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Aleatoire { MAP 361 Ecole Polytechnique Salle PC 41
Lundi 20 mai 2019 Sebastien Gadat
PC 5 { Calcul de lois & Vecteurs gaussiens
Exercice 1.SoientXetYdeux variables aleatoires independantes gaussiennes centrees reduites. 1.
D eterminerla loi de X+Yp2
;XYp2 2.
D eterminerla loi de X=Y.
Solution.CommeXetYsont independantes, la loi de (X;Y) a une densite12ex2+y22 surR2. Soitg:R2!Rune fonction continue bornee. On applique la methode de la fonction muette en calculantEh gX+Yp2 ;XYp2 i E gX+Yp2 ;XYp2 =12Z R
2gx+yp2
;xyp2 e x2+y22 dxdy:
Or (x;y)2RR7!(x+yp2
;xyp2 )2RRest unC1-dieormorphisme de jacobien 1. Le changement de variableu=x+yp2 etv=xyp2 donnex=u+vp2 ety=uvp2 , de sorte que : E gX+Yp2 ;XYp2 =12Z R
2g(u;v)e(u+v)2+(uv)24
dudv 12Z R
2g(u;v)eu2+v22
dudv:
On en deduit que (
X+Yp2 ;XYp2 ) est a densite, de densite donnee par (u;v)7!12eu2+v22 . Ainsi, X+Yp2 ;XYp2 ) a la m^eme loi qu'un couple de deux variables aleatoires gaussiennes centrees reduites independantes. CommeXetYsont independantes, la loi de (X;Y) a une densite12ex2+y22 surR2. Soit g:R!Rune fonction continue bornee. On applique la methode de la fonction muette en calculantE[g(X=Y)] : E gXY =12Z R 2gxy e x2+y22 dxdy: Or (x;y)2RR7!(x=y;y)2RRest unC1-dieormorphisme de jacobieny1. En faisant le changement de variableu=x=yetv=y, de sorte quex=uvety=v, on a Z R 2gxy e x2+y22 dxdy=Z R 2gxy jyjey22 (x2y
2+1)jyj1dxdy
Z R
2g(u)jvjev22
(u2+1)dudv Z R g(u) Z R jvjev22 (u2+1)dv du = 2 Z R g(u)1u
2+ 1du:
1 Donc E gXY =1 Z R g(u)1u
2+ 1du;
ce qui signie que la loi deX=Yest la loi de Cauchy, c'est-a-dire la loi de densite ((1+x2))1 par rapport a la mesure de Lebesgue. Exercice 2.(Pale 2013) SoientXetYdeux variables aleatoires independantes de lois respec- tives (;) et (+ 1=2;), avec >0 et >0. On pose (V;W) = (pXY ; pY). Determiner la loi de (V;W).
On rappelle que la densite de la loi (a;) est
1(a)axa1ex1x>0;avec (a) =Z
1 0 za1ezdz: Solution.CommeXetYsont independantes, la loi de (X;Y) a pour densite (x;y)7! f X(x)fY(y), oufXetfYdesignent les densites deXetY. On utilise alors la methode de la fonction muette :
E[h(V;W)] =Eh
h(pXY ; pY)i Z R
2h(pxy;
py)f(X;Y)(x;y)dxdy Z R
2h(pxy;
py)fX(x)fY(y)dxdy
2+1=2()(+ 1=2)Z
]0;1[2h(pxy; py)(xy)1=2e(x+y)dxdypx On considere le changement de variablev=pxy;w=pyqui est unC1dieomorphisme de ]0;1[2dans lui-m^eme. Le calcul du determinant de la matrice jacobienne donne dvdw=dxdy4 px
Ainsi, avecy=w2etx=v2=w2,
E[h(V;W)] =42+1=2()(+ 1=2)Z
]0;1[2h(v;w)v21e(w2+v2w
2)dvdw:
Ainsi, (V;W) est a densite et sa densite est donnee par f (V;W)(v;w) =42+1=2()(+ 1=2)v21e(w2+v2w
