Équations de droites dans le plan, de droites et de plans
Équations de droites dans le plan, de droites et de plans dans l’espace Produit vectoriel dans l’espace Distance d’un point à une droite, à un
Chapitre 13 Droites, plans et vecteurs de l’espace
en particulier est parallèle à P et si la droite D et le plan P ont au moins deux points distincts en commun, alors la droite D est entièrement contenue dans P et en particulier est parallèle à P Il ne reste donc qu’une seule situation à examiner Quand la droite D et la plan P ont exactement un point en commun, la droite D et la plan
Chapitre 3 Espaces affines euclidiens
Exercice 3 10 Distance d’un point à une droite, à un plan Soit, dans l’espace affine euclidien E de dimension 3, D une droite définie par un point A et un vecteur directeur ~u (resp P un plan défini par un point A et deux vecteurs directeurs ~u et ~v) Déterminer la distance d’un point M de E à D (resp P) en fonction des vecteurs
DROITES ET PLANS DE LESPACE
1) Parallélisme d'une droite avec un plan Propriété : Une droite d est parallèle à un plan P s'il existe une droite d' de P parallèle à d 2) Parallélisme de deux plans Propriété : Si un plan P contient deux droites sécantes d et d' parallèles à un plan P' alors les plans P et P' sont parallèles 2) Parallélisme de deux droites
Chapitre 6 terminale spé math Orthogonalité et distance dans
b) Vecteur normal à un plan : Un vecteur normal à un plan p est un vecteur non nuln dont la droite direction est orthogonale au plan p Doncn est orthogonal à tous les vecteurs du plan p On écritn p Remarque : Un vecteur normal à un plan existe toujours et d’ailleurs, il y en a une infinité (Ils sont tous colinéaires entre eux)
Distance d’un point à une droite
La distance du point A à la droite D est la plus courte distance du point A à un point de D 2°) Démonstration Nous allons démontrer que pour tout point M de D la distance AM est supérieure ou égale à AH A H D M 1er cas : A D 1er sous-cas : M H Dans ce cas, le triangle AMH existe bien et il est rectangle en H
Seconde - Droites dans le plan - ChingAtome
appartenant à la droite (d) ayant pour abscisse 2 3 Déterminer les coordonnées du point E appartenant à la droite (d) ayant pour ordonnée − 3 6 Utilisation d’une équation cartésienne : (+2 exercices pour les enseignants) Seconde - Droites dans le plan - https://chingatome sacados/4596 sacados/5315 sacados/5318 sacados/7507
Orthogonalité et distances dans l’espace – Fiche de cours
b Distance d’un point à une droite La distance entre un point A et une droite (d) est définie par la distance entre le point A et son projeté orthogonal H sur la droite (d) c Distance d’un point à un plan Soit A(xA;yA;zA) ; si l’équation cartésienne du plan de l’espace est (P):ax+by+cz+d=0 d(A,P)= axA+byA+czA+d √a2+b2+c2 3/3
Orthogonalité de lespace
On dit que le plan p1 est perpendiculaire au plan p2 si et seulement si p2 contient une droite perpendiculaire à p1 3 2 Proposition Si p1 est perpendiculaire à p2 alors p2 est perpendiculaire à p1 c'est à dire p1 contient une droite perpendiculaire à p2 Démonstration :
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Orthogonalité de l'espace.
1. Droites orthogonales de l'espace......................p23. Plans perpendiculaires.....................................p6
2. Droites orthogonales à un plan.........................p3
Orthogonalité de l'espace.
1. Droites orthogonales de l'espace
1.1. Droites perpendiculaires
Si deux droites sont perpendiculaires dans un plan de l'espace, on dit qu'elles sont perpendiculaires dans
l'espace.1.2. Droites orthogonales
On dit que deux droites de l'espace sont orthogonales si leurs parallèles issues d'un point quelconque de
l'espace sont perpendiculaires. Si les droitesD1etD2sont orthogonales, on note D1^D2.1.3. Exemples
ABCDA'B'C'D' est un cube.
ABCD est un carré donc (AB) et (AD) sont perpendiculaires. (A'D') est parallèle à (AD) donc (AB) et (A'D') sont orthogonales.Orthogonalité de l'espace.
(A'D) et (AD') sont perpendiculaires. (AD') et (BC') sont parallèles, donc (A'D) et (BC') sont orthogonales.1.4. Remarque
Si deux droites D1et D2sont orthogonales à une même troisième droite alors D1et D2ne sont pas
nécessairement parallèles.Exemple :
(AB) est orthogonale à (AA'). (B'C') est orthogonale à (AA') Et les droites (AB) et (B'C') ne sont pas coplanaires. (elles ne sont pas coplanaires).2. Droites orthogonales à un plan
On dit que la droite
Dest perpendiculaire (ou orthogonale) au plan p lorsque Dest sécante à p en K et D est perpendiculaire à toute droite contenue dans p passant par K.On note
D^ p.Orthogonalité de l'espace.
2.1. Proposition
Proposition :
Si Dest perpendiculaire au plan p alors Dest orthogonale à toute droite contenue dans le plan p.Démonstration
SoitΔune droite contenue dans p.
On considère la droiteΔ'parallèle à
Δpassant par K.
Cette droite est contenue dans p et cette droite est perpendiculaire à D.Par conséquence,Dest orthogonale àΔ'.
2.2. Théorème
Théorème:
La droite
Dest perpendiculaire au plan p si et seulement la droiteD est orthogonale à 2 droites sécantes contenues dans le plan p. On démontrera ce résultat ultérieurement.Attention :
La droite
Dpeut être orthogonale à deux droites parallèles contenues dans le plan p sans être perpendiculaire
au plan p.Orthogonalité de l'espace.
Exemple :
Dans le cube ABCDA'B'C'D', (BC') est perpendiculaire à (AB) et orthogonale à (A'B') mais n'est pas
perpendiculaire au plan (ABB').2.3. Propriétés
Théorème:
Deux droites perpendiculaires à un même plan sont parallèles.Théorème:
Deux plans perpendiculaires à un même droite sont parallèles.Orthogonalité de l'espace.
3. Plans perpendiculaires
3.1. Définition
On dit que le plan p1 est perpendiculaire au plan p2 si et seulement si p2 contient une droite perpendiculaire à
p1.3.2. Proposition
Si p1 est perpendiculaire à p2 alors p2 est perpendiculaire à p1 c'est à dire p1 contient une droite perpendiculaire à p2.Démonstration :
Si p1 est perpendiculaire à p2 alors p2 contient une droiteDqui est perpendiculaire à p1.Dest sécante à p1 en K.
p1¹p2 (p1 ne contient pas D) et p1 et p2 ont un point commun K donc p1 et p2 sont sécants.SoitΔla droite d'intersection de p1 et p2.
On considère la droite D'perpendiculaire à
Δ, contenue dans p1 passant par K.
Dest perpendiculaire à p1 doncDest perpendiculaire à toute droite contenue dans p1 passant par K donc