Intégrales doubles et triples - Institut de Mathématiques

Déterminerleslimites,quandTtendvers+∞de 1 T Z T 0 etendéduirelavaleurdel’intégrale Z π/2 0 y tany dy Exercice 50 [ 03690 ] [Correction

Changementdevariablesdansune intégralemultiple

double, la méthode de base donnée par le théorème de Fubini consiste à intégrer sur les Changement de variables dans une intégrale multiple 10 3 Exercices

Changement de variables dans les intégrales en théorie de

L’énoncé principal de ce chapitre, qui requérera une démons-tration longue et endurante, révèle comment changer les variables dans les intégrables en dimension d>1 Théorème 1 3 [Changement de variables] Soit ’: U ˘ V un difféomorphisme C1 entre deux ouverts UˆR det V ˆR Alors pour toute fonction mesurable f: V C, la

Intégrales doubles et triples - Institut de Mathématiques

1 3- Calcul de l’Intégrale Double 2) Deuxième Décomposition 1 4- Propriétés de l’intégrale Double 1 5- Changement de variables dans l’intégrale double 2-Intégrales triples 1 4- Propriétés de l’Intégrale Double Elles découlent de celles de l’intégrale simple Pour f et g intégrables sur D a) Propriétés liées à la

2012/2013 Semestredeprintemps UniversitéLyonI

2012/2013 Semestredeprintemps UniversitéLyonI Calculdiﬀérentieletintégral Exercices sur les intégrales doubles Exercice 1 Calculer Z 1 0 Z 1

Exo7 - Exercices de mathématiques

Calculer les primitives suivantes par changement de variable 1 R (cosx)1234 sinxdx 2 R 1 xlnx dx 3 R 1 3+exp( x) intégrale ne dépend pas de la valeur de la

Int egrales de fonctions de plusieurs variables

faut \deviner" quelle est la bonne m ethode a appliquer (int egration par partie, changement de variable) pour obtenir la primitive de f C’est pourquoi calculer des int egrales de fonc-tions d’une variable, et a fortiori des int egrales de fonctions de plusieurs variables ne peut s’apprendre que par la pratique 3

Quelques corrigés d’exercices des feuilles 5 et 6

Quelques corrigés d’exercices des feuilles 5 et 6 Calculer l’intégrale double ZZ R xcos(x+y) dxdy, R région triangulaire de som-mets (0,0), (π,0), (π,π) On intègre par tranche On peut le faire de deux façons : ZZ R xcos(x+y) dxdy = Z π 0 (Z x 0 xcos(x+y)dy)dx ou ZZ R xcos(x+y) dxdy = Z π 0 (Z π y xcos(x+y)dx)dy Si on prend la

D Calcul de - Département de Mathématiques d’Orsay

Changement de variable t = y2 alors dt = 2ydy I 1 = 1 4 Z 1 0 (ln(2+t)−ln(1+t))dt Int´egration de ln(y) : (yln(y))0 = ln(y)+1 alors Z ln(y)dy = yln(y)−y +C I 1 = 1 4 Z 1 0 (ln(2+t)−ln(1+t))dt = 1 4 [(2+t)ln(2+t)−(2+t)−(1+t)ln(1+t)+(1+t)]1 0 = 3 4 ln3−ln2 Calcul de I 2: Coordonn´ees polaires x = rcosθ y = rsinθ dxdy = rdrdθ I

Calcul intégral Exercices corrigés - Page de travail de F

1 20 Intégrale et suite 5 23 1 21 Méthode d’Euler, Am du Nord 2006 23 1 22 Equa diff, intégrale, volume, Am du Sud 2004 26 1 23 Equa diff + fonction+intégrale, Antilles 2001 28 1 24 La chaînette 31 1 25 Primitive de ln 37 1 26 Equation différentielle 38 1 27 Equation différentielle et primitive 39 1 28

Michel

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simples1-Intégrale double2-Intégrales triplesIntégrales doubles et triples - M-

Michel Fournié

fournie@mip.ups-tlse.fr 1/27 M-

Michel

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simplesRappels

Approximation

1-Intégrale

double2-Intégrales triples0- Intégrales simples (rappel)

