Les puissances : cours de maths en 4ème
Les puissances de 10, d’exposants positifs ou négatifs, permettent d’écrire facilement de très grands et de très petits nombres 109 =1 000 000 000 7 7 11 10 0,000 000 1 10 10 000 000 − == = r - Calculs avec des puissances de 10 a) Écriture 5" 5 −5 1 34 34 " 10 100000 zéros = 5 10 0,0000 chiffres = N b) Produit de deux puissances
CALCUL AVEC LES FRACTIONS ET LES PUISSANCES
Les puissances étant prioritaires il faut commencer par (10²)3 = 10 2 ×3 = 10 6 Lorsque l’opération ne contient que des multiplications au numérateur et au dénominateur, il suffit de séparer les nombres d’un côté et les puissances de 10 de l’autre Puis on applique les formules sur les puissances
CHAPITRE Les puissances à exposants négatifs
Pour commencer, rappelons les propriétés des puissances à exposants positifs: (∀ ∈ ∀ ∈a b n m, ,R N*)( ) Puissance d'un produit : ( )ab a bn =n n Puissance d'un quotient : n n n a a b b = Produit de puissances de même base : a a an m n m= + Quotient de puissances de même base : si 1 si n m n m m n a n m a a n m a − − ≥ = ≤
PUISSANCES ET RACINES CARRÉES
2) Écrire les expressions suivantes sous la forme √-, où a et b sont des entiers et b le plus petit possible : D = √12+7√3−√27 E = √125−2√20+6√80 1) On regroupe les membres d’une même « famille de racines carrées » pour réduire l’expression
Chapitre 5 : Puissances I Puissances d’un nombre relatif 1
Les puissances 3 Les multiplications et les divisions 4 Les additions et les soustractions Exemples : Calculer (écrire les étapes intermédiaires) :
La mesure des puissances électriques
électrotechnique et permet de calculer avec précision les caractéristiques du matériel utilisé : rendement, charge, cos ϕ, limites d’utilisation Les wattmètres utilisés pour ces mesures se classent en trois grandes familles : électrodynamiques, ferrodynamiques et électroniques Mesure des puissances actives
Manipulations Calculs numériques Casio de base Graph 25 et 25+
Calculs avec des puissances Utiliser la touche ^ Par exemple, pour le calcul de 24 2−4 (−2) 4 parenthèses indispensables, sinon on obtient −24 → Si le nombre ou l’exposant est négatif, utiliser la touche d’opposé (−−−−) et non pas la touche de soustraction −−−−
Comment écrire sous forme de puissance
Puis, on a défini les Méga, Giga, Téra octets pour se conformer au système de mesure international Les puissances de 10 sont la clef pour comprendre ces unités de mesures Une liste de préfixes Préfixe écriture en puissance écriture décimale yotta 10 24 1 000 000 000 000 000 000 000 000 zetta 10 21 1 000 000 000 000 000 000 000
N° d’ordre : Rév : 4 BILAN de PUISSANCE Classement : Forum
Dimensionner la ou les sources d’énergie (Transformateurs, Groupes électrogène, Onduleurs ) Calculer le courant d’emploi circulant dans les circuits terminaux et de distribution Dimensionner la capacité des batteries de condensateurs Opter pour une puissance souscrite vis à vis du fournisseur d’énergie électrique
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CHAPITRE 2
Les puissances à exposants négatifs
1. Introduction : les puissances de 2
Nous connaissons bien la notation
2n où n est un entier positif :
0 2 1= 1 2 2= 22 2 2 4= × =
32 2 2 2 8= × × =
42 2 2 2 2 16= × × × =
En général :
facteurs2 2 2 ... 2Nn
nn" Î = × × ×????? Remarquons qu"il y a une relation évidente entre deux puissances successives de 2. Par exemple :4 32 2 2= × ou encore :
4 3222=5 42 2 2= × ou encore :
3 2222=6 52 2 2= × ou encore :
6 5222=etc.
En général :
()* 12 2 2Nn nn-" Î = ×Ou encore : 1222
n n-=Nous allons essayer de donner un sens à
32- : c"est une puissance avec l"exposant négatif -3. Pour
cela, nous faisons l"hypothèse que la formule (4.3) reste valable pour tout entier relatif n. Nous
obtenons de cette façon le tableau suivant : n -3 -2 -1 0 1 2 3 2n 1 8 1 4 12 1 2 4 8
:2 :2 :2 :2 :2 :2Il est donc naturel de poser :
331 128 2
En d"autres termes :
32- est l"inverse de 32.
2Et en général :
( )122Nnnn-" Î = est l"inverse de 2n2. Définition et exemples
Définition. Soit
*RaÎ et NnÎ. na- est l"inverse de na. Donc : 1n naa Remarque. Dans la définition on doit choisir 0a¹ puisqu"en général 1 10 0n= n"existe pas !
Corollaire de la définition. Comme
na- est l"inverse de na, on peut dire également que na est l"inverse de na-. En d"autres termes : 1n naa-=Démonstration. 1 11n n n n
nna a a aa aExemples.
