Chapitre 5 : Les annuités
Quelle est la valeur actuelle au taux d’actualisation de 6 d’une suite d’annuité constante de 1 500 dh versées à la fin de chaque année pendant 7 ans La valeur actuelle de cette suite d’annuité = B Les annuités constantes de début de période 1 La valeur acquise
LES ANNUITÉS Calculer la valeur acquise par des annuités
II Calculer la valeur actuelle d’annuités : • Exemple : On verse chaque mois en début de mois une somme de 1 000 pendant 24 mois (taux d’actualisation : 0,5 par mois) C alculer la valeur actualisée de cette suite de versements un mois avant le premier versement
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VALEUR ACQUISE D’UNE SUITE D’ANNUITÉ CERTAINE TEMPORAIRE 2 1 Méthodedecalcul Pendant n périodes, La valeur actuelle d’une suite d’annuités A0, A1,
Chapitre I : Annuité et Rente I Généralités
a Valeur acquise On appelle valeur acquise Vn d’une rente temporaire la somme des valeurs acquises par chaque terme à la date de versement du dernier terme Soit n versements La valeur acquise du terme de rang p est : a p(1 + i) n-p b Valeur actuelle On appelle valeur actuelle V o d’une suite d’annuité, la somme des valeurs
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(3) Valeur actuelle d’une annuité constante, c’est-à-dire une suite finie de cash flows constants : C1 = C2 = = Cn= C Facteur d'annuité r n-r C ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = × 1 1 1 1 VA La valeur actuelle theorie v1 4 de 7
Annuités - Académie de Poitiers
Calculez la valeur actuelle de ces 18 mensualités si le taux mensuel est de 0,975 2 – Pour rembourser une dette, on propose des remboursements mensuels de 1 315,95 F au TEG de 9,6 pendant 1 an Calculez le montant de la dette
Mathématique financière Sous le thème Les annuités variables
c Annuité en suite arithmétique d Annuité en suite géométrique e Rappel : formule II Valeur acquise par des annuités en suite géométrique a Cas : début de période b Cas : fin de période III Valeur actuelle par des annuités en suite géométrique a Cas : Début de période b Cas : fin de période IV Conclusion V
Petit manuel BA II plus - HEC Montréal
Calcul de la valeur actuelle d’une annuité De quel montant doit-on disposer, un mois avant le premier versement, pour recevoir mensuellement 1000$ durant un an, si le montant est placé dans un compte au taux nominal de 4 capitalisation semestrielle? Pour trouver le taux équivalent mensuel : J 2 = 4 ⇒ i sem = 2 ⇒ i men = (1+ i sem
MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I
Annuité décroissante: (suite) La valeur actuelle de cette annuité au début de la première période de paiement est notée par La valeur accumulée de cette annuité à la fin de la dernière période de paiement est notée par ACT2025 - Cours 15 Annuité décroissante: (suite) Nous obtenons en posant P = n et Q = -1 dans nos formules
Chapitre 13 Les mathématiques financières
1 calculer la valeur capitalisée ou future d’un montant fixe ou d’une série de versements en utilisant le multiplicateur d’une table conçue à cet effet ou une formule appropriée; 2 calculer la valeur actualisée ou présente d’un montant fixe ou d’une série de
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??PQAnnuitésAdministrationÉconomique etSociale Mathématiques
XA100M
??PQEn général, un prêt n"estpas remboursé en une seule fois. Les rembourse- ments sont étalés surplusieurs périodes. De même, un capital est rarement constitué en un seul versement, mais plus souvent en une succession de versements. Il faut alors savoir calculer les intérêts dans ces cas. ??PQDéfinition 1.On appellesuite d"annuitésune succession de versements, pour créer ou rembourser un capital.??PQ1.CARACTÉRISTIQUES D"UNE SUITE D"ANNUITÉSUne suite d"annuités est caractérisée par quatre élements :-Sapériodicité;-Lenombre de versements;-Lemontantde chaque versement;-Ladatede chaque versement.
