Processus stochastiques et modélisation (Cours et exercices

SCIENCES HUMAINES: 305

Le cours « Anthropologie des croyances à travers le monde» prévoit une évaluation reposant d’abord sur trois examens en cours de session Des exercices préparatoires aux examens auront lieu en classe L’évaluation comprend également la réalisation d’une recherche documentaire individuelle sur un sujet au choix de

Livret DAEU A 2015-2016 v2

Le document d’inscription aux examens sera adressé par le secrétariat du département de Lettres (D A E U A) directement aux candidats Il convient donc de se rapprocher des secrétariats en cas de non-réception du document d'inscription (changement d'adresse, etc ) La présence aux cours est obligatoire

Sébastien ROHAUT Résumé

certification nécessite le passage de deux examens : le LPI 101 et le LPI 102 Vous devez obtenir ces deux examens pour être certifié LPIC-1 La grille des objectifs en fin d’ouvrage reprend tous les objectifs de chacun des examens et vous indique où trouver les points correspondants dans le livre, ainsi que les exercices associés

INTERNATIONAL SCHOOL OF NICE GUIDE

et rendre service à autrui, d’agir en faisant un changement positif dans la vie d’autrui Preneurs de risques Ils font face à des situations inconnues avec beaucoup de courage et d’abnégation, et possèdent l’indépendance d’esprit pour explorer de nouveaux rôles, idées et stratégies Equilibrés

Evolution de la place de l EPS dans les examens

Epreuve d'EP obligatoire sauf dispense du médecin scolaire, mais seuls les points au-dessus de 10 comptent " Epreuves - 1 épreuve gymnique (exercices imposés parmi une liste préalablement publiée) # Coefficient 1 pour les garçons, coefficient 2 pour les filles -1 épreuve de grimper libre (3m filles, 6m garçons) # Coefficient 1

Processus stochastiques et modélisation (Cours et exercices

Processus stochastiques et modélisation (Cours et exercices corrigés) L3 MIAGE, 2011-2012, Université Nice Sophia Antipolis, 2011, pp 95 cel-00867016 Processus stochastiques et modélisation

Diplôme d’Accès aux Etudes Universitaires

Le document d’inscription aux examens sera adressé par le secrétariat du département de Lettres (D A E U A) et de Sciences (D A E U B) directement aux candidats Il convient donc de se rapprocher des secrétariats en cas de non-réception du document d'inscription (changement d'adresse, etc )

PLAN DE COURS DRT-1904 : Introduction au droit immobilier

Ce cours est offert à distance en mode asynchrone Veuillez prendre note que les examens sous surveillance des cours à distance ont lieu en soirée ou la fin de semaine Pour plus d'informations, consultez la page du cours à l'adresse: www distance ulaval ca Note

Processus stochastiques et modélisation (Cours et exercices

Ce cours est une introduction aux probabilités utilisant quelques notions de programmation Les exemples de programmation seront donnés en scilab1 Ce cours s’adresse à des étudiants de la ﬁlière MIAGE, les notions mathématiques sont simpliﬁées Les corrigés des exercices sont

Principes de Finance - Daniel Andrei

Des exercices permettront une meilleure compréhension des éléments théoriques Tant les cours que les séances d’exercices sont obligatoires Le cours est intensif et demande un effort de travail considérable La note de cours sera fondée sur un examen final de 2 heures pour lequel la documentation et la calculatrice seront autorisées

Processus stochastiques et modélisation

(Cours et exercices corrigés)

L3 MIAGE, 2011-2012

LOGO_UNS_couleurs_web.png

Sylvain Rubenthaler

Table des matières1 Événements aléatoires et variables aléatoires1

1.1 Événements et probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Espérance et moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Fonctions de répartition jointes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4.1 Définitions générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4.2 Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5 Sommes et convolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.7 Lois de probabilités usuelles (à connaître par coeur) . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.7.1 Lois discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.7.2 Lois continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.8.1 Énoncés des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.8.2 Corrigés des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 Théorèmes limites et méthode de Monte-Carlo 29