2)1v>0;w>0:
Exercice 3.1.Soit ( X;Y) un couple de variables independantes de lois respectives (a;) et (b;). Determiner la loi jointe du vecteur aleatoire (U;V) ouU=X=YetV=X+Y. 2. Soien tZetSdes variables independantes de lois respectivesN(0;1) et2n. On appelle loi de Studentandegres de liberte la loi de la variableT=ZpS=n . Montrer que la densite deTest donnee surRpar t7!n+12 pnn2
1 +t2n
n+12 2 Solution.1.D'apr esle cours, Vsuit la loi Gamma (a+b;). En revanche, pour determiner la densite jointe de (U;V) on utilisera la methode de la fonction muette. Soith:R2!R2 une fonction continue, bornee. Notons que par independancef(X;Y)=fXfY. On a
E[h(U;V)] =Z
R 2hxy ;x+y f (X;Y)(x;y)d(x;y) a+b(a)(b)Z R 2+hxy ;x+y x a1yb1e(x+y)d(x;y): Faisons le changement de variables (u;v) =(x;y) := (x=y;x+y). La reciproque est
1(u;v) =uv1+u;v1+u
. Le JacobienJde1(u;v) vaut
J= det
v(1+u)2u1+u v(1+u)211+u! v(1 +u)3+uv(1 +u)3=v(1 +u)2:
On en deduit que
E[h(U;V)] =a+b(a)(b)Z
R
2h(u;v)uv1 +u
a1v1 +u b1 e vjvj(1 +u)21fuv1+u>0;v1+u>0gd(u;v) Z R
2h(u;v)a+b(a+b)va+b1ev1v>0
|{z} =fV(v)(a+b)(a)(b)u a1(1 +u)a+b1u>0 |{z} =fU(u)d(u;v): On observe queVsuit bien la loi Gamma (a+b;). La loi deUest dite loi beta prime de parametresaetb. En plus,UetVsont independantes, car la densite jointe se factorise. 2.
Soit h:R!Rune fonction continue, bornee. On a
E[h(T)] =Z
R 2h rn s z f
Z(z)fS(s)d(z;s)
Z R +Z R h rn s z1p2ez22 12 n2 n2 sn2 1es2 dzds:
Par le changement de variablet=pn
s zavecdz=ps n dt, on obtient
E[h(T)] =12
n+12 n2 p Z R +Z R h(t)est22nsn2 1es2 rs n dtds 12 n+12 n2 pn Z R h(t)Z R +sn+12 1exp s2 t2n + 1 |{z} = densite de la loi n+12 ;12 t2n + 1 a une constante presdsdt n+12 n2 pn Z R h(t)t2n + 1 n+12 dt:
On trouve bien queTa la densite(n+12
)pn(n2
1 +t2n
n+12 Exercice 4.SoitX= (X1;X2;X3) un vecteur gaussien centre de matrice de covariance 0 @3 1 0 1 2 0
0 0 11
A 3
1.Que p eut-ondire de X3et de (X1;X2)?
2.
Quelle est la loi de ( X1;X2)?
3. Mon trerque p ourtout a2Rle vecteur (X2;X2+aX1) est un vecteur gaussien. 4. En c hoisissantade sorte queX2etX2+aX1soient independants, calculerE[X1jX2]. Solution.1.On v oitque p ouri= 1 eti= 2 on a Cov(X3Xi) = 0. DoncX3est independant du vecteur gaussien (X1;X2). 2. On v amon trerque ( X1;X2) est un vecteur gaussien centre, de matrice de covariance
12=3 1
1 2 . On calcul la densite de (X1;X2) par la formule f (X1;X2)(x1;x2) =Z
R1(2)3=2pj12je12
(x1x)dx3
12pj12jZ
R1p2e12
(x1x)dx3; puisquejj=j12j. On a de plus 1=1120 0 1 donc f (X1;X2)(x1;x2) =12pj12je12 ((x1;x2)1
12(x1;x2)t)Z
R1p2e12
jx3j2dx3
12pj12je12
((x1;x2)1
12(x1;x2)t):
3.
