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1
ESERCIZI SUI PUNTI DI NON DERIVABILIT
A TRATTI DA
TEMI D'ESAME
a cura di Michele Scaglia
FUNZIONI DERIVABILI
Siaf: domf!Runa funzione e siax02domfdi accumulazione per domf. Chiamiamoderivata prima difinx0il valore (nito o innito) del limite lim x!x0f(x)f(x0)xx0; o, equivalentemente, eettuando il cambiamento di variabilexx0=h, lim h!0f(x0+h)f(x0)h Il valore del precedente limite viene denotato con uno dei simboli f
0(x0) ,y0(x0); Df(x0):
La funzionefsi dicederivabile inx0se il precedentelimite esiste nito. Cio signica che devono esistere niti e coincidere i limiti lim h!0f(x0+h)f(x0)h ;lim h!0+f(x0+h)f(x0)h o, equivalentemente, lim x!x
0f(x)f(x0)xx0;lim
x!x+
0f(x)f(x0)xx0:
Ricordiamo che i precedenti limiti vengono detti rispettivamentederivata sinistraederi- vata destradifinx0e indicati con i simboli f
0(x0); f0+(x0):
Quindi, riepilogando, diciamo chefe derivabile inx0se e solo se (1)9f0(x0)6=1;9f0+(x0)6=1ef0(x0) =f0+(x0): Una funzionef: domf!Rper cui inx02domfnon valga la condizione (1) si dicenon 2 derivabile inx0e il puntox0si dicepunto di non derivabilitaperf. A seconda del tipo di negazione della (1) si hanno tre tipi di punti di non derivabilita.
PUNTO ANGOLOSO
Diciamo chex0e unpunto angolosoperfse esitono e sono diverse derivata destra e de- rivata sinistra difinx0e almeno una delle due e nita.
PUNTO DI CUSPIDE
Diciamo chex0e un punto dicuspideperfse derivata destra e derivata sinistra difin x
0valgono1e sono di segno discorde.
Cioe f
0(x0) = +1ef0+(x0) =1;oppuref0(x0) =1ef0+(x0) = +1:
PUNTO A TANGENTE VERTICALE
Diciamo chex0e un puntoa tangente verticaleperfse la derivata destra e la derivata sinistra difinx0valgono entrambe1e sono di segno concorde. Cioe f
0(x0) = +1ef0+(x0) = +1;oppuref0(x0) =1ef0+(x0) =1:
Ricordiamo anche l'importante teorema che collega continuita e derivabilita di una funzionef in un puntox0.
TEOREMA
Sefe derivabile inx0, allorafe continua inx0.
In formule:
fderivabile inx0=)fcontinua inx0:
Non vale il viceversa.
Cioe, una funzione continua in un puntox0non e detto che sia derivabile inx0.
In formule
fcontinua inx06=)fderivabile inx0 Si pensi ad esempio ai punti di non derivabilita appena classicati. Un punto angoloso perfe 3 un punto in cui la funzione e continua ma non e derivabile (essendo diverse derivata destra e sinistra). In base alla denizione data, per vericare se una funzione e derivabile in un puntox0, e necessario calcolarsif0(x0) ef0+(x0), vale a dire calcolarsi due limiti. In realta, in molti contesti, si puo evitare di procedere con il calcolo dei due limiti del rap- porto incrementale.
Vale infatti il seguente teorema:
TEOREMA (del limite della derivata)
Siaf: domf!Runa funzione denita e continua inI(x0) e derivabile inI(x0) tranne eventualmente inx0.
Se esiste (nito o innito) il limite
lim x!x
0f0(x)
allora esiste anche la derivata sinistraf0(x0) difinx0e si ha f
0(x0) = lim
x!x
0f0(x):
Analogamente, se esiste (nito o innito) il limite
lim x!x+
0f0(x)
allora esiste anche la derivata destraf0+(x0) difinx0e si ha f
0+(x0) = lim
x!x+
0f0(x):
Questo teorema di consente di ricondurre il calcolo della derivata sinistra e destra al calcolo del limite della derivata prima dif(calcolata con le usuali regole di derivazione) perx!x0ox+0, a patto che tali limiti esistano.