??PQ1.1.Périodicité d"une suite d"annuités. sements consécutifs. La suite d"annuités estcertainesi la période est constante, c"est-à-dire si le temps qui sépare deux versements est toujours le même. Dans le cas contraire, la suite d"annuités estaléatoire. ??PQExemple1.Vous placez 20etous les mois sur un compte-épargne : la suited"annuités est certaine de période mensuelle.Exemple2.Vous faites un prêt sur un an, vous remboursez une partie après un
mois, une partie après trois mois et le reste après un an. La période est de un mois avant le premier versement, de deux mois entre le premier et le deuxième versement et de neuf mois entre le deuxième et le dernier versement. La suite d"annuités est aléatoire. ??PQ1.2.Nombre de versements d"une suite d"annuités.Le nombre de versements d"une suite d"annuités peut-être :-Fini à échéance connue d"avance : la suite d"annuités est alorstemporaire;-Fini à échéance non connue d"avance : la suite d"annuités est alorsviagière;-Infini : la suite d"annuités est alorsperpétuelle.
??PQ1.3.Montant des versements d"une suite d"annuités.Le montant de chaque versement s"appelle leterme.
tant, la suite d"annuités est diteconstante. Une suite d"annuités qui n"est pas constante est ditevariable. ??PQExemple3.Vous placez 20etous les mois sur un compte-épargne : la suited"annuités est constante de terme 20e.Exemple4.Vous placez 10ele 1erjanvier, 20ele 1erfévrier et 30ele 1ermars :
la suite d"annuités est variable. Le premier terme est 10e, le deuxième terme est 20eet le dernier terme est 30e. ??PQ1.4.Dates des versements d"une suite d"annuités. Si les versements débutent après la date d"origine, la suite d"annuités est dite différée. Si les versements débutent dès la première période, la suite d"annuités est dite non différée. ??PQExemple5.Vous empruntez 200ele 1erjanvier mais vous ne commencez lesremboursements qu"à partir du 31 mars : la suite d"annuités est différée.Exemple6.Vous empruntez 200ele 1erjanvier et commencez les rembourse-
ments le 31 janvier : la suite d"annuités est non différée. de début de périodeouà terme à échoir. Si les versements sont effectués enfinde période, la suite d"annuités est dite de fin de périodeouà terme échu. ??PQExemple7.Lorsque vous placez de l"argent à la banque, celle-ci ne vous verseles intérêts qu"à la fin de l"année : la suite d"annuités est donc de fin de période.
??PQ2.VALEUR ACQUISE D"UNE SUITE D"ANNUITÉ CERTAINE TEMPORAIRE2.1.Méthode de calcul. Pendantnpériodes, on place endébut de périodeau taux d"intérêtipar pé-riode les termes suivants-A0au début de la 1repériode;-A1au début de la 2epériode;-...-Anau début de lan+1epériode.0A0p ace1A1p ace2A2p ace3A3p acen-1An-1p acenAnp aceperi de1peri de2peri de3peri den
??PQ?La première somme placée,A0, produit des intérêts pendantnpériodes. Elle devient donc (1+i)nA0. ?La deuxième somme placée,A1, produit des intérêts pendantn-1 périodes.Elle devient donc (1+i)n-1A1.
?La troisième somme placée,A2, produit des intérêts pendantn-2 périodes.Elle devient donc (1+i)n-2A2.
?Lak-1esomme placée,Ak, produit des intérêts pendantn-kpériodes. Elle devient donc (1+i)n-kAk. ?L"avant dernière somme placée,An-1, produit des intérêts pendant 1 période.Elle devient donc (1+i)An-1.
?La dernière somme placée,An, ne produit pas d"intérêt et demeureAn. ??PQLa valeur acquise totale est la somme de toutes les valeurs acquises des place- mentsA0,A1,...,An.La valeur acquise totale est donc
VOn écrit
+Vn=n? k=0(1+i)n-kAk. Pour toutes les valeurs dekentre 0 etn, on calcule (1+i)n-kAkpuis on fait la somme de toutes les valeurs ainsi obtenues.??PQExemple8.Sur trois périodes, on place au taux d"intérêt 2% par période-15een début de 1repériode;-20een début de 2epériode;-25een début de 3epériode;-30een début de 4epériode.
On a alors
i=0,02,n=3 et A0=15,A1=20,A2=25,A3=30.
Le capital, en euros, dont on dispose en début de 4 epériode est alors 1,023×15+1,022×20+1,02×25+30
=15,91812+20,808+25,5+30 =92,23.L"intérêt total est2,23e.
??PQExemple9.Sur trois périodes, on place au taux d"intérêt 2% par période-30een début de 1repériode;-25een début de 2epériode;-20een début de 3epériode;-15een début de 4epériode.
