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LEÇON NO Suites définies par récurrence Applications

cer la représentation graphique d’une suite récurrente pour toute fonction fcontinue sur un intervalle I Exemple 2 2 On considère la suite (u n) définie par récurrence de la manière suivante : (u 0 = 6 10 u n+1 = u2n La suite (u n) est de la forme u n+1 = f(u n) avec f: x7x2 que l’on peut définir sur l’intervalle I= [0;1]

Exemples de suites

Soient aet bdeux réels non nuls Unesuite récurrente linéaire d'ordre 2 à coe cients constants aet b(ou suite récurrente double) est une suite réelle (u n) n2N qui véri e pour tout entier naturel nla relation de récurrence u n+2 = au n+1 + bu n: Une telle suite est déterminée par les réels aet bet les termes initiaux u 0 et u 1 Dé

LES SUITES NUMERIQUES - AlloSchool

Cours SUITES NUMERIQUES PROF : ATMANI NAJIB Exercice 2:soit donc la suite récurrente définie par °: 1 0 81 2 3 n n n u u u u ­ ® °¯ n

SUITESRECURRENTESLINEAIRES D’ORDRE2

SUITESRECURRENTESLINEAIRES D’ORDRE2 1 Définition Soit(a,b)uncoupledeR×R∗ Unesuiteuest récurrente linéaire d’ordre 2

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MPSI Suites r ecurrentes lin eaires d’ordre 2013

1) permet de d e nir une unique suite v eri ant (1) Pour d eterminer l’ensemble E, on cherche donc deux suites solutions (dont on pourra exprimer le terme de rang nen fonction de n) formant une famille libre On cherche parmi les suites g eom etriques (rn) n2N avec r2K Proposition 2 : Soit r2K La suite (rn)

Suites réelles et complexes

On dit que (un)nPN est une suite récurrente d’ordre 1 et (vn)nPN une suite récurrente d’ordre 2 Pour définir une suite par une relation de récurrence, il y a tout de même des précautions à prendre : il se peut que la donnée d’un premier terme et d’une relation de récurrence ne définissent pas correc-tement une suite

1ère S Cours généralités sur les suites

La suite u est représentée par des points isolés ( « nuage de points ») 3°) Lecture graphique des termes d’une suite récurrente f est une fonction n u u est la suite définie par 0 1 donné (terme initial) u n u f u O i j On veut représenter sans calculs les termes de la suite : y x C f

Feuille d’exercices n 5 : Récurrences doubles, suites réelles

Déterminer trois réels a, b et c tels que la suite (v n) de terme général v n = u n +an2 +bn+c soitunesuitegéométrique b Endéduireuneexpressiondeu n Exercice 14 (˝) Onconsidèrelasuite(u n) définiepar ˆ u 0 = 0 8n 2N; u n+1 = 2u n +3n a Montrer que la suite ( v n) de terme général n = u n 3n est une suite arithmético

Suites réelles et complexes

Suites réelles et complexes Dans toute la suite, K désignera R ou C 3 Suites classiques 3 1 Suites arithmétiques et géométriques Soit u P KN La suite u est dite 1 arithmétique si, et seulement si, il existe r P K tel que pour tout n P N, un+1 = un +r

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Chapitre9

L Q u:ÝÑ nÞÝÑu(n) nPu(n) un nĕ u (un)nP un ā (un)nP ĕ

ĕ n

u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 u 6 u 0 f(u0) f(u1) f(u2) f(u3) f(u4) f(u5) u 0 u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 u 6 u 7 e f(u0) f(u1) f(u2) f(u3) f(u4) f(u5) f(u6) u 0 (un)nP @nP, un=(´n+ 1) u20=(´19) nP fn:ÝÑ xÞÝÑx5+nx´1 + [´1;+8[ nP unP+ fn(un) = 0 un n (un)nP(vn)nP u