On a ( X2;X2+aX1)t=A(X1;X2)tavecA=0 1
a1 . Donc (X2;X2+aX1) est un vecteur gaussien centre de matriceA12At. 4. Comme le v ecteur( X2;X2+aX1) est gaussien (centre),X2etX2+aX1sont independants si et seulement si Cov(X2;X2+aX1) = 0. Or
Cov(X2;X2+aX1) = Var(X2) +aCov(X2;X1) = 2 +a:
En prenanta=2, on en deduit queX22X1etX2sont independants. Pour calculerE[X1jX2], l'idee est de choisir;pour avoirX1=(X22X1)+X2: en ecrivantX1=12 (X22X1) +12
X2, on obtient donc :
E[X1jX2] =12
E[X22X1jX2] +E12
X2jX2 =12
E[X22X1] +12
X2=12 X2: Exercice 5.SoientX;Y;Ztrois variables aleatoires independantes, de m^eme loiN(0;1). Mon- trer que la variable aleatoire (XY)2+ (XZ)2+ (YZ)2est independante de la variable aleatoireX+Y+Z. Solution.CommeX;Y;Zsont i.i.d. de loi normale standard, le vecteur (X;Y;Z) est gaussien centree de matrice de variance l'identite (produit des densites). On a (X;Y;Z) N3(0;I3).
Considerons le vecteur
V:=0 B B@XY XZ YZ
X+Y+Z1
C CA=A0 @X Y Z1 A ;avecA=0 B
B@11 0
1 01 0 11
1 2 31
C CA: 4 Donc,Vest vecteur gaussien en tant que transformation lineaire d'un vecteur gaussien. Sa matrice de variance-covariance est donnee par
Var(U) = Var0
A0 @X Y Z1 A1 A =AVar0 @0 @X Y Z1 A1 A
AT=AAT=0
B
B@2 11 0
1 2 1 0
1 1 2 0
0 0 0 31
C CA: Les covariances nulles implique l'independance du sous-vecteurW:=0 @XY XZ YZ1 A de la variable X+Y+Z. Or, (XY)2+ (XZ)2+ (YZ)2=kWk2est fonction mesurable deW, donc l'independance deX+Y+Zest preservee. Exercice 6(Theoreme de Cochran).SoitZun vecteur gaussien deRnd'esperance nulle et de matrice de covarianceInouInest la matrice identite de dimensionn. Supposons queRns'ecrit comme la somme directe deJsous-espaces vectoriels orthogonauxV1;;VJde dimensions respectivesp1;;pJ. On designe par Vjla matrice de projection orthogonale surVj. 1.
Mon trerque
V1Z;;VkZsont des vecteurs aleatoires independants. Determiner leurs lois. 2.
Mon trerque kVjZk2suit la loi2(pj) pour tout 1jJ.
3. Application. Soien tXi;i= 1;:::;ndes variables aleatoires independantes de loi normale
N(;) avec2Ret >0. On poseX=1n
P n i=1XietS2n=1n P n i=1(XiXn)2. Determiner la loi jointe du vecteur aleatoire (Xn;S2n). Solution.1.F ormonsd'ab ordune grande matrice Aavec toutes les matrices de projec- tions : A=0 B BB@ V1 V2... V11 C CCA:
PuisqueZest un vecteur gaussien,0
V1Z VJZ1 A =AZl'est aussi comme transformation ane d'un vecteur gaussien. Sa moyenne estE[AZ] =AE[Z] = 0 et sa matrice de variance-covariance est Var(AZ) =AVar(Z)AT=AAT. Rappel sur les projecteurs orthogonaux : on a pour toutj, Vj= TVj(symetrie) et
2Vj= Vj, et par orthogonalite des sous-espaces vectorielsVjon a VjVl= 0 pour tout
j6=l. Donc, la matrice de variance-covariance deAZest diagonale par block :
Var(AZ) =0
B BBB@ V100 0
V2......
0 Vk1 C CCCA: La structure de la matrice Var(AZ) implique que les sous-vecteurs VjZsont des vecteurs gaussiens independants. Et VjZest de moyenne nulle et Var(VjZ) = Vjpour toutj.
Donc,
VjZ Npj(0;Vj).
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Planche d’exercices PC4 : Densité et masse volumique Exercice