Quelques corrigés d’exercices des feuilles 5 et 6

Déterminerleslimites,quandTtendvers+∞de 1 T Z T 0 etendéduirelavaleurdel’intégrale Z π/2 0 y tany dy Exercice 50 [ 03690 ] [Correction

Changementdevariablesdansune intégralemultiple

double, la méthode de base donnée par le théorème de Fubini consiste à intégrer sur les Changement de variables dans une intégrale multiple 10 3 Exercices

Changement de variables dans les intégrales en théorie de

L’énoncé principal de ce chapitre, qui requérera une démons-tration longue et endurante, révèle comment changer les variables dans les intégrables en dimension d>1 Théorème 1 3 [Changement de variables] Soit ’: U ˘ V un difféomorphisme C1 entre deux ouverts UˆR det V ˆR Alors pour toute fonction mesurable f: V C, la

Intégrales doubles et triples - Institut de Mathématiques

1 3- Calcul de l’Intégrale Double 2) Deuxième Décomposition 1 4- Propriétés de l’intégrale Double 1 5- Changement de variables dans l’intégrale double 2-Intégrales triples 1 4- Propriétés de l’Intégrale Double Elles découlent de celles de l’intégrale simple Pour f et g intégrables sur D a) Propriétés liées à la

2012/2013 Semestredeprintemps UniversitéLyonI

2012/2013 Semestredeprintemps UniversitéLyonI Calculdiﬀérentieletintégral Exercices sur les intégrales doubles Exercice 1 Calculer Z 1 0 Z 1

Exo7 - Exercices de mathématiques

Calculer les primitives suivantes par changement de variable 1 R (cosx)1234 sinxdx 2 R 1 xlnx dx 3 R 1 3+exp( x) intégrale ne dépend pas de la valeur de la

Int egrales de fonctions de plusieurs variables

faut \deviner" quelle est la bonne m ethode a appliquer (int egration par partie, changement de variable) pour obtenir la primitive de f C’est pourquoi calculer des int egrales de fonc-tions d’une variable, et a fortiori des int egrales de fonctions de plusieurs variables ne peut s’apprendre que par la pratique 3

Quelques corrigés d’exercices des feuilles 5 et 6

Quelques corrigés d’exercices des feuilles 5 et 6 Calculer l’intégrale double ZZ R xcos(x+y) dxdy, R région triangulaire de som-mets (0,0), (π,0), (π,π) On intègre par tranche On peut le faire de deux façons : ZZ R xcos(x+y) dxdy = Z π 0 (Z x 0 xcos(x+y)dy)dx ou ZZ R xcos(x+y) dxdy = Z π 0 (Z π y xcos(x+y)dx)dy Si on prend la

D Calcul de - Département de Mathématiques d’Orsay

Changement de variable t = y2 alors dt = 2ydy I 1 = 1 4 Z 1 0 (ln(2+t)−ln(1+t))dt Int´egration de ln(y) : (yln(y))0 = ln(y)+1 alors Z ln(y)dy = yln(y)−y +C I 1 = 1 4 Z 1 0 (ln(2+t)−ln(1+t))dt = 1 4 [(2+t)ln(2+t)−(2+t)−(1+t)ln(1+t)+(1+t)]1 0 = 3 4 ln3−ln2 Calcul de I 2: Coordonn´ees polaires x = rcosθ y = rsinθ dxdy = rdrdθ I

Calcul intégral Exercices corrigés - Page de travail de F

1 20 Intégrale et suite 5 23 1 21 Méthode d’Euler, Am du Nord 2006 23 1 22 Equa diff, intégrale, volume, Am du Sud 2004 26 1 23 Equa diff + fonction+intégrale, Antilles 2001 28 1 24 La chaînette 31 1 25 Primitive de ln 37 1 26 Equation différentielle 38 1 27 Equation différentielle et primitive 39 1 28

Calculer l"intégrale double

R xcos(x+y)dxdy,Rrégion triangulaire de som- mets(0,0),(π,0),(π,π). On intègre par tranche. On peut le faire de deux façons : R xcos(x+y)dxdy=? 0 x 0 xcos(x+y)dy)dx ou R xcos(x+y)dxdy=? 0 y xcos(x+y)dx)dy

Si on prend la première expression on obtient

0 x 0 xcos(x+y)dy)dx=? 0 [xsin(x+y)]y=x y=0dx 0 (xsin2x)-xsin(x))dx = [-xcos(2x)/2]π0+? 0 cos(2x)/2dx-[-xcos(x)]π0-? 0 cos(x)dx =-π/2 + 0-π+ 0 =-3π/2 Avec la deuxième cela donne la même chose (et les calculs à faire sont à peu près les mêmes; dans certains cas le calcul est beaucoup plus simple en intégrant dans un ordre que dans l"autre)? 0 y xcos(x+y)dx)dy=? 0 ([xsin(x+y)]x=πx=y-? y sin(x+y)dx)dy 0 (πsin(π+y)-ysin(2y))dy-? 0 [-cos(x+y)]πydy = [-πcos(π+y)]π0+ [ycos(2y)/2]π0-? 0 cos(2y)/2dy 0 [cos(2y)-cos(y+π)]dy =-2π+π/2 + 0 + 0 + 0 =-3π/2

Calculer l"intégrale double??

R x2dxdylorsqueR={(x,y)|x?0,1?x2+y2? 2}.

La forme du domaine incite à utiliser le système des coordonnées polaires. L"intégrale sur

l"anneau est l"intégrale sur l"image de]1,⎷2[×]0,2π[par l"applicationF,C1bĳective de

]1,⎷2[×]0,2π[sur son image (l"anneau privé d"un segment), définie par F: (ρ,θ)?→(ρcos(θ),ρsin(θ)). 1

MIEEVAR2011-2012On a vu en cours (et dans un exercice; il faut savoir le retrouver) que le jacobien de cette

fonction estρ. On a : R x2dxdy=??