Définition : Intégrale définie

•Soitfdéfinie continue surI= [a,b]telle quef(x)>000.511.522.53

0.5 1 1.5 2 2.5

x•On peut alorsdélimiter une surfacepar : le graphe def, l"axeOx, les droitesx=a,x=b, puislui associer un nombre réel notéSappelé aire de la surface (l"unité de mesure étant un cube de coté 1). 2/27 M-

Michel

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Approximation

1-Intégrale

double2-Intégrales triplesValeurs approchées - Intégrale définie •Une valeur approchéeIndeSpeut être obtenue en partageantIennparties égales x

0=a,···,xk=a+kb-an

,···,xn=b,

Δxi=xi+1-xiSubdivision avec n=5

(b-a)/n b a

00.511.522.53 0.5 1 1.5 2 2.5

x•et en calculant lasomme des aires des rectangles de base b-an et de hauteurs f(x1),···,f(xn): I n=b-an [f(x1) +···+f(xk) +···+f(xn)] Valeur approchée =5.470628265Valeur exacte =5.443664273

00.511.522.53 0.5 1 1.5 2 2.5

xDéfinition (Propriété admise):

Sifestcontinuesur[a,b]alors limn→+∞n

i=1f(xi)Δxi=I(f). I(f)sera appeléeintégrale définiede la fonctionfcontinue entre les bornesaetb3/27 M-

Michel

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simples1-Intégrale double1.1- Définition

1.2-Interprétation

graphique1)- Première

Décomposition1.3- Calcul de

l"Intégrale Double2) Deuxième

Décomposition1.4- Propriétés de

l"intégrale Double1.5- Changement de variables dans l"intégrale double2-Intégrales triples1.1- Intégrale Double

Définition:Intégrale Double

•Dun domaine inscrit dans le rectangle[a,b]×[c,d]

(borné, connexe deIR2),•fune fonction définie continue surD(prolongée par zéro à l"extérieur deD)•on subdivise[a,b]ennparties

{x0=a,x1,...,xi,...,xn=b},Δxi=xi-xi-1•on subdivise[c,d]enmparties?y0=c,y1,...,yj,...,ym=d?,Δyj=yj-yj-1•r

ij= [xi-1,xi]×[yj-1,yj]un rectangle élémentaire ainsi on a subdiviséDenn×mparties(rij)i,j•l"intégrale defsurDest définie par

I(f) =??

D i=1m j=1f(xi,yj) ΔxiΔyj4/27 M-

Michel

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1.2-Interprétation

graphique1)- Première

Décomposition1.3- Calcul de

l"Intégrale Double2) Deuxième

Décomposition1.4- Propriétés de

l"intégrale Double1.5- Changement de variables dans l"intégrale double2-Intégrales triples1.2- Interprétation graphique •S fsurface représentative defdans un repère orthonormé•p ij= [xi-1,xi]×[yj-1,yj]×[0,f(xi,yj)]un parallélépipède élémentaire etvij=f(xi,yj) ΔxiΔyjle volume depij

I(f) =??

D i? jv ij=volume de V •V est le volume intérieur au cylindre droit de sectionD limité par la surfaceSfd"équation z=f(x,y) et le planz=0

Cas particulier:Sif(x,y) =1 alors??

Ddxdy=aire deD.

ds=dxdyest l"élément d"aire en coordonnées cartésiennes 5/27 M-

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1.2-Interprétation

graphique1)- Première

Décomposition1.3- Calcul de

l"Intégrale Double2) Deuxième

Décomposition1.4- Propriétés de

l"intégrale Double1.5- Changement de variables dans l"intégrale double2-Intégrales triples1) Calcul de l"Intégrale Double

1)- Première Décomposition

•Dun domaine borné deIR2de frontièreΓDintersectée au plus en deux points par toute droite d"équationx=cte,

(ΓDest continuement différentiable sauf en un nombre fini de points)•(rij)i,june subdivision deDen rectangles élémentaires•si f est une fonction de deux variables définie et continue

surD, l"intégrale double de f surDest définie par:

I(f) =??

D f(x,y)dxdy =limr ij?D? i? jf(xi,yj)ΔxiΔyj b a? ?y2(x) y

1(x)f(x,y)dy?