2.1 Les différentes notions de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2 Théorèmes limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2.1 Loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2.2 Application de la loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.2.1 Dessin de la fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.2.2 Dessin de la densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2.3 Théorème central-limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2.4 Application du TCL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2.4.1 Sondages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2.4.2 Planche de Galton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.3.1 Énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.3.2 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3 Probabilités et espérances conditionnelles43

3.1 Conditionnement dans le cas discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2 Sommes aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.3 Probabilités conditionnelles dans le cas mélangé . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.4 Moments et loi d"une somme aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.5 Conditionnement par une variable continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.6 Statistiques pour les nuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.7.1 Énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.7.2 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4 Estimation et test d"hypothèse65

4.1 Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.1.1 Estimation d"une moyenne par intervalle de confiance . . . . . . . . . 65

4.1.2 Marge d"erreur associée à l"estimation de la moyenne et taille d"échan-

tillon requise pour ne pas excéder la marge d"erreur . . . . . . . . . . . 66

4.1.3 Estimation d"une moyenne par intervalle de confiance dans le cas d"un

petit échantillon (n<30) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.1.4 Estimation d"une proportion par intervalle de confiance . . . . . . . . . 68

4.1.5 Marge d"erreur associée à l"estimation depet taille d"échantillon requise 68

4.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.2.1 Énoncés des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.2.2 Corrigés des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Liste des symboles73

Index73

A Table de la loi normale73

B Table de la loi de Student75

C Fonctions, intégrales et sommes usuelles77

PréfaceCe cours est une introduction aux probabilités utilisant quelques notions de programmation.Les exemples de programmation seront donnés en scilab1. Ce cours s"adresse à des étudiants

delafilièreMIAGE,lesnotionsmathématiquessontsimplifiées. Lescorrigésdesexercicessont

volontairement succint et contiennent involontairement des erreurs. Cela devrait faire réfléchir

les étudiants. Cette version est provisoire. Les chapitres suivants seront ajoutés plus tard.

Informations utiles (examens, corrigés ...) :

iii iv

Chapitre 1Événements aléatoires et variablesaléatoires1.1 Événements et probabilitésNous donnons ici des règles calculs sans rentrer dans le détail des définitions mathématiques.Définition 1.1.1.Nous notonsΩl"ensemble de

toutes les possibilités (un élément quelconque deΩsera souvent notéωet s"appellera un aléa). On dira aussi queΩest "l"ensemble des possibles», l"univers, l"univers des possibles, ... Un événement (que l"on peut aussi orthographier évènement) est une partie deΩ.

Exemple 1.1.2.Si on jette un dé, A="on tire un6»={ω?Ω,on tire un 6}est un événement

(dans l"égalité précédente, les trois termes veulent dire la même chose. De même, B="le

résultat est supérieur ou égal à3» est aussi un événement.

Définition 1.1.3.Soient A,B deux événements. L"événement "il arrive A ou B» (ce qui veut

dire que l"on a au moins l"un des deux) s"appelle la réunion de A et B et se note A?B. On notera aussi A?B={ω?Ω,ω?A ouω?B}. Exemple 1.1.4.On reprend l"exemple du lancer de dé. Soit A="le résultat est pair», B="le

résultat est supérieur ou égal à3». Alors A?B="le résultat est dans{2,3,4,5,6}».

Définition 1.1.5.Soient A,B deux événements. L"événement "il arrive A et B» (ce qui veut dire

que l"on a les deux en même temps) s"appelle l"intersectionde A et B et se note A∩B. On notera

aussi A∩B={ω?Ω,ω?A etω?B}.

Exemple 1.1.6.Avec les A,B de l"exemple précédent , A∩B="le résultat est dans{4,6}».

