Fonctions trigonométriques
2 Dresser un tableau de valeurs pour la fonction f sur l’intervalle [0;2Π] 3 Tracer la courbe représentative de f sur [0;2Π] 4 En utilisant les résultats de la question 1, tracer la courbe représentative de la fonction f sur [−6Π;6Π] Exercice 2 : On considère un point A, au dessus de l’axe des abscisses, appartenant au
TRIGONOMÉTRIE MATHÉMATIQUES
1- À l’aide de la table des rapports trigonométriques du tableau (annexe I) déterminer, au degré près, la mesure de l’angle dont le rapport trigonométrique est donné a) sin B = 8 = , 13 m B = b) tan B = 4 = , 11 m B =
Trigonométrie
B Valeurs particulières Fondamental : Valeurs remarquables de sin et cos à connaître en degrés 0° 30° 45° 60° 90° en radians 0 1 0 0 1 De ce tableau, et à l'aide du cercle trigonométrique ci-dessus, on déduit aisément les valeurs remarquables de sinus et cosinus pour les angles entre 0 et ou entre et Définition - dérivabilité 10
I) Résoudre algébriquement des équations, des inéquations
2) Valeurs particulières à connaître : Compléter le tableau suivant x 0 6 π 4 π 3 π π tan x 3) Propriétés a) Montrer que, pour tout réel x différent de π π − + k 2, avec k entier, tan( x +π) = tan x La fonction tangente est donc périodique de période π b) Montrer que, pour tout réel x différent de π π − + k 2
1 S Lignes trigonométriques d’un nombre réel Le x
III Valeurs remarquables 1°) Angle de 3 et valeurs associées O A' A B B' H K H' K' Angle de 3 HM 1 est une hauteur du triangle équilatéral OAM 1 Donc H est le milieu de [OA] OA 1 OH 2 2 [OK] est une hauteur du triangle équilatéral OM M 1 2 3 OK 2 M 1 3 M 4 3 3 2 M 3
AlterMundus - caligaridartmouthedu
espcl 2 cm espacement entre deux valeurs lgt 2 cm largeur de la première colonne deltacl 0 5 cm marge avant le premier et le dernier antécédent lw 0 4 pt épaisseur des lignes du tableau nocadre false par défaut, on encadre le tableau color false booléen autorise la couleur5 colorC white couleur de la première colonne
Chapitre 7 : Les fonctions trigonométriques
Spécialité 1 ère – Chapitre 7 Page 1 Chapitre 7 : Les fonctions trigonométriques I- Le cercle trigonométrique 1) Définition Définition 1 : Dans un repère orthonormé (O;I,J), le cercle de centre O et de rayon 1 parcouru de I vers J
Trigonométrie dans le cercle
1 ANGLES DANS UN CERCLE b O b 0 b π 6 b π 4 b π 3 b π 2 2π 3 b 3π 4 5π b 6 b π b-π 6 b-π 4 b-πb 3-π2 b-2π3 b-3π4-5π b6 Propriété 1 : Un même angle α peut avoir plusieurs mesures Si un angle α, repéré par le point M sur le cercle trigonométrique, a comme me-
À remettre maintenant: Questions 1 à 10
au tableau de valeurs Exemples : a) sin 42° = 0, 6691 b) cos 36 ° = 0, 8090 c) tg 19 ° = 0, 3443 Exercices : Trouve la valeur de chaque rapport trigonométrique à la calculatrice Ensuite, vérifie ta réponse au tableau de valeurs trigonométriques 1) sin 67° 4) sin 13°
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Terminale STrigonométrie
OLIVIER LÉCLUSE
CREATIVE COMMON BY-NC-SA
Octobre 20131.0
Table des
matièresObjectifs5
Introduction7
I - Définition - dérivabilité9 A. Construction Sinus et Cosinus.........................................................................9
B. Valeurs particulières....................................................................................10
C. Propriétés fondamentales.............................................................................11
D. Étude sur [0 ;π]..........................................................................................11
E. Exercice.....................................................................................................13
II - Parité - Périodicité15 A. Fonction périodique.....................................................................................15
B. Etude de périodicité.....................................................................................16
C. Fonctions paires..........................................................................................16
D. Fonctions impaires......................................................................................16
E. Parité des fonctions Sinus et Cosinus.............................................................17
F. Exemple de parité........................................................................................17
III - Test final sur la trigonométrie19
Solution des exercices21
Contenus annexes25
3Objectifs
Dans ce chapitre nous étudierons les fonctions Sinus et Cosinus ainsi que leurs dérivées. Nous verrons les notions de périodicité et de parité et la représentation graphique des fonctions trigonométriques. 5Introduction
Les fonctions Sinus et Cosinus permettent de décrire les sons produits par les instruments de musique et les voix. Plus généralement, elles servent pour décrire la propagation de toutes sortes d'ondes. C'est pourquoi leur étude est fondamentale pour comprendre le monde qui nous entoure.L'image ci-contre montre l'oscillogramme d'un
son de flûte. On y remarque des propriétés très particulières, caractéristiques des fonctions sinus et cosinus comme la périodicité (la manière dont la courbe se répète à intervalles réguliers) ? 7I - Définition -
dérivabilitéIConstruction Sinus et Cosinus9
Valeurs particulières10
Propriétés fondamentales11