•[a,b]est la projection orthogonale deDsur(Ox)•[y1(x),y2(x)]est l"intersection deDavec la droitex=cte6/27

M-

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1.2-Interprétation

graphique1)- Première

Décomposition1.3- Calcul de

l"Intégrale Double2) Deuxième

Décomposition1.4- Propriétés de

l"intégrale Double1.5- Changement de variables dans l"intégrale double2-Intégrales triplesPremière Décomposition (démo)

Partant deI(f) =lim?

i(lim? jf(xi,yj)Δyj)Δxi on remarque que lim? jf(xi,yj)Δyj=? y2(xi) y

1(xi)f(xi,y)dy=A(xi)d"où

I(f) =lim?

iA(xi)Δxi=? b a

A(x)dx

I(f) =??

D f(x,y)dxdy=? b a? ?y2(x) y

1(x)f(x,y)dy?

dx 7/27 M-

Michel

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1.2-Interprétation

graphique1)- Première

Décomposition1.3- Calcul de

l"Intégrale Double2) Deuxième

Décomposition1.4- Propriétés de

l"intégrale Double1.5- Changement de variables dans l"intégrale double2-Intégrales triplesExemple

CalculerI=??

D x dxdyavec D=? I=? 1 0? ?2x 0 x dy? dx=? 1 0 x[y]2x 0dx I=? 1 0

2x2dx=?2x33

1 0 =23 8/27 M-

Michel

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1.2-Interprétation

graphique1)- Première

Décomposition1.3- Calcul de

l"Intégrale Double2) Deuxième

Décomposition1.4- Propriétés de

l"intégrale Double1.5- Changement de variables dans l"intégrale double2-Intégrales triples2) Deuxième Décomposition •Dun domaine borné deIR2de frontièreΓDintersectée au plus en deux points par toute droite d"équationy=cte,

(ΓDest continuement différentiable sauf en un nombre fini de points)•(rij)i,june subdivision deDen rectangles élémentaires•si f est une fonction de deux variables définie et continue

surD, l"intégrale double de f surDest définie par:

I(f) =??

D f(x,y)dxdy =limr ij?D? i? jf(xi,yj)ΔxiΔyj d c? ?x2(y) x

1(y)f(x,y)dx?

•[c,d]est la projection orthogonale deDsur(Oy)•[x1(y),x2(y)]est l"intersection deDavec la droitey=cte9/27

M-

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1.2-Interprétation

graphique1)- Première

Décomposition1.3- Calcul de

l"Intégrale Double2) Deuxième

Décomposition1.4- Propriétés de

l"intégrale Double1.5- Changement de variables dans l"intégrale double2-Intégrales triplesDeuxième Décomposition (démo)

Partant deI(f) =lim?

j? lim? if(xi,yj) Δxi?

Δyj

on remarque que lim? if(xi,yj) Δxi=? x2(yj) x

1(yj)f(x,yj)dx=B(yj)d"où

I(f) =lim?

jB(yj) Δyj=? d c

B(y)dy

I(f) =??

D f(x,y)dxdy=? d c? ?x2(y) x

1(y)f(x,y)dx?

dy 10/27 M-

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1.2-Interprétation

graphique1)- Première

Décomposition1.3- Calcul de

l"Intégrale Double2) Deuxième

Décomposition1.4- Propriétés de

l"intégrale Double1.5- Changement de variables dans l"intégrale double2-Intégrales triplesExemple

CalculerI=? ?

D x dxdyavec D=? ,1? I=? 2 0? ?1 y2 x dx? dy=? 2 0? x22 1 y2 dy I=12? 2 0 (1-y24 )dy=12? y-y312? 2 0 =23 11/27 M-

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1.2-Interprétation

graphique1)- Première

Décomposition1.3- Calcul de

l"Intégrale Double2) Deuxième

Décomposition1.4- Propriétés de

l"intégrale Double1.5- Changement de variables dans l"intégrale double2-Intégrales triples1.4- Propriétés de l"Intégrale Double Elles découlent de celles de l"intégrale simple. Pourfetgintégrables surD.a) Propriétés liées à la fonction

I(f+g) =I(f) +I(g)etI(λf) =λI(f)?λ?IR

sif≥0=?I(f)≥0b) Propriétés liées au domaine si(D1?D2) =Det si l"aire de(D1∩D2)est nulle=??? D f(x,y)dxdy=?? D

1f(x,y)dxdy+??