Définition 1.1.7.Soient une liste au plus dénombrable d"événements A1,A2,...(au plus dé-

nombrable veut dire que l"on peut numéroter ces événements avec de indices entiers, la liste

des indices est finie ou infinie). L"événement "l"un au moins de ces événements a lieu» se note

1?A2? ···=?∞

i=1Ai. Attention, si on a une liste finie d"événements A

1,...,An,?∞

i=1Aiveut dire par convention A1? A

2? ··· ?An. L"événement "tous ces événements ont lieu» se note

1∩A2∩ ···=∩∞

i=0Ai. 1

2CHAPITRE 1. ÉVÉNEMENTS ALÉATOIRES ET VARIABLES ALÉATOIRES

Définition 1.1.8.La probabilité d"un événement A se noteP(A). Nous avons toujoursP(Ω)=1.

Exemple 1.1.9.On reprend l"exemple du lancer de dé ci-dessus. Soit A="le résultat est1».

AlorsP(A)=1/6.

Les règles de calcul qui suivent sont plus importantes que les définitions précédentes.

Définition 1.1.10.Deux événements A,B sont dits disjoints si A∩B=∅(on ne peut pas avoir

à la fois A et B).

Exemple 1.1.11.Toujours avec le lancer de dé, soit A="le résultat est pair», B="le résultat

est impair». Alors A∩B=∅, ces deux événements sont disjoints (le résultat ne peut pas être

pair et impair). Proposition 1.1.12.Loi d"addition.Si deux événements A,B sont disjoints alorsP(A?B)= P(A)+P(B). Si une liste au plus dénombrable d"événements A1,A2,...est telle que?i,j≥1, A i∩Aj=∅, alorsP(?∞ i=1Ai)=?∞ i=1P(Ai). Exemple 1.1.13.Toujours avec l"exemple du lancer de dé. Soit A="le résultat est pair», B= "le résultat est égal à3». Nous avons A∩B=0et doncP(A?B)=P(A)+P(B)=1/6+3/6=

4/6=2/3.

Proposition 1.1.14.Loi des probabilités totales.Soit une liste au plus dénombrable d"événe-

ments A

1,A2,...telle que?i,j≥1, Ai∩Aj=∅etΩ =?∞

i=1Ai. Soit B un événement. Alors

P(B)=?∞

i=1P(Ai∩B).

Démonstration.Soienti,j≥1.

Montrons par l"absurde que (Ai∩B)∩(Aj∩B)=∅. Si?ω?(Ai∩B)∩(Aj∩B), alors

ω?Ai∩Aj, orAi∩Aj=∅, nous avons donc là une contradiction.

Montrons queB=?∞

i=1(B∩Ai).

Soitω?B. Nous avonsω?Ω =?∞

i=1Aidonc?jtel queω?Aj. Doncω?B∩Aj. Donc i=1(B∩Ai). DoncB? ?∞ i=1(B∩Ai).

Soitω? ?∞

i=1(B∩Ai). Il existejtel queω?B∩Aj, doncω?B. Donc?∞ i=1(B∩Ai)?B.

On déduit de ces deux points queB=?∞

i=1(B∩Ai).

Nous avons par la proposition 1.1.12,

P(B)=∞

i=1P(B∩Ai).

Proposition 1.1.15.Propriétés deP.

Démonstration.NotonsB\A={ω?Ω:ω?B,ω?A}(cette définition est valable aussi siA?B). Nous avonsB=A?(B\A) etA∩(B\A)=∅. Donc, par la proposition 1.1.12, Notation 1.1.16.On noteraP(A,B)pour direP(A∩B).

1.2. VARIABLES ALÉATOIRES3

1.2 Variables aléatoires

Définition 1.2.1.Une variable aléatoire à valeurs dans un ensemble E est une application de

Ωdans E.

toire à valeurs réelles. Exemple 1.2.3.Soit X le résultat d"un lancer de dé. L"ensemble{ω?Ω:X(ω)=6}est un événement. La notationP(X=6)est un raccourci pour direP({ω?Ω:X(ω)=6}). Pour simuler X en scilab, on peut se servir de l"instruction suivante