0= 1@nP, un+1= 2un+u2n,

v

0= 0, v1= 1@nP, vn+2=(vn+1´vn).

nP un v n n u

1= 3u2= 15u3= 255... v2=v3=´1...

u0=1 4 @nPun+1=un

1´un

(un)nP u1=1 3 u2=1 2 uv λP uv (u+v) @nP,(u+v)n=un+vn. uv (uˆv) @nP,(uˆv)n=unˆvn. uλ λ¨u @nP,(λ¨u)n=λ¨un. nP u năun+1unąun+1 nPun+1=un un=u0 un+1´un un+1´uně0un+1´uną0 nP u un+1´un= 0 nP u un+1 u n 1 un+1/uně1un+1/uną1 nP u un+1/un= 1 nP u @nP, un+1=un2´un+ 1.

ãÑnP

u n+1´un=un2´2un+ 1´un= (un´1)2ě0, (un)nP @nP, un=(n+ 3)! 2 n.

ãÑnP

u n+1 u n=(n+ 4)!2n 2 n+1(n+ 3)!=n+ 4 2

ě1,

un+1ěunun u n+1´un=(n+ 4)! 2 n+1´(n+ 3)! 2 n=(n+ 3)! 2 n( n+ 4 2

´1)

=(n+ 3)! 2 nˆn+ 2 2

ě0.

n0P @něn0,P(n) u nPun= (n´2)2 2

Dn0P,@něn0, un+1=un

(X1 n \)nP' 0 2 (un)nP (un)nP D

DmP,@nP, uněm;

u u (1 n n (un)nP (|un|)nP u M (un)nP mM nP

´M M

ãÑuv M1M2 λP

u+v M1+M2 nP |¨| uˆv M1ˆM2 nP |¨|

λ¨u |λ| ¨M1

(un)nP ℓ (un)nP ℓ (un)nP nÑ+8un=ℓunÝÑnÑ+8ℓ. n u n N

ãÑεą0

(|q|) (|q|)ă0|q| ă1

N=Z(ε)

(|q|)^ + 1. něN ně(ε) u 0 (un)nP ℓ

ɍc n ε

(un)nP ℓ,ℓ1P nÑ+8un=ℓ nÑ+8un=ℓ1 ℓ=ℓ1 4 (un)nP ℓ NεP (un)nP ℓ1 N1εP ně(Nε,N1ε) 2 ℓ=ℓ1 0 (un)nP ℓ (un´ℓ)nP

ðñ(un´ℓ)nP 0

ℓP (α,u)P()2

α 0

u 0 něNε ℓ |u´ℓ| 0 u u ℓ (|un|)nP |ℓ| u 0 (|un|)nP

εą0 (un)nP ℓ NεP

(|un|)nP |ℓ| (|un|)nP nP,ˇˇ|un|ˇˇ=|un| ā (|un|) ((´1)n) nP (|(´1)n|) nP (un)nP ℓ ℓ n0P něn0 (un)nP ℓ m,MP măℓăM

NmP @něNm, unąm

NMP @něNMunăM

NP @něNmăunăM

(un)nP ℓ @něNmuněm1ąm (un)nP ℓ m=ℓ 2

M=ℓ

2 (un)nP(vn)nP ℓ1ℓ2 λP nÑ+8un+vn=ℓ1+ℓ2 nÑ+8unvn=ℓ1ℓ2 nÑ+8λ¨un=λ¨ℓ1. ℓ2 NP @něN, vn‰0 1 v n)něN 1

2 (un

v n)něN ℓ1 2

N3P něN3

|ℓ2| 2 něN4 (un+vn)nP ℓ1+ℓ2 něN4 (unvn)nP ℓ1ℓ2 něN4ˇˇˇˇ1 v n´1 2ˇ ℓ2||ℓ2| 2

22ε.

