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Chapitre 9 : Probabilités
Chapitre 9 - p2 3) Probabilité Définition : Lorsqu’on effectue un très grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence de réalisation d’un événement se rapproche d’une
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Probabilités conditionnelles et indépendance I Rappels
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Chapitre Supplémentaire : Probabilités Objectif : * Décrire une expérience aléatoire * Exprime la probabilité d’un événement ou issues * Connaître et savoir utiliser les formules des probabilités équiprobables
Probabilités
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1) Définition, loi dune variable aléatoire
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Première - spécialité mathématiques - 2020 / 2021 P2 - cours
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1) Définition, loi d'une variable aléatoire
Définition
Soit Ω l'univers d'une expérience aléatoire. Une variable aléatoire sur Ω est une fonction de Ω dansExemple
On définit le jeu suivant.
Un joueur mise 1 € pour avoir le droit de lancer un dé équilibré à six faces. • Si la face du dé est impaire, le joueur perd 5 €. • Si la face est 2 ou 4, le joueur gagne 4 €. • Si la face est 6, il gagne 10 €.On note X le gain du joueur.
Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}.
X est une variable aléatoire, c'est-à-dire une fonction de Ω dans ?, et les images sont définies par :X(1) =
-6 ; X(2) = 5 ; X(3) = -6 ; X(4) = 5 ; X(5) = -6 et X(6) = 9.En effet on tient compte du prix payé par le joueur pour avoir le droit de jouer, que l'on déduit donc
de son gain éventuel. X 1 -62 3
3 -64 3
5 -66 9
Définition
La loi d'une variable aléatoire X sur Ω est la liste des valeurs prises par X, et la probabilité de
chacune d'entre elles.Exemple
Valeurs de X -6 3 9
Evénement Face 1, 3 ou 5 Face 2 ou 4 Face 6
Probabilités 1
2 1 3 1 6Page 2
2) Paramètres d'une variable aléatoire
Définition
Soit X une variable aléatoire de loi :
x i x1 x2 ... xnP(X = xi) p1 p2 ... pn
L'espérance de X, notée E(X), est la moyenne de ses valeurs pondérées par leurs probabilités :
E(X) = p
1x1 + p2x2 + ... + pnxn = Ã
=n i i ixp 1 C'est la valeur que l'on peut espérer obtenir en moyenne pour X.Exemple
E(X) = 1
2×(-6) + 1
3×3 + 1
6×9 = 1
2 = 0,5.Ainsi, en moyenne, chaque joueur peut espérer gagner 0,5 € à chaque partie. Un joueur qui tenterait
sa chance 600 fois doit s'attendre en moyenne à gagner 300 €.