[PDF] I Eléments de cours à connaître

I Eléments de cours à connaître

Dans tous les exercices, on prend comme sens positif des angles le sens trigonométrique Exercice 1 : Projections et produit scalaire On considère une base orthonormée du plan (ux,uy) Soient un vecteur u de norme u faisant un angle avec le vecteur u x et un vecteur v de norme v et faisant un angle avec le vecteur u y

Projection de vecteurs sur un système daxes

Fiche méthode Projection de vecteurs sur un système d'axes 1S 1 Choisir les axes 1 1 Les axes sont déjà définis Dans le cas, vous n'avez rien à faire Il est temps de projeter les vecteurs (voir partie 2)

Projection d’un vecteur sur une base orthonormée

Projection d’un vecteur sur une base orthonormée I Rappel : produit scalaire de deux vecteurs A: Projection d’un vecteur quelconque sur un vecteur de la BON

Chapitre 1 Rappel sur les vecteurs

vecteurs dans des espaces de dimension sup´erieure `a 3, d’ou` la n´ecessit´e d’introduire un point de vue plus alg´ebrique On note par ~0, le vecteur de longueur nulle Par convention ce vecteur ne poss`ede aucune direction Un vecteur est dit unitaire s’il est de longueur 1

Chap1 : OUTILS MATHEMATIQUES GLISSEURS & TORSEURS

1 Projection des vecteurs de bases : Si on exprime les vecteurs de la base dans , on obtient : i 1 Cos i Sin j 0 j 1 Sin i Cos j 0 Inversement, si on exprime les vecteurs de la base dans , on obtient : i 0 Cos i Sin j 1 j 0 Sin i Cos j 1 k 0 k 1 2 Changements de bases d'un vecteur quelconque : Soit 1 ( , , ) b U abc

Projectionorthogonale

2 Projection orthogonale sur un sous-espace on écrit la quantité à minimiser sous la forme kx−uk2 en identifiant xun vecteur de E Dans le cas où (S) n

Géométrie en trois dimensions

En cas de besoin, déterminons l’équation du plan de projection, dans le repère OA , OB , OC Ce plan étant perpendiculaire aux rayons issus de l’œil, il a pour vecteur normal (perpendiculaire à lui et de longueur 1) le vecteur de coordonnées : cos α / √2 , cos α / √2 , - sin α , ce vecteur tant orienté dans le sens des

Exercices corrigés - AlloSchool

Exercices 8 et 9 : produit scalaire de vecteurs quelconques à l’aide d’une projection orthogonale Exercices 10, 11, 12 et 14 : produit scalaire en fonction des normes de vecteurs et d’un angle orienté

Chap1: OUTILS MATHEMATIQUES VECTEURS & TORSEURS

L'objectif de ce chapitre est de donner brièvement les outils mathématiques nécessaires à la compréhension de la suite de ce cours et donner des notions sur les glisseurs et les torseurs 1 VECTEURS : Un vecteur est une grandeur mathématique défini par son sens, son module, sa direction et son point d‘application

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1

Fiche n°2 sur la projection de vecteurs

I. Eléments de cours à connaître

I.1 Définition du produit scalaire

I.2 Conséquences / propriétés

I.3 Application

I.4

I.5 Expression analytique

I.6 Une propriété utile pour les exercices

II. ǯ

III. Corrections des exercices

2

I. Eléments de cours à connaître

I.1 Définition du produit scalaire

Le produit scalaire entre deux vecteurs

BA, est un scalaire et est noté BA.

Il est défini de la manière suivante :

)cos(...BABA , avec ),(BAD angle formé par les deux vecteurs BA, de normes respectives A et B

I.2 Conséquences/propriétés

ABBA..

Le produit scalaire de deux vecteurs perpendiculaires ou orthogonaux est nul La norme des deux vecteurs étant fixée, le produit scalaire de deux vecteurs est extrémal lorsque les deux vecteurs sont colinéaires

CBCACBA..).(

2..AAAAA

AAA.