On a alors
i=0,02,n=3 et A0=30,A1=25,A2=20,A3=15.
Le capital, en euros, dont on dispose en début de 4 epériode est alors 1,023×30+1,022×25+1,02×20+15
=31,83624+26,01+20,40+15 =93,25.L"intérêt total est3,25e.
??PQ+On considère une suite d"annuités temporairescertainesau tauxipar pé- riode pendantnpériodes. On placeA0en début de 1repériode,A1en début de 2 epériode, etc,Anen début den+1epériode.La valeur acquise est alors
V n=n? k=0(1+i)n-kAk.??PQ2.2.Cas particulier des suites d"annuités constantes.2.2.1.Annuités de début de période.
en début de période et on veut calculer la valeur acquise enfindenepériode. Le versement de début den+1epériode n"est donc pas pris en compte : A0=A1=···=An-1=aetAn=0.
??PQOn a alors V n=n-1? k=0(1+i)n-ka+0 =a(1+i)n+a(1+i)n-1+···+a(1+i). mier termea(1+i) et de raison 1+i. Ainsi V n=a(1+i)(1+i)n-1(1+i)-1. en début de période et on veut calculer la valeur acquise enfindenepériode : +Vn=a(1+i)(1+i)n-1i. ??PQ!Toujours se poser la question :" Cherche-t"on la valeur acquise avant ou après le dernier versement? »
??PQ2.2.2.Annuités de fin de période. Les annuités sont supposées constantes, de terme égal àa. Le versement se fait en fin de période et on veut calculer la valeur acquise endébutden+1e période. Il n"y a pas de versement au début de la première période doncA0=0.Tous les autres versements ont pour montanta.
A0=0 etA1=···=An=a.
??PQOn a alors V n=0+n? k=1(1+i)n-ka mier termeaet de raison 1+i. Ainsi V n=a(1+i)n-1(1+i)-1. ??PQLes annuités sont supposées constantes, de terme égal àa. Le versement se fait en fin de période et on veut calculer la valeur acquise endébutden+1e période : +Vn=a(1+i)n-1i.??PQ3.VALEUR ACTUELLE D"UNE SUITE D"ANNUITÉS CERTAINES TEMPORAIRES´On rappelle que la valeur actuelle d"une sommeAkest la somme placée
qui, après intérêt, produitAk. La valeur actuelle d"une suite d"annuitésA0,A1,...,Anest la sommeV0qu"on peut emprunter pour que la suite d"annuitésA0,A1,...,Anfinance l"emprunt, intérêt compris. La valeur actuelle d"une suite d"annuitésA0,A1,...,Anest la sommeV0répon- dant à la question : " Quelle sommeV0puis-je emprunter lors d"un emprunt que je rembourse en versantA0au début de la 1repériode,A1en début de 2epériode, etc,Anen début den+1epériode?» ??PQ3.1.Méthode de calcul. On emprunteV0et on rembourse immédiatementA0. Il reste donc à rembour- ser V 0-A0. Cette somme produit un intérêt : si on remboursait juste avant le versement de A1, il faudrait donc rembourser
(V0-A0)(1+i)=V0(1+i)-A0(1+i). Après le versement deA1, il reste donc à rembourser V0(1+i)-A0(1+i)-A1.
Cette somme produit un intérêt : si on remboursait juste avant le versement de A2, il faudrait donc rembourser
Après le versement deA2, il reste donc à rembourser V0(1+i)2-A0(1+i)2-A1(1+i)-A2.
??PQDe façon générale, après le versement deAk-1, il reste à rembourser V Cette somme produit un intérêt : si on remboursait juste avant le versement de A k, il faudrait donc rembourser V (1+i) Après le versement deAk, il reste donc à rembourser V En particulier, après le versement deAn, il reste à rembourser V ??PQPuisqueAnest le dernier versement, on veut que la somme qui reste à rem- bourser après ce versement soit nulle. On veut donc V c"est-à-dire V ou encore VOn écrit
+V0=n? k=0(1+i)-kAk. Pour toutes les valeurs dekentre 0 etn, on calcule (1+i)-kAkpuis on fait la somme de toutes les valeurs ainsi obtenues. ??PQExemple10.On souhaite emprunter au taux d"intérêt 2% par période. On peutrembourser sur trois périodes,-15een début de 1repériode;-20een début de 2epériode;-25een début de 3epériode;-30een début de 4epériode.