Étude sur [0 ;π]11
Exercice13
A. Construction Sinus et Cosinus
Simulateur
Observer sur l'animation ci-dessous la construction des courbes représentatives de Sinus et Cosinus à partir de leur définition sur le cercle trigonométrique. La courbe Cosinus est obtenue à partir du lieu du point C1 dont l'abscisse est l'angle a en Radians et l'ordonnée, l'abscisse du point M sur le cercle. La courbe Sinus est obtenue à partir du lieu du point S1 dont l'abscisse est l'angle a en Radians et l'ordonnée, l'ordonnée du point M sur le cercle. Les points M et S1 ont donc même ordonnée. 9B. Valeurs particulières
Fondamental:Valeurs remarquables de sin et cos à connaître en degrés0°30°45°60°90° en radians0 10 01 De ce tableau, et à l'aide du cercle trigonométrique ci-dessus, on déduit aisément les valeurs remarquables de sinus et cosinus pour les angles entre 0 et ou entre etDéfinition - dérivabilité
10Remarque:Démonstration
Les valeurs du tableau se démontrent facilement par de la géométrie de collège. Nous avons vu précédemment la démonstration de . Le théorème de Pythagore et les symétries permettent de montrer les autres valeurs de cosinus et sinus pour les angles de 30° et 60° Pour l'angle de 45°, il suffit de savoir que la longueur de la diagonale d'un carré de coté 1 est Dès lors, par simple proportionnalité, la longueur d'un carré dont la diagonale est 1 est coté1? ? diagonale1C. Propriétés fondamentales
Fondamental:Dérivées des fonctions sin et cos (admise) Les fonctions Sinus et Cosinus sont dérivables sur et pour toutComplément
Étant dérivables, elles sont aussi continues surExemple
Soit D'après la formule sur la dérivée d'une fonction composée - p.27.D. Étude sur [0 ;π]
Définition - dérivabilité
11Fondamental:Fonction Cosinus
Variations de la fonction Cosinus sur [0 ;π]
Représentation de la fonction Cosinus sur [0 ;π]Fondamental:Fonction Sinus
Variations de la fonction Sinus sur [0 ;π]
Représentation de la fonction Sinus sur [0 ;π]Définition - dérivabilité
12E. Exercice
Soit f la fonction définie sur par
Q ue stio n 1
[Solution n°1 p 23] Justifier que f est dérivable sur et calculer f'Q ue stio n 2
[Solution n°2 p 23] En étudiant les positions relatives de Cosinus et Sinus, préciser le signe de f' sur I puis dresser le tableau de variations de la fonction f sir I Définition - dérivabilité 13II - Parité -
PériodicitéII
Fonction périodique15
Etude de périodicité16
Fonctions paires16
Fonctions impaires16
Parité des fonctions Sinus et Cosinus17
Exemple de parité17
Objectifs
Découvrir les concepts de parité et de périodicité au travers de l'exemple des fonctions Sinus et CosinusA. Fonction périodique
Définition
Une fonction f est périodique de période T sur si et seulement si par définition pour toutExemple:Sinus et Cosinus
On a vu lors de l'enroulement de la droite sur le cercle trigonométrique - p.27 qu'ajouter à x revenait à faire un tour complet du cercle trigonométrique. Ainsi les nombres et ont même image sur le cercle trigonométrique.On en déduit ainsi que pour tout , et
En d'autre termes, les fonctions Sinus et Cosinus sont périodiques de périodeComplément
, , etc... sont aussi des périodes pour Sinus et Cosinus. Généralement, on considère plutôt la plus petite période positive. Il est très fréquent de trouver des fonctions périodiques dès lors que l'on travaille avec les fonctions Sinus et Cosinus. Néanmoins la période peut varier en fonction de ce que l'on trouvera à l'intérieur des foncions Sinus et Cosinus. 15Remarque:Interprétation graphique
Les fonctions Sinus et Cosinus sont
invariantes par translation de vecteurB. Etude de périodicité
Q ue stio n
[Solution n°3 p 25] Montrer que la fonction est périodique de périodeC. Fonctions paires
Définition
Une fonction est paire si et seulement si pour toutComplément:Interprétation géométrique
La courbe représentative d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnéesExemple:La fonction carré
La fonction est une fonction paire.
En effet, pour tout
La parabole représentant la fonction
carré admet l'axe des ordonnées pour axe de symétrie.D. Fonctions impaires
Définition
Une fonction est impaire si et seulement si pour toutParité - Périodicité
16Complément:Interprétation géométrique
La courbe représentative d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'origine du repère.Parité - Périodicité
17Exemple:La fonction inverse
La fonction est une fonction paire.
En effet, pour tout
Les deux branches d'hyperbole
représentant la fonction inverse sont symétriques par rapport à l'origine du repère.E. Parité des fonctions Sinus et Cosinus
Fondamental
La fonction est une fonction impaire
La fonction est une fonction paire
Complément:Démonstration
Il suffit de se rappeler les propriétés fondamentales - p.28 de Sinus et Cosinus : etF. Exemple de parité
On considère
Q ue stio n 1
[Solution n°4 p 26]Déterminer la parité de f
Indices :
Il s'agit de savoir si la fonction f est paire, impaire ou rien du tout.Dans ce cas, on pourra calculer
Q ue stio n 2
[Solution n°5 p 26]Interpréter ce résultat graphiquement
Q ue stio n 3
[Solution n°6 p 26] Étudier la dérivabilité de f et la parité deCe résultat en réalité peut se généraliser à n'importe quelle fonction paire dérivable.Parité - Périodicité
18