F(]1,⎷2[×]0,2π[)x2dxdy

⎷2 1

ρ3dρ.?

2π 0 cos2(θ)dθ = [ρ4/4]⎷2 1.? 2π 0 (1 + cos(2θ))/2dθ = 3π/4 Calculer l"aire de la région du plan suivanteD={(x,y)|y?x?y2,1?y?2}.

Par définition cette aire est donnée par l"intégrale de la fonction constante égale à 1 sur

le domaineD. On calcule ensuite par tranche l"intégrale obtenue : D dxdy=? 2 1 y2 y dx)dy 2 1 (y2-y)dy = [y3/3-y2/2]21 = 7/3-3/2 = 5/6

Calculer l"intégrale triple :

V?x

2+y2+z2dx dy dzoùVest la boule de

centre (0,0,0) et de rayonR. Le domaine d"intégration est une boule centrée en 0. L"utilisation des coordonnées sphé- riques peut être intéressant dans ce cas. L"application F: (ρ,θ,φ)?→(ρcos(θ)sin(φ),ρsin(θ)sin(φ),ρcos(φ)) est une applicationC1bĳective de]0,R[×]0,2π[×]0,π[sur son image. Cette image est la boule de centreRprivé de son bord et de la partie de la boule appartenant au demi- plan{(x,z,0)/ x≥0,z?R}. Ces parties manquantes de la boule sont de dimension

2; leur volume est nul. L"intégrale sur la boule est égale à l"intégrale sur l"image de

]0,R[×]0,2π[×]0,π[parF.

Le jacobien deFestρ2sin(φ). Il faut savoir faire ce calcul. Je l"ai fait en cours. Le théorème

du changements de variables donne ici : V?x

2+y2+z2dx dy dz=???

F(]0,R[×]0,2π[×]0,π[)?x

2+y2+z2dx dy dz

]0,R[×]0,2π[×]0,π[ρ ρ2sin(φ)dρ dθ dφ 2

MIEEVAR2011-2012On intègre ensuite par tranche. C"est particulièrement simple ici car le domaine est un

pavé et la fonction à intégrer un produit de fonctions dépendant de chaque coordonnée.

On obtient :

]0,R[×]0,2π[×]0,π[ρ ρ2sin(φ)dρ dθ dφ=? R 0

ρ3dρ.?

2π 0 dθ.? 0 sin(φ)dφ = [ρ4/4]R0.2π.[-cos(φ)]π0 =R4/4.2π.2 =πR4 Calculer le volume du corps limité par le planxOy, le cylindrex2+y2=axet la sphèrex2+y2+z2=a2. La partie dont le volume est demandée est appelée "temple de Viviani" (ou plus exactement la moitié du temple de Viviani car on ne prend que les points de troisième coordonnée positive). Le calcul est expliqué ci-dessous dans le casa= 1(pour obtenir le cas général il suffit de multiplier para3). 3

MIEEVAR2011-20124

MIEEVAR2011-2012Utiliser le théorème de Green-Riemann pour trouver l"aire de l"ellipse x2a 2+ y 2b 2= 1. Il faut comprendre l"énoncé comme : trouver l"aire de la partie compact délimitée par l"ellipse. Considérons le champFdont les coordonnées sont(-y/2,x/2). Ce champs est C

1surR2. L"ellipse est une courbe simple fermée qu"on peut paramétrée par

t?→(acos(t),asin(t)). AppelonsDl"intérieur de l"ellipse,γson bord. Le théorème de Green-Riemann donne l"égalité :?

Fdγ=??

D (∂F2∂x -∂F1∂y )dxdy.

IciF2=x/2etF1=-y/2donc(∂F2∂x

-∂F1∂y ) = 1et le deuxième terme de l"égalité est l"intégrale définissant l"aire deD. Calculons le premier terme au moyen du paramétrage donné plus haut :

Fdγ=?

2π 0 = 1/2? 2π 0 = 1/2? 2π 0 ?ab(sin2(t) + cos2(t))dt =πab

L"aire deDest doncπab.

Calculer l"aire deS+={(x,y,z)|x2+y2+z2=a2, z?0}en utilisant la repré- sentation paramétréef(u,v) = (acosucosv , asinucosv , asinv).

Ce calcul a été fait pour la sphère entière en cours. Le voici avec le paramétrage sphérique

proposé dans l"énoncé : 5

MIEEVAR2011-20126

quotesdbs_dbs6.pdfusesText_11

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Intégrales doubles [Correction]

Changementdevariablesdansune intégralemultiple

Changement de variables dans les intégrales en théorie de

Intégrales doubles et triples - Institut de Mathématiques

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Int egrales de fonctions de plusieurs variables

Quelques corrigés d’exercices des feuilles 5 et 6

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Calcul intégral Exercices corrigés - Page de travail de F

Calculer l"intégrale double

Si on prend la première expression on obtient

Calculer l"intégrale double??

F(]1,⎷2[×]0,2π[)x2dxdy

ρ3dρ.?

Calculer l"intégrale triple :

2+y2+z2dx dy dzoùVest la boule de

2; leur volume est nul. L"intégrale sur la boule est égale à l"intégrale sur l"image de

2+y2+z2dx dy dz=???

F(]0,R[×]0,2π[×]0,π[)?x

2+y2+z2dx dy dz

On obtient :

ρ3dρ.?

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1surR2. L"ellipse est une courbe simple fermée qu"on peut paramétrée par

Fdγ=??

IciF2=x/2etF1=-y/2donc(∂F2∂x

Fdγ=?

L"aire deDest doncπab.

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