I.3 Application : fǯ-Kashi

Soient deux vecteurs

A et B

BABBAABABABA.2..)).((

2 ),cos(..2

22BABABABA

Cette formule est très utile pour calculer certaines longueurs de segments mais il est inutile de la

, le plus simple étant de la retrouver, comme indiqué ci-dessus. 3

I.4 Pǯ

BdBABA.)cos(... D

avec d la projection du vecteur A sur B

Application ǣǯorthonormée (

yxuu, yyxxuAuAA avec )cos(.AuAAxx et )sin(.AuAAyy

Voir aussi :

Soient deux bases orthonormées (

yxuu, ) et ( uur, du plan, définies sur la figure ci-contre.

Exprimer les vecteurs

ru et u dans la base ( yxuu, puis les vecteurs xu et yu dans la base ( uur, 4

I.5 Expression analytique

Soit ),,(zyxeee une base orthonormée directe dans un espace vectoriel à trois dimensions. BA, sont deux vecteurs de coordonnées cartésiennes respectives ( ),,AAAzyx et ( ),,BBBzyx dans la base précédente. Il découle de la définition du produit scalaire :

BABABAzzyyxxBA .

222

AAAzyxA

I.6 Propriété utile pour les exercices

ȋͳȌȋǯʹȌperpendiculaires à (D2). Les angles formés par les droites 5

II. Exercicǯ

Dans tous les exercices, on prend comme sens positif des angles le sens trigonométrique.

Exercice 1 : Projections et produit scalaire

On considère une base orthonormée du plan (

yxuu, ). Soient un vecteur u de norme u faisant un angle avec le vecteur xu et un vecteur v de norme v et faisant un angle avec le vecteur yu Donner les projections des deux vecteurs précédents dans la base yxuu, ). Déterminer le produit scalaire vu. de deux manières différentes.

Exercice n°2 : Pendule pesant

P de norme P et la tension T du fil de norme T. La position du point M est paramétrée ǯ (voir figure ci-contre). Déterminer les composantes de ces deux forces dans la base orthonormée ( uur, ) définie sur le dessin.

Exercice 3 : Palet sur un plan incliné

trois forces : son poids caractérisé par le vecteur P de norme P et de la part du plan incliné la réaction normale N de norme N et la réaction tangentielle T de norme T (frottements solide). On considère par ailleurs deux bases orthonormées du plan : ( yxuu, ) et ( '',yxuu ) (voir dessin)

1) Exprimer les trois forces considérées dans les deux

bases différentes.

2) Exprimer la résultante des forces

TNP dans la base ( '',yxuu

3) Déterminer la norme du vecteur

TP

4) Soit un vecteur

v de norme v et faisant un angle avec le vecteur 'xu . Exprimer vP. en fonction de P, v, et . 6 Exercice 4 : Pendule pesant sur un plan incliné

On considère le

pendule pesant de incliné (Oxy) ǯ par rapport à

ǯ (AX). La

droite (OA) est sur la ligne de plus grande pente et on donne

OA=L. Déterminer la

projection ZM du vecteur AM suivant

Ǯ (AZ).

Vérifier votre résultat en considérant des cas limites (=0 ou /2).

Exercice 5 : Point matériel sur un cerceau

On considère un anneau assimilé à un point matériel M de masse m se déplaçant sur un cerceau de rayon a de centre C.

ǯ et la base

uur, ) est orthonormée directe. Le point M est soumis en particulier à son poids caractérisé par le vecteur P de norme P.

Le vecteur

yu est suivant la direction verticale.

1) Exprimer le poids

P dans la base ( uur,

2) Exprimer le vecteur

OM dans la base orthonormée uur, ) définie sur le schéma ci-contre (on pourra utiliser :

CMOCOM

3) En déduire la longueur OM et commenter.

Exercice 6 : Cerceau lesté sur un plan incliné On considère un cerceau circulaire de rayon R, de centre C ǯ par une masse supposée ponctuelle M de masse m.

On considère la base orthonormée (

uur, ) comme définie sur le dessin, dépendant de la position de M. particulier à son poids caractérisé par le vecteur P de norme P. 7

1) Exprimer le poids

P dans la base ( uur,

2) Déterminer la projection du vecteur

OM (Oy) en fonction de , R et la distance OH.

3) On admet que la vitesse du point M

suivante udt dRuVMVxC ')( . Déterminer les composantes de cette vitesse dans la base '',yxuu 8

III. Corrections des exercices

9 10quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28