Nel caso in cui, ad esempio, non esista
lim x!x+
0f0(x);
non si puo concudere nulla circa il valore della derivata destra difinx0: per il suo calcolo bisogna procedere utilizzando la denizione (vale a dire, facendo il limite destro del rapporto incrementale).
Stesso discorso per la derivata sinistra.
4
ESERCIZI SVOLTI
1)[T.E. 03/04/2007]
Siaf:R!Rla seguente funzione:
f(x) =8 :sin(x)8xsex <0; (1)px+ cosxsex0: Dire per quali valori diela funzionefe continua e derivabile inx= 0. Negli altri casi classicare il tipo di discontinuita e di non derivabilita inx= 0.
Svolgimento.
Cominciamo a studiare la continuita difinx= 0 (condizione necessaria per poter sperare nella derivabilita).
La funzionefe continua inx= 0 se e solo se
lim x!0f(x) =f(0) = lim x!0+f(x): Consideriamo il limite destro (che, vista la denizione dif, coincide conf(0)). Dalla continuita delle funzionipxe cosxsi ha f(0) = lim x!0+f(x) = lim x!0+(1)px+ cosx= (1)p0 + cos0 = 1: Per quanto riguarda il limite sinistro difin 0, conviene anzitutto studiare il caso in cui= 0.
Per= 0, si ha, per ognix <0,
f(x) =sin(0x)8x= 0; da cui, banalmente, lim x!0f(x) = lim x!00 = 0: Ne segue che per= 0 la funzionefe discontinua inx= 0 in quanto lim x!0f(x) = 0 ef(0) = lim x!0+f(x) = 1: e presenta un punto di salto con
S=j01j= 1:
Non essendo continua,fnon puo essere derivabile inx= 0 quando= 0. 5
Se, invece,6= 0, ricordando il limite notevole
lim t!0sintt = 1; dal quale sinttpert!0; risulta, per il teorema di sostituzione cont=x!0, sin(x)xperx!0:
Si ha quindi
lim x!0sin(x)8x= lim x!0x8x=8 Se6= 0, la funzionefrisulta continua inx= 0 se e solo se 8 = 1; da cui = 8: Pertanto, per= 8 la funzionefe continua inx= 0 per ogni2R(infatti, il parametro non e mai intervenuto nello studio della continuita dif). Tale funzione potrebbe essere derivabile inx= 0, come potrebbe non esserlo. Sappiamo infatti che la continuita in un punto non e suciente a garantire la derivabilita in quel punto. Calcoliamo quindi la derivata prima della funzione continua f(x) =8 :sin(8x)8xsex <0; (1)px+ cosxsex0; utilizzando le usuali regole di derivazione.
Calcoliamo separatamente i vari contributi.
Partiamo dalla derivata di
sin(8x)8x=18 sin(8x)x
Risulta
18 sin(8x)x 0 =18 cos(8x)8xsin(8x)1x
2=8xcos(8x)sin8x8x2:
6
Per quanto riguarda
(1)px+ cosx; si ha (1)px+ cosx0= (1)12 px sinx:
Pertanto risulta
f
0(x) =8
:8xcos(8x)sin(8x)8x2sex <0 (1)12 px sinxsex >0: Come gia richiamato precedentemente, possiamo dire (grazie al teorema del limite della deri- vata) chefe derivabile inx= 0 se e solo se lim x!0f0(x) = lim x!0+f0(x)6=1 (a patto che tali limiti esistano. Nel caso in cui non esistessero, bisognerebbe procedere, come da denizione, con il calcolo dei limiti sinistro e destro del rapporto incrementale).
Dobbiamo quindi fare in modo che
lim x!08xcos(8x)sin(8x)8x2= lim x!0+ (1)12 px sinx e che il valore comune dei precedenti limiti sia nito.
Studiamo
lim x!08xcos(8x)sin(8x)8x2:
Tale limite si presenta nella forma indeterminata
00 . Cerchiamo di risolverlo con la regola di
De L'Hopital.