▪ Puissances de 3 111 133 3
221 133 9
331 133 27
▪ Puissances de -3 111 1 133 33-- = = = ---
221 1393
331 13273-- = = --
Remarquons que les puissances paires de -3 sont positives tandis que les puissances impaires de -3 sont négatives. Ceci est général :Signe d"une puissance. Soit
*RaÎ et ZnÎ. a) Si 0a> alors 0na>. b) (i) Si 0a< et n est pair alors 0na>. (ii) Si 0a< et n est impair alors 0na<. n -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 3n 1 81 127 1
9 1
3 1 3 9 27 81
n -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ( )3 n- 1 81 127- 1
9 1
3- 1 -3 9 -27 81
33. Propriétés Pour commencer, rappelons les propriétés des puissances à exposants positifs:
()()*, ,R Na b n m" Î " ÎPuissance d"un produit : ( )
nn nab a b=Puissance d"un quotient :
nn na a b b Produit de puissances de même base : n m n ma a a+=Quotient de puissances de même base :
si1 si n m
n m m na n ma a n ma-Puissance d"une puissance : ()
mn nma a= Nous allons prouver que ces formules restent valables pour des exposants négatifs.· Puissance d"un produit
()( ) ( )*,R Z nn na b n ab a b" Î " Î =Démonstration. La formule est déja valable si NnÎ (voir cours de 6e). Il reste donc à démontrer la
formule si Zn-Î, c.-à-d. si n m= - avec NmÎ. Dans ce cas :1 par définition
1 formule pour exposants positifs 1 1 produit de deux fractions (voir cha p. 3) par définitionn m m m m m m m m n nab ab ab a b a b a b a b-Exemple.
33 3 312 2
8a a a
· Puissance d"un quotient
( )( )*,R Zn n na aa b nb bDémonstration. La formule est déja valable siNnÎ. Il reste donc à démontrer la formule siZn-Î,
c.-à-d. si n m= - avec NmÎ. Dans ce cas : 4 ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 n m m m n m m m m m m n m a a b a aaab b a b b ba b b- avec : ()par définition* = ()** =formule pour exposants positifs ()*** = formule sur les fractionsExemple.
33 33 3 33 27
3 3x xx x
L"exemple suggère d"introduire une autre formule intéressante : ( )( )*,R Z n na ba b nb aDémonstration.
1 1 1 nnn n n n n n n na a b bbb b a b a a aExemple.
4 43 3xx· Produit de puissances de même base
()()*,R Zn m n ma n m a a a+" Î " Î =Démonstration. La formule est déja valable si NnÎ et NmÎ. Il reste donc à démontrer la formule
si Zn-Î ou si Zm-Î. Nous allons nous restreindre au cas ou NnÎ et Zm-Î, c.-à-d. "m m= - avec "NmÎ. Alors : ""d"après (4.11) " si "1 si "
n m n m n n m n m m m nn m n m m na a n maa a a aa a a a n ma- +Exemple.
( )5 85 8 331 12 2 2 22 8
· Quotient de puissances de même base
( )( )*,R Znn m maa n m aaDémonstration. ( )
par définition d"après (4.16)1 nn n m n m n m m maa a a a aa aExemple.
44 54 5
522 2 22
5· Puissance d"une puissance
*,R Z mn nma n m a a" Î " Î =Démonstration. La formule est déja valable si NnÎ et NmÎ. Il reste donc à démontrer la formule
si Zn-Î ou si Zm-Î. Nous allons nous restreindre au cas ou NnÎ et Zm-Î, c.-à-d. "m m= - avec "NmÎ. Alors : "1 1 m mn nnm nm mnmna a a aaa- Le lecteur est invité à démontrer la formule dans les autres cas.Exemple.
32 661 12 22 64
4. Notation scientifique
Dans les sciences, on rencontre souvent de très grands nombres ou encore des nombres très
proches de 0. Par exemple, la masse d"un électron est à peu près égale à m 0,000000000000000 000000000000000911 kge¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢=Quel travail que d"écrire ce nombre ! De plus, son développement décimal n"est pas très lisible : il
est en effet difficile de compter le nombre de zéros avant de rencontrer le premier chiffre significatif
c.-à-d. 9. Afin de bien comprendre la notation scientifique de ce nombre, nous allons d"abord étudier
les puissances de 10. n 0 1 2 3 4 5 610n 1 10 100 1000 10´000 100´000 1´000´000
On remarque que si
0n³, alors le développement décimal du nombre 10n est égal à 1 suivi de n
zéros. n -1 -2 -3 -4 -5 -610n 0,1 0,01 0,001 0,000´1 0,000´01 0,000´001
On remarque que si
0n<, alors le développement décimal du nombre 10n est égal à 0 suivi de la
virgule, puis de1n- zéros en enfin du 1. Retenons donc qu"il y a au total n zéros dans le
développement décimal de 10n. Après avoir compté 31 zéros dans le développement décimal de la masse me, on comprend aisément que : 31m 9,11 10 kge-= ×
C"est la notation scientifique de ce nombre. L"avantage de cette écriture est double : d"une part elle
est très condensée et d"autre part elle permet au lecteur de comparer très rapidement l"ordre de
grandeur de plusieurs nombres écrits en notation scientifique. Par exemple la masse du proton est 27m =1,672596 10 kgp-× La notation scientifique des deux nombres rend clair que m mp e> et même que m 1000 mp e> ×.
Exposants
positifsExposants
négatifs6Définition. Tout nombre réel non nul x peut s"écrire sous la forme
10nx a= ± × tel que :
et 1 10R Z a a n+ Cette écriture est appelée notation scientifique de x.Le fait important dans cette définition est que 1 10a£ <, c.-à-d. dans le développement décimal de
a, il y a exactement un chiffre devant la virgule.Autres exemples.
▪ La vitesse de la lumière dans le vide est à peu près égale à 8300000 km/s
300000000 m/s
3 10 m/s
c¢=300´000 km/s
▪ Le nombre d"atomes contenues dans une mole d"un élément est égal à 221 mole 6,022045 10 particules= × (nombre d"Avogadro)
▪ La constante de gravitation universelle1 vaut environ ()11 3 26,67 10 m / kg sg-= × ×Nous allons finalement nous intéresser au problème de la transformation d"un nombre en notation
scientifique.