à direx2`3"7ðñx2"4ðñx" ´2 oux"2; il y a deux antécédents de 7 parf.- les antécédents éventuels de 1 vérifieraientfpxq "1 c"est à direx2`3"1ðñx2" ´2;
cette équation est impossible car un carré ne peut pas être négatif, donc il n"y a pas d"an-
técédent de 1 parf. - l"antécédent de 3 vérifiefpxq "3 c"est à direx2`3"3ðñx2"0ðñx"0; il y a un seul antécédent de 3 parf.B.Courbe représentative
On souhaite tracer la courbe représentative de la fonctionfdéfinie surRpar :fpxq "x2´4x`1. On trace par exemple la portion de courbe représentative de fdont les abscisses sont comprises entre´1 et 5. On commence par compléter un tableau de valeurs : x´1 0 1 2 3 4 5 fpxq6 1´2´3´2 1 6 Puis on place les points de coordonnéesMpx,fpxqqdans le re- père ci-contre avant de tracer " à main levée » la courbe pas- sant par les points. la touche de la calculatrice TI-Collège Plus permet de créer une table de valeurs. ´1 ´2 ´3´41
23451 2 3 4 5´1
Cf 0 4 Chapitre A1.Fonctions et proportionnalitéN.DAVALCe qu"il faut savoir
DÉFINITION :Courbe
Dans un repère (ici cartésien) OIJ, l"ensemble des pointsMde coordonnéespx,fpxqqforme la courbe représentative de la fonctionf, souvent notéeCf. REMARQUE:on attribue au mathématicien et philosophe françaisRené Descartesl"invention des repères cartésiens : il associe à un point deux nombres, le nombrexmesurant la distance par rapport à une droite et le nombreymesurant la distance qui s"applique par ordre à cette droite, d"où le nom ordonnée. MÉTHODE 1Lecture d"une image ou d"un antécédent "Pour lire l"imaged"un nombrexpar une fonctionf, on détermine l"ordonnée de la courbe d"abscissex. "Pour lire le ou lesantécédentsdeypar une fonctionf, on détermine le ou les abscisses de la courbe d"ordonnéey. Exercice d"applicationDéterminer l"image de 1 par la fonctionf. ´1 ´2´31
21 2 3 4´10
CfCorrectionOn se place enx"1 sur l"axe des abs-
cisses, puis on se déplace verticalement jusqu"à rencontrerCf. Enfin, on lity"fpxqsur l"axe des ordonnées : l"image de 1 parfest´2 Exercice d"applicationDéterminer le ou les antécé- dent(s) de 1 par la fonctionf. ´1 ´2´31
21 2 3 4´10
CfCorrectionOn trace la droite horizontale d"ordon-
néey"1. À partir des points d"intersection avec la courbe, on se déplace verticalement vers l"axe des abscisses pour lire les antécédents : les antécédents de 1 parfsont 0 et 4C.Extremum
DÉFINITION :Maximum, minimum
On dit que la fonctionfadmet unmaximumM[resp.minimumm] sur un intervalleI,N.DAVAL
Chapitre A1.Fonctions et proportionnalité5
Ce qu"il faut savoir
ExempleAlbert part dans les Alpes Autrichiennes, dans la mythique station de ski deKitzbühel. Sitôt arrivé, il décide de dévaler la piste appelée Streif, réputée la plus difficile au
monde, sur laquelle il effectue un saut. On admet que la hauteur du saut d"Albert par rap- port au sol de la piste s"exprime en fonction du déplacement horizontal,x, par la fonctionS:xÞÑ2,5´p2x´55q2
1210oùxetSpxqsont exprimés en mètres.
1)Calculer l"image de 10 par la fonctionS. Interpréter ce résultat.
2)On a tracé la courbe représentative de cette fonctionS.
00.51.01.52.02.5
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55
a)Que représente, pour Albert, la valeur 55 sur l"axe des abscisses? b)Déterminer graphiquement quelle a été la hauteur maximale du saut d"Albert. À quel déplacement horizontal cette valeur correspond-elle?3)Retrouver, par le calcul, la hauteur maximale du saut d"Albert.
Correction
1)Sp10q "2,5´p210´55q21210"1,49. Cela signifie que, quand Albert s"est déplacé horizon-
talement de 10 m, il est à environ 1,49 m du sol.2) a)55 m est la longueur du saut, mesurée en déplacement horizontal et non le long de la
pente de la piste. b)La hauteur maximale du saut d"Albert est d"environ 2,5 m, elle correspond à une dépla- cement horizontal d"environ 27,5 m.3)L"expressionSest la somme de deux termes dont le premier est fixe et le secondest négatif
ou nul puisquep2x´55q2est un carré, positif ou nul. Il en résulte que la valeur deSest maximale lorsquep2x´55q2est nul, donc lorsque 2x"55 soitx"552"27,5.
Dans ce cas,S"2,5.
Donc, la hauteur maximale du saut d"Albert est de 2,5 m. 6 Chapitre A1.Fonctions et proportionnalitéN.DAVALCe qu"il faut savoir
2.Fonctions affines et linéaires
A.Représentation graphique
DÉFINITION :Fonction affine, linéaire
Soientaetbdeux réels donnés. La fonction définie surRparfpxq "ax`best appelée fonction affine, elle est représentée par une droite où le réelaest le coefficient directeur de cette droite; le réelbest l"ordonnée à l"origine.Dans le cas oùb"0, la fonction est appeléefonction linéaire, elle est représentée par une
droite passant par l"origine.Comme pour n"importe quelle fonction, pour tracer une fonction affine, on choisit des points que l"on place dans
un repère (deux suffisent). Dans le cas d"une fonction linéaire, il suffit d"un point en plus de l"origine.
Exemple
Représentation graphique des fonctions :
"C1:fpxq "x`1, "C2:fpxq "2, "C3:fpxq " ´3x, "C4:fpxq "34x´3.Correction
11 C2 C1 C3 C4La fonction est croissante siaest positif, constante siaest nul et décroissante siaest négatif.
B.Linéarité et proportionnalité
DÉFINITION :Suites proportionnelles
Deux suites dennombresréelspx1,x2,...,xnqetpy1,y2,...,ynqsontproportionnellessi tout nombre de l"une est obtenu en multipliant tout nombre de mêmerang de l"autre par un nombre constant appelé coefficient de proportionnalité, oupar son inverse. En terme de fonction, l"une est l"image de l"autre par une fonction linéairefdéfinie par y"fpxq "axoù le nombre non nulaest lecoefficient de proportionnalité.Exemple
On considère les suitesp0; 1; 2; 3; 4qet
0; 0,5; 1; 1,5; 2q:
abscisse 0 1 2 3 4 ordonnée 0 0,5 1 1,5 2Ó 0,5Ce tableau est un tableau de proportionnalité.
Correction
Le coefficient de proportionnalité : 0,5 est le coeffi- cient directeur de la droite. 0120 1 2 3 4 5
PROPRIÉTÉ :Reconnaissance graphique d"une situation proportionnelleOn reconnaît une situation de proportionnalité lorsque le support des points représentant la
situation est une droite passant par l"origine du repère.N.DAVAL
Chapitre A1.Fonctions et proportionnalité7
Ce qu"il faut savoir
3.Proportionnalité
A.Propriétés
Dans toute cette section, on considère le problème suivant :Si 4 stylos coûtent 10e, combien coûtent 12 stylos?
On considère que les stylos ont tous la même valeur afin de se trouver dans une situation de proportionnalité.