2f(x,y)dxdy12/27

M-

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1.2-Interprétation

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l"Intégrale Double2) Deuxième

Décomposition1.4- Propriétés de

l"intégrale Double1.5- Changement de variables dans l"intégrale double2-Intégrales triples1.5- Changement de variables dans l"intégrale doublea) Rappel sur l"intégrale simple Soit?une application de[t1,t2]sur[a,b], dérivable etinversible, on posex=?(t) b a f(x)dx=? t2 t

1f[?(t)]??(t)dtoù?(t1) =aet?(t2) =b

L"expression suivante est équivalente à celle ci-dessus. b a f(x)dx=? [a,b]f(x)dx=? -1([a,b])f[?(t)]|??(t)|dt Remarque:Suivant le signe de??(t),?-1([a,b]) = [t1,t2] ou[t2,t1], ce qui conduit à??(t)×(t2-t1)>0 pour(aMichel

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1.2-Interprétation

graphique1)- Première

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l"Intégrale Double2) Deuxième

Décomposition1.4- Propriétés de

l"intégrale Double1.5- Changement de variables dans l"intégrale double2-Intégrales triplesb) Changement de variables dans une intégrale doubleOn admettra sans démonstration le théorème suivant: D f(x,y)dxdy=??

Δ=?-1(D)f[?(u,v)]|J(u,v)|dudv

où les fonctionsxetyadmettent des dérivées partielles continues surΔ ?(u,v) = [x(u,v),y(u,v)]une applicationinversiblede

Δ?IR2(portant suruetv) surD?IR2(portant surxet

y), telle queD=?(Δ) =?Δ =?-1(D)et

J(u,v) =????x?uy?ux?vy?v?

???=x?u(u,v)y?v(u,v)-x?v(u,v)y?u(u,v)est leJacobien de?qui ne doit pas s"annuler surΔpour que l"application?soit inversible.14/27 M-

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1.2-Interprétation

graphique1)- Première

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l"Intégrale Double2) Deuxième

Décomposition1.4- Propriétés de

l"intégrale Double1.5- Changement de variables dans l"intégrale double2-Intégrales triplesc) Cas particulier important: les coordonnées polairesOn considère les variables x(ρ,θ) =ρcosθ ,y(ρ,θ) =ρsinθle Jacobien est alors

J(ρ,θ) =????x?ρy?ρ

x?θy?θ? ???=????cosθsinθ -ρsinθ ρcosθ? ???=ρOn vérifie les hypothèses précédentes en imposant à(ρ,θ) les deux contraintes suivantes

ρ >0 etθ?[α,α+2π[ds=ρdρdθest l"élément d"aire en coordonnées polaires

15/27 M-

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1-Intégrale

Définition : Intégrale définie

0.5 1 1.5 2 2.5

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Approximation

1-Intégrale

0=a,···,xk=a+kb-an

Δxi=xi+1-xiSubdivision avec n=5

00.511.522.53

0.5 1 1.5 2 2.5

00.511.522.53

0.5 1 1.5 2 2.5

Sifestcontinuesur[a,b]alors limn→+∞n

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Décomposition1.4- Propriétés de

Définition:Intégrale Double

I(f) =??

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Décomposition1.4- Propriétés de

I(f) =??

Cas particulier:Sif(x,y) =1 alors??

Ddxdy=aire deD.

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Décomposition1.3- Calcul de

Décomposition1.4- Propriétés de

1)- Première Décomposition

I(f) =??

1(x)f(x,y)dy?

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1.2-Interprétation

Décomposition1.3- Calcul de

Décomposition1.4- Propriétés de

Partant deI(f) =lim?

1(xi)f(xi,y)dy=A(xi)d"où

I(f) =lim?

A(x)dx

I(f) =??

1(x)f(x,y)dy?

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Décomposition1.4- Propriétés de

CalculerI=??

2x2dx=?2x33

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Décomposition1.3- Calcul de

Décomposition1.4- Propriétés de

I(f) =??

1(y)f(x,y)dx?

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Décomposition1.3- Calcul de

Décomposition1.4- Propriétés de

Partant deI(f) =lim?

Δyj

1(yj)f(x,yj)dx=B(yj)d"où

I(f) =lim?

B(y)dy

I(f) =??