Si ha lim x!08xcos(8x)sin(8x)8x2H=lim x!08cos(8x)8xsin(8x)8cos(8x)816x= lim x!064xsin(8x)28x= lim x!032x= 0 (si e usato il limite notevole lim t!0sintt = 1, combinato col teorema di sostituzione). 7 Esistendo il limite sinistro della derivata prima, esiste anche la derivata sinistra, in partico- lare si ha f
0(0) = 0:
Calcoliamo ora il limite destro, vale a dire
lim x!0+ (1)12 px sinx
Cominciamo con l'osservare che
lim x!0+12 px =10 += +1e lim x!0+sinx= 0:
Pertanto, se
1 = 0;
ossia se = 1; scompare l'addendo che tende all'innito, da cui lim x!0+f0(x) =f0+(0) = 0; e di conseguenza la funzionefe derivabile inx= 0 (in quanto derivata sinistra e destra dif in 0 coincidono e sono entrambe nite).
Se invece6= 1,
lim x!0+f0(x) =1 0 =1; dove il segno dell'innito e + se >1 ese <1. In ogni caso, se6= 1, nel puntox= 0 si ha un punto angoloso, in quanto f
0(0) = 0 ef0+(0) =1:
Riepilogando
se6= 8,fnon e continua inx= 0 per ogni2R; quindi non puo essere derivabile in x= 0; se= 8 e= 1,fe continua e derivabile inx= 0; 8 se= 8 e6= 1,fe continua inx= 0 ma non e derivabile inx= 0 e presenta unpunto angoloso. 9
2)[T.E. 10/09/2007]
Siaf:R!Rla funzione denita da
f(x) =( x
3q(logjxj)2sex6= 0;
1 sex= 0:
Dire per quali valori di2Rla funzionefsia continua e derivabile inx= 0. Negli altri casi classicare il tipo di discontinuita e di non derivabilita inx= 0.
Svolgimento.
Cominciamo a studiare la continuita difinx= 0.
fe continua inx= 0 se e solo se lim x!0f(x) =f(0): Si ha lim x!0f(x) = lim x!0x3q(logjxj)2= lim x!0x(logjxj)2=3= 0; trattandosi di un caso particolare del limite notevole lim x!0+x(logx)= 0;per ogni; >0:
Inoltre
f(0) =1:
Quindi,fe continua inx= 0 se e solo se
1 = 0;
ossia se e solo se = 1: Se6= 1, la funzionefpresenta inx= 0 una discontinuita eliminabile (in quanto limite sinistro e destro valgono entrambi 0, a dierenza dellaf(0), che vale invece (1)6= 0). Perche abbia senso studiare la derivabilita inx= 0, e anzitutto necessario riscrivere la funzione fcon= 1, ossia riscrivere continua la funzionef: f(x) =( x
3q(logjxj)2sex6= 0;
0 sex= 0:
Diamo due possibili modi di svolgimento dell'esercizio (il primo metodo ricorre al teorema del 10 limite della derivata; il secondo, invece, utilizza la denizione di derivata come limite del rap- porto incrementale).
Primo modo.
Controlliamo sefe derivabile o meno inx= 0 utilizzando il teorema del limite della deri- vata. Dovendo calcolare la derivata possiamo liberarci del valore assoluto, studiandone il segno del- l'argomento.
Poiche
jxj=( xsex >0 xsex <0; possiamo riscrivere la funzionefcome f(x) =8 >:x
3q(log(x))2sex <0;
0 sex= 0
x
3q(log(x))2sex >0:
Calcoliamone la derivata prima utilizzando le usuali regole.
Consideriamo ad esempio
x
3q(log(x))2=x(log(x))2=3:
Risulta
x(log(x))2=30= 1(log(x))2=3+x23 (log(x))1=31x(1) = = (log(x))2=3+2x3x(log(x))1=3= (log(x))2=3+23(log(x))1=3=
3q(log(x))2+23
3plog(x):
In maniera analoga, si trova
x(log(x))2=30=3q(log(x))2+23
3plog(x):
Pertanto si ha
11 f
0(x) =8
>>>>:3 q(log(x))2+23
3plog(x)sex <0
3 q(log(x))2+23
3plog(x)sex >0:
Calcoliamo, se esistono, limite sinistro e destro della derivata prima.
Operiamo, in sequenza, le seguenti sostituzioni:
y=x; t= logy; da cui y!0+; t! 1perx!0
Risulta, dai teoremi sui limiti,
lim x!0f0(x) = lim x!0(
3q(log(x))2+23
3plog(x))
= lim y!0+
3q(logy)2+23
quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25
~j a ~i tangente verticale C demi-tangentes