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Sylvain Rubenthaler
Table des matières1 Événements aléatoires et variables aléatoires11.1 Événements et probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Espérance et moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Fonctions de répartition jointes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.1 Définitions générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.2 Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Sommes et convolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.7 Lois de probabilités usuelles (à connaître par coeur) . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.7.1 Lois discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.7.2 Lois continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.8.1 Énoncés des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.8.2 Corrigés des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Théorèmes limites et méthode de Monte-Carlo 29
2.1 Les différentes notions de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2 Théorèmes limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.1 Loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.2 Application de la loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.2.1 Dessin de la fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.2.2 Dessin de la densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.3 Théorème central-limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.4 Application du TCL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.4.1 Sondages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.4.2 Planche de Galton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3.1 Énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3.2 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3 Probabilités et espérances conditionnelles43
3.1 Conditionnement dans le cas discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2 Sommes aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3 Probabilités conditionnelles dans le cas mélangé . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
i3.4 Moments et loi d"une somme aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.5 Conditionnement par une variable continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.6 Statistiques pour les nuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.7.1 Énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.7.2 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4 Estimation et test d"hypothèse65
4.1 Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.1.1 Estimation d"une moyenne par intervalle de confiance . . . . . . . . . 65
4.1.2 Marge d"erreur associée à l"estimation de la moyenne et taille d"échan-
tillon requise pour ne pas excéder la marge d"erreur . . . . . . . . . . . 664.1.3 Estimation d"une moyenne par intervalle de confiance dans le cas d"un
petit échantillon (n<30) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.1.4 Estimation d"une proportion par intervalle de confiance . . . . . . . . . 68
4.1.5 Marge d"erreur associée à l"estimation depet taille d"échantillon requise 68
4.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2.1 Énoncés des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2.2 Corrigés des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Liste des symboles73
Index73
A Table de la loi normale73
B Table de la loi de Student75
C Fonctions, intégrales et sommes usuelles77
iiPréfaceCe cours est une introduction aux probabilités utilisant quelques notions de programmation.Les exemples de programmation seront donnés en scilab1. Ce cours s"adresse à des étudiants
delafilièreMIAGE,lesnotionsmathématiquessontsimplifiées. Lescorrigésdesexercicessontvolontairement succint et contiennent involontairement des erreurs. Cela devrait faire réfléchir
les étudiants. Cette version est provisoire. Les chapitres suivants seront ajoutés plus tard.Informations utiles (examens, corrigés ...) :
iii ivChapitre 1Événements aléatoires et variablesaléatoires1.1 Événements et probabilitésNous donnons ici des règles calculs sans rentrer dans le détail des définitions mathématiques.Définition 1.1.1.Nous notonsΩl"ensemble de
toutes les possibilités (un élément quelconque deΩsera souvent notéωet s"appellera un aléa). On dira aussi queΩest "l"ensemble des possibles», l"univers, l"univers des possibles, ... Un événement (que l"on peut aussi orthographier évènement) est une partie deΩ.Exemple 1.1.2.Si on jette un dé, A="on tire un6»={ω?Ω,on tire un 6}est un événement
(dans l"égalité précédente, les trois termes veulent dire la même chose. De même, B="le
résultat est supérieur ou égal à3» est aussi un événement.Définition 1.1.3.Soient A,B deux événements. L"événement "il arrive A ou B» (ce qui veut
dire que l"on a au moins l"un des deux) s"appelle la réunion de A et B et se note A?B. On notera aussi A?B={ω?Ω,ω?A ouω?B}. Exemple 1.1.4.On reprend l"exemple du lancer de dé. Soit A="le résultat est pair», B="lerésultat est supérieur ou égal à3». Alors A?B="le résultat est dans{2,3,4,5,6}».
Définition 1.1.5.Soient A,B deux événements. L"événement "il arrive A et B» (ce qui veut dire
que l"on a les deux en même temps) s"appelle l"intersectionde A et B et se note A∩B. On notera
aussi A∩B={ω?Ω,ω?A etω?B}.Exemple 1.1.6.Avec les A,B de l"exemple précédent , A∩B="le résultat est dans{4,6}».
Définition 1.1.7.Soient une liste au plus dénombrable d"événements A1,A2,...(au plus dé-
nombrable veut dire que l"on peut numéroter ces événements avec de indices entiers, la liste
des indices est finie ou infinie). L"événement "l"un au moins de ces événements a lieu» se note
A1?A2? ···=?∞
i=1Ai. Attention, si on a une liste finie d"événements A1,...,An,?∞
i=1Aiveut dire par convention A1? A2? ··· ?An. L"événement "tous ces événements ont lieu» se note
A1∩A2∩ ···=∩∞
i=0Ai. 12CHAPITRE 1. ÉVÉNEMENTS ALÉATOIRES ET VARIABLES ALÉATOIRES
Définition 1.1.8.La probabilité d"un événement A se noteP(A). Nous avons toujoursP(Ω)=1.
Exemple 1.1.9.On reprend l"exemple du lancer de dé ci-dessus. Soit A="le résultat est1».AlorsP(A)=1/6.
Les règles de calcul qui suivent sont plus importantes que les définitions précédentes.Définition 1.1.10.Deux événements A,B sont dits disjoints si A∩B=∅(on ne peut pas avoir
à la fois A et B).