Algorithme 1.1Lancer de dé

grand(1,1,"uin",1,6) //grand est le générateur de nombres aléatoires de scilab //les deux premiers paramètres $(1,1)$ indiquent que l"ordinateur renvoie un //tableau de taille $1\times 1$(donc une seule variable) //"uin" indique que le résultat est un entier //les deux derniers paramètres $(1,6)$ indique que le résultat est entre $1$ et $6$ //"uin" indique que la variable est uniforme dans $\{1,\dots,6\}$ ($1,\dots,6$ ont la même pro- babilité de//sortir ($1/6$)) Voici le résultat de plusieurs appels successifs de cette instruction : ->grand(1,1,"uin",1,6) ans=4. ->grand(1,1,"uin",1,6) ans=5. ->grand(1,1,"uin",1,6) ans=2. ->grand(1,1,"uin",1,6) ans=5.

Définition 1.2.4.Fonction de répartitionSoit X une variable aléatoire à valeurs dansR. La

Exemple1.2.5.Soit X lerésultatd"unlancerdedé.Nousavons?i? {1,...,6},P(X=i)=1/6. P(X=2)=2/6(on peut utiliser la proposition 1.1.12 parce que{X=1} ∩ {X=2}=∅).

4CHAPITRE 1. ÉVÉNEMENTS ALÉATOIRES ET VARIABLES ALÉATOIRES

Figure1.1 - Fonction de répartition pour le lancer de dé Nous pouvons maintenant dessiner la fonction de répartition de X (figure 1.1).

Proposition 1.2.6.Propriétés de la fonction répartitionSoit X une variables aléatoire à va-

leurs réelles et soit F sa fonction de répartition. Soient a,b?R. Nous avons :

1.P(X>a)=1-F(a),

3.P(X=x)=F(x)-lim?↓0F(x-?)=F(x)-F(x-)(F(x-)signifie la limite à gauche de

F en x).

lui-même que nous pouvons bien appliquer la proposition 1.1.12). DoncP(X>a)=

3. Ce point est admis.

Exemple 1.2.7.Reprenons l"exemple précédent. En utilisant la proposition ci-dessus, nous obtenons :

P(X=2)=F(2)-F(2-)=2/6-1/6=1/6.

Définition 1.2.8.Une variable aléatoire X est dite discrète s"il existe nombre au plus dénom-

brable de valeurs x

1,x2,...telles que?i,ai:=P(X=xi)>0. (Notation : nous utilisons ici le

symbole ":=» pour dire aiest défini comme étant égal àP(X=xi).)

La fonction (qui s"applique aux x

i) x i?→pX(xi)=ai s"appelle la fonction de masse de la variable X.

Proposition 1.2.9.Soit X une variable aléatoire réelle discrète, de fonction de masse pXet de

fonction de répartition F

X. Nous avons la relation (?i)

X(xi)=FX(xi)-FX(xi-).

La fonction F

Xest constante par morceaux. Elle ne change de valeurs qu"aux points xi.

Exemple 1.2.10.Reprenons l"exemple précédent du lancer de dé. La variable X est discrète et

nous avons bienP(X=2)=F(2)-F(2-).

Définition 1.2.11.Une v.a.r. X est dite continue si sa fonction de répartition F est une fonction

continue.

1.2. VARIABLES ALÉATOIRES5

Définition 1.2.12.Soit X une v.a.r. S"il existe une fonction f deRdansR+telle que?aalors cette fonction f s"appelle la densité de probabilité de X (on dit aussi la densité tout court).

Proposition 1.2.13.La définition ci-dessus implique que si X a une densité f alors?a,b? b a f(x)dx, et

P(X=a)=0.