(1 v n)něN 1 2 uP u +8 @AP,DNAP,@něNA, uněA. u ´8 +8 ´8 (un)nP+8´8 u +8 nÑ+8un= +8unÝÑnÑ+8+8. u ´8 +8 ´8 n u n A N A n u n A N A (un)nP +8 (un)nP +8 (un)nP ´8 (un)nP ´8 +8 (un)nP +8 ´8 (vn)nP (un+vn)nP +8 ´8 (unvn)nP +8 ´8

ɍu +8

v mP nPvněm

AP NP něNuněA´m

něNun+vněA (un+vn)nP +8

N1P něN1vněm

AP N2P něN2uněA

m mą0 ně(N1,N2)unvněA (un)nP(vn)nP ℓ1P ℓ2P

λP' nÑ+8λun=λℓ1,

ɍℓ1ℓ2

ɍℓ1= +8

(un+vn)nP +8 ℓ2P+'ℓ2= +8 (vn)nP (unvn)nP +8 ℓ2P´'ℓ2=´8 ĕ (´vn)nP ´ℓ2P+'´ℓ2= +8 ĕ (´unvn)nP +8 (unvn)nP ´8 nPλun=vnunɍ(vn)nP (un)nP +8 ´8 (1 u n) něN 0 +8 ´8

NP něN,uną0

εą0 (un)nP +8 nεP

@něnε, uně1

Nε=(nε,N)

@něNε,0ă1 u (1/un)něN (un)nP (un)nP

N un

(1 u n) něN +8 ´8

Aą0 (un)nP n1/AP

A

NA=(N,n1/A)

@něNA,1 |un|ěA @něN,uną0 @něNA,1 u něA (1/un)něN +8 (un)nP

ĕ (un)nP

(un)nP (u2n)nP (u2n+1)nP(un2)nP(upn)nP ɍpn nĕ (un)nP (wn)nP kPw2k=u2k+1w2k+1=u2k w

0=u1, w1=u0, w2=u3, w3=u2, w4=u5, w5=u4...)

(un)nP (un)nP ℓP (un)nP ℓ (uφ(n))nP (un)nP εą0 (un)nP ℓ

NεP

φ nPφ(n)ěn

@něNε, φ(n)ěNε (uφ(n))nPℓ

ɍ(un)nP +8´8

(un)nP ā 2 )nP

ãÑ pPu2p+1= 0 (u2p+1)pP 0 pP

u 10 ))nP ãÑ pPu20p=(2pπ) = 1 pPu20(p+1)=(2pπ+π) =´1 (u20p)pP(u20(p+1))pP ā u (un)nP (u2n)nP(u2n+1)nP

ā ℓP

(un)nP ℓ (un)nP(vn)nP ℓ´ℓ1 3 ą0

M=(N,N1,N2) něM

3 nP1 n+ 1ą0 nÑ+81 n+ 1= 0 uv mM uP u rP nPun+1=un+r r qP nPun+1=qˆun q u ĕ u0= 0 uP u rP r= 0 (un)nP nP un=u0. rą0 ră0 u qP q= 0 (un)nP 1. q= 1 (un)nP nP un=u0. qă0 nP, unun+1 qą0 u0ą0qą1 (un)nP u0ą0qă1 (un)nP u0ă0qą1 (un)nP u0ă0qă1 (un)nP nPun+1´un=r u n nP uP u rP (n,p)P2un= u p+ (n´p)ˆr u qP (n,p)P2un= u pˆqn´p uP u rP r= 0 (un) u0 u0 rą0 (un) +8 ră0 (un) ´8 u qP u0= 0 u0‰0 |q| ă1 (un) q= 1 (un) u0 u0 qu0 qą1 (un) +8u0ą0

´8u0ă0

q= 1|q| ă1 uP nP' 2

ˆ1´q

1´q.

n´1ÿ k=0k n´1ÿ k=0q k (a,b)P2 nPun+1=aun+b p

ĕ a= 1b=p q

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