Exemple 1.1.11.Toujours avec le lancer de dé, soit A="le résultat est pair», B="le résultat
est impair». Alors A∩B=∅, ces deux événements sont disjoints (le résultat ne peut pas être
pair et impair). Proposition 1.1.12.Loi d"addition.Si deux événements A,B sont disjoints alorsP(A?B)= P(A)+P(B). Si une liste au plus dénombrable d"événements A1,A2,...est telle que?i,j≥1, A i∩Aj=∅, alorsP(?∞ i=1Ai)=?∞ i=1P(Ai). Exemple 1.1.13.Toujours avec l"exemple du lancer de dé. Soit A="le résultat est pair», B= "le résultat est égal à3». Nous avons A∩B=0et doncP(A?B)=P(A)+P(B)=1/6+3/6=4/6=2/3.
Proposition 1.1.14.Loi des probabilités totales.Soit une liste au plus dénombrable d"événe-
ments A1,A2,...telle que?i,j≥1, Ai∩Aj=∅etΩ =?∞
i=1Ai. Soit B un événement. AlorsP(B)=?∞
i=1P(Ai∩B).Démonstration.Soienti,j≥1.
Montrons par l"absurde que (Ai∩B)∩(Aj∩B)=∅. Si?ω?(Ai∩B)∩(Aj∩B), alors
ω?Ai∩Aj, orAi∩Aj=∅, nous avons donc là une contradiction.Montrons queB=?∞
i=1(B∩Ai).Soitω?B. Nous avonsω?Ω =?∞
i=1Aidonc?jtel queω?Aj. Doncω?B∩Aj. Donc i=1(B∩Ai). DoncB? ?∞ i=1(B∩Ai).Soitω? ?∞
i=1(B∩Ai). Il existejtel queω?B∩Aj, doncω?B. Donc?∞ i=1(B∩Ai)?B.On déduit de ces deux points queB=?∞
i=1(B∩Ai).Nous avons par la proposition 1.1.12,
P(B)=∞
i=1P(B∩Ai).Proposition 1.1.15.Propriétés deP.
Démonstration.NotonsB\A={ω?Ω:ω?B,ω?A}(cette définition est valable aussi siA?B). Nous avonsB=A?(B\A) etA∩(B\A)=∅. Donc, par la proposition 1.1.12, Notation 1.1.16.On noteraP(A,B)pour direP(A∩B).1.2. VARIABLES ALÉATOIRES3
1.2 Variables aléatoires
Définition 1.2.1.Une variable aléatoire à valeurs dans un ensemble E est une application deΩdans E.
toire à valeurs réelles. Exemple 1.2.3.Soit X le résultat d"un lancer de dé. L"ensemble{ω?Ω:X(ω)=6}est un événement. La notationP(X=6)est un raccourci pour direP({ω?Ω:X(ω)=6}). Pour simuler X en scilab, on peut se servir de l"instruction suivanteAlgorithme 1.1Lancer de dé
grand(1,1,"uin",1,6) //grand est le générateur de nombres aléatoires de scilab //les deux premiers paramètres $(1,1)$ indiquent que l"ordinateur renvoie un //tableau de taille $1\times 1$(donc une seule variable) //"uin" indique que le résultat est un entier //les deux derniers paramètres $(1,6)$ indique que le résultat est entre $1$ et $6$ //"uin" indique que la variable est uniforme dans $\{1,\dots,6\}$ ($1,\dots,6$ ont la même pro- babilité de//sortir ($1/6$)) Voici le résultat de plusieurs appels successifs de cette instruction : ->grand(1,1,"uin",1,6) ans=4. ->grand(1,1,"uin",1,6) ans=5. ->grand(1,1,"uin",1,6) ans=2. ->grand(1,1,"uin",1,6) ans=5.Définition 1.2.4.Fonction de répartitionSoit X une variable aléatoire à valeurs dansR. La
Exemple1.2.5.Soit X lerésultatd"unlancerdedé.Nousavons?i? {1,...,6},P(X=i)=1/6. P(X=2)=2/6(on peut utiliser la proposition 1.1.12 parce que{X=1} ∩ {X=2}=∅).4CHAPITRE 1. ÉVÉNEMENTS ALÉATOIRES ET VARIABLES ALÉATOIRES
Figure1.1 - Fonction de répartition pour le lancer de dé Nous pouvons maintenant dessiner la fonction de répartition de X (figure 1.1).Proposition 1.2.6.Propriétés de la fonction répartitionSoit X une variables aléatoire à va-
leurs réelles et soit F sa fonction de répartition. Soient a,b?R. Nous avons :1.P(X>a)=1-F(a),
3.P(X=x)=F(x)-lim?↓0F(x-?)=F(x)-F(x-)(F(x-)signifie la limite à gauche de
F en x).
lui-même que nous pouvons bien appliquer la proposition 1.1.12). DoncP(X>a)=3. Ce point est admis.
Exemple 1.2.7.Reprenons l"exemple précédent. En utilisant la proposition ci-dessus, nous obtenons :P(X=2)=F(2)-F(2-)=2/6-1/6=1/6.
Définition 1.2.8.Une variable aléatoire X est dite discrète s"il existe nombre au plus dénom-
brable de valeurs x1,x2,...telles que?i,ai:=P(X=xi)>0. (Notation : nous utilisons ici le
symbole ":=» pour dire aiest défini comme étant égal àP(X=xi).)La fonction (qui s"applique aux x
i) x i?→pX(xi)=ai s"appelle la fonction de masse de la variable X.Proposition 1.2.9.Soit X une variable aléatoire réelle discrète, de fonction de masse pXet de
fonction de répartition FX. Nous avons la relation (?i)
pX(xi)=FX(xi)-FX(xi-).
La fonction F
Xest constante par morceaux. Elle ne change de valeurs qu"aux points xi.Exemple 1.2.10.Reprenons l"exemple précédent du lancer de dé. La variable X est discrète et
nous avons bienP(X=2)=F(2)-F(2-).Définition 1.2.11.Une v.a.r. X est dite continue si sa fonction de répartition F est une fonction
continue.