Proposition 1.2.14.Soit X une v.a.r. Si X a une densité f alors X est continue et?x?R,

F(x)=?

x f(t)dt. Proposition 1.2.15.Si X est une v.a.r. de fonction de répartition F telle que F est dérivable, alors X a une densité f qui est égale à (?x) f(x)=F?(x). Si F est dérivable partour sauf en un nombre fini de point, X est encore continue et elle a pour densité f=F?(que l"on peut calculer partout sauf en un nombre fini de points, on met n"importe quelle valeur pour f aux points où F n"est pas dérivable). Remarque1.2.16.S"ilyaunnombrefinidepointsoùladérivéede Festcompliquéeàcalculer, on peut se contenter d"assigner à f des valeurs arbitraires en ces points. Exemple 1.2.17.Soit X une v.a.r. ayant la fonction de répartition suivante (voir figure 1.2 pour le dessin) (il s"agit de la variable uniforme sur[0;1])

F(x)=?

Figure1.2 - Fonction de répartition de la variable uniforme sur [0;1]. Cette fonction F est continue donc X est une variable continue. La fonction F est dérivable partout sauf aux points0,1. Calculons la dérivée f=F?, nous obtenons (voir figure 1.3 pour le dessin) :quotesdbs_dbs6.pdfusesText_11

[PDF] Processus stochastiques et modélisation (Cours et exercices

Processus stochastiques et modélisation

L3 MIAGE, 2011-2012

LOGO_UNS_couleurs_web.png

Sylvain Rubenthaler

1.1 Événements et probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Espérance et moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Fonctions de répartition jointes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4.1 Définitions générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4.2 Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5 Sommes et convolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.7 Lois de probabilités usuelles (à connaître par coeur) . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.7.1 Lois discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.7.2 Lois continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.8.1 Énoncés des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.8.2 Corrigés des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 Théorèmes limites et méthode de Monte-Carlo 29

2.1 Les différentes notions de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2 Théorèmes limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2.1 Loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2.2 Application de la loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.2.1 Dessin de la fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.2.2 Dessin de la densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2.3 Théorème central-limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2.4 Application du TCL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2.4.1 Sondages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2.4.2 Planche de Galton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.3.1 Énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.3.2 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3 Probabilités et espérances conditionnelles43

3.1 Conditionnement dans le cas discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2 Sommes aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.3 Probabilités conditionnelles dans le cas mélangé . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.7.1 Énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.7.2 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4 Estimation et test d"hypothèse65

4.1 Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.1.1 Estimation d"une moyenne par intervalle de confiance . . . . . . . . . 65

4.1.2 Marge d"erreur associée à l"estimation de la moyenne et taille d"échan-

4.1.3 Estimation d"une moyenne par intervalle de confiance dans le cas d"un

4.1.4 Estimation d"une proportion par intervalle de confiance . . . . . . . . . 68

4.1.5 Marge d"erreur associée à l"estimation depet taille d"échantillon requise 68

4.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.2.1 Énoncés des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.2.2 Corrigés des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Liste des symboles73

Index73

A Table de la loi normale73

B Table de la loi de Student75

C Fonctions, intégrales et sommes usuelles77

Informations utiles (examens, corrigés ...) :

1?A2? ···=?∞

1,...,An,?∞

2? ··· ?An. L"événement "tous ces événements ont lieu» se note

1∩A2∩ ···=∩∞

2CHAPITRE 1. ÉVÉNEMENTS ALÉATOIRES ET VARIABLES ALÉATOIRES

AlorsP(A)=1/6.

à la fois A et B).

4/6=2/3.

1,A2,...telle que?i,j≥1, Ai∩Aj=∅etΩ =?∞

P(B)=?∞

Démonstration.Soienti,j≥1.

Montrons queB=?∞

Soitω?B. Nous avonsω?Ω =?∞

Soitω? ?∞

On déduit de ces deux points queB=?∞

Nous avons par la proposition 1.1.12,

P(B)=∞

Proposition 1.1.15.Propriétés deP.

1.2. VARIABLES ALÉATOIRES3

1.2 Variables aléatoires

Ωdans E.

Algorithme 1.1Lancer de dé

4CHAPITRE 1. ÉVÉNEMENTS ALÉATOIRES ET VARIABLES ALÉATOIRES

Soitω?B. Nous avonsω?Ω =?∞

Soitω? ?∞

P(X=2)=F(2)-F(2-)=2/6-1/6=1/6.