Chapitre 12 Loi de Bernouilli - Le Buisson des Mathématiques
Chap 12 - Loi de Bernouilli 1ère STMG Exemples (suite) xi 1 0 P(X ˘xi) 1 6 5 6 Définition Une loi de Bernoulli est une loi de probabilité qui suit le schéma suivant : † la probabilité d’obtenir 1 est égale à p, † la probabilité d’obtenir 0 est égale à 1 – p p est appelé le paramètre de la loi de Bernoulli
Loi de Bernoulli - univ-toulouse
Chapitre 9 Loi de Bernoulli Voici un nouveau chapitre de probabilité Dans celui-ci, no us allons étudier des expériences aléatoires relativement simples et verrons ce qui se produitlorsquenousrépétons,danslesmêmes conditions, ces expériences Voici le genre d’expériences aléatoires qui va être au coeur du chapitre 9 1 Epreuve de
1ère S Schéma de Bernoulli (1)
- simulation sur calculatrice ou sur ordinateur 5°) Loi du nombre de succès On note p la probabilité d’un succès pour l’épreuve de Bernoulli considérée et n le nombre de répétitions de l’épreuve de Bernoulli La variable aléatoire X suit une loi de probabilité X appelée loi binomiale de paramètres n et p
CHAPITRE 2 : Modèles de variables aléatoires Première Partie
Variable de Bernoulli On dé nit une variable aléatoire qui ne peut prendre que deux valeurs 0 et 1 comme variable de Bernoulli Sa loi de probabilité est très simple pour laquelle p représente la probabilité de l'issue qu'on veut mettre en évidence (succés) et q = 1 p la probabilité de l'autre terme (échec) X = ˆ 1 avec une
Chapitre 9 : Loi binomiale
variable aléatoire de Bernoulli (2) La loi de probabilité de cette variable aléatoire est appelée loi de Bernoulli de paramètre p X=x i 0 1 P(X=xi) 1-p p Exemple : on lance d’un dé équilibré et on appelle « Succès » le fait d’obtenir le numéro 5 Cette expérience aléatoire est une épreuve de Bernoulli de paramètre 1 6
Chapitre 10 terminale spé math Schéma de Bernoulli, loi
proviennent de la Terminale 1 et 18 élèves proviennent de la Terminale 2 Au début de son cours, madame Tchang choi- sit un élève au hasard et note la classe de cet élève avant de l'interroger Montrer que cette expérience aléatoire peut être modélisée par une loi de Bernoulli, et préciser son paramètre
CHAPITRE Loi binomiale 9 et applications
Ce chapitre introduit deux lois de probabilité : la loi de Bernoulli et surtout la loi binomiale Cette dernière loi, conformément au programme, est d’abord introduite pour de petites valeurs de n (n = 2, n = 3) Nous avons pensé qu’il fallait la faire fonctionner tout d’abord pour de petites valeurs de n sans utiliser la formule
Livre du professeur - Mathématiques Chapitre 12 : Loi binomiale
un deuxième temps, les schémas de Bernoulli et la distribution binomiale sont abordés ainsi que la loi de probabilité, l’espérance et la variance de cette loi Dans une dernière partie,desquestionsenrapportavecl’échantillonnagesontsoulevées Lesexercicespermettenttoutd’aborddedécouvrir,demanièreprogressive,lestroispar-
Chapitre : Probabilité – Loi Binomiale
Définition (loi de Bernoulli) On considère une épreuve de Bernoulli avec p la probabilité d'obtenir un succès On considère la variable aléatoire X qui vaut 1 si on obtient un Succès et 0 si on obtient un Echec On dit que X suit la loi de Bernoulli On peut représenter la loi de X à l'aide du tableau suivant : xi 0 1 P(X=xi) 1-p p
Chapitre 10 Probabilités conditionnelles Loi binomiale
CHAPITRE 10 PROBABILITÉS CONDITIONNELLES LOI BINOMIALE Étant donné une épreuve de Bernoulli où la probabilité d’obtenir un succès S est p et le schéma de Bernoulli consistant à répéter n fois de manière indépendante cette épreuve Si on note X la variable aléatoire qui à chaque issue possible du schéma de Bernoulli asso-
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Chapitre 10Probabilités conditionnellesLoi binomiale1 Probabilité1.1 GénéralitésLors d"une expérience aléatoire :L"universΩest l"ensemble des issues possibles.Un événement A est une partie de l"univers.Un événement élémentaireeiest un événement ne comportant qu"un seul élément.L"événement contraire de l"événement A est l"événement notéA formé de tous les élé-ments deΩn"appartenant pas à A.L"événement A∩B (noté aussi "A et B") est l"événement formé des éléments deΩappar-tenant à A et à B.L"événement A?B (noté aussi "A ou B") est l"événement formé des éléments deΩappar-tenant au moins à l"un des événements A ou B.Deux événements A et B sont dits incompatibles si A∩B=∅.SiΩ={e1,e2,...,en}etsiàchaqueissueeionassocieunnombreP(ei)telque0?P(ei)?1 etP(e1) +P(e2) +···+P(en) =1, on dit que l"on a défini une loi de probabilité surΩ.Laprobabilitéd"unévénementestlasommedesprobabilitésdesévénementsélémentairesqui le constituent.Pour tous événements A et B :P(∅) =0;P(Ω) =10?P(A)?1;P(A) =1-P(A)P(A?B) =P(A) +P(B)-P(A∩B)(si A et B sont incompatibles alorsp(A?B) =p(A) +p(B))Pour une loi équirépartie :P(A) =nbre d"éléments de Anbre d"éléments deΩ=nbre de cas favorablesnbre de cas possibles1.2 Variable aléatoireUne variable aléatoire X définie sur un universΩest une fonction qui à chaque issue associeun réelxi. La probabilité que X prenne la valeurxiest alors notéeP(X=xi)oupi.28
CHAPITRE 10. PROBABILITÉS CONDITIONNELLES. LOI BINOMIALEDéfinir la loi de probabilité de X, c"est donner (sous forme d"un tableau) la probabilité dechacun des événements X=xi.Espérance mathématique de X :E(X) =∑pixi=p1x1+···+pnxnL"espérance représente la valeur moyenne que prend X si on répèteun grand nombre defois l"expérience aléatoireVariance de X :V(X) =∑pix2i-E2(X) =p1x21+···+pnx2n-E2(X)Écart-type de X :σ(X) =?V(X)Exemple :On lance 3 fois de suite un dé. Le joueur gagne 6 euros s"il n"obtient aucun 1et aucun 2 et il perd 3 euros dans le cas contraire. X, la variable aléatoire égale au gain dujoueur, ne peut prendre que les valeurs-3 et 6.On aP(X=6) =4363=827etP(X=-3) =1-p(X=6) =1927E(X) =-3×1927+6×827=-13V(X) = (-3)2×1927+62×827-?-13?2=1529etσ(X) =?1529=2⎷3832 Probabilités conditionnellesEtant donné deux événements A et B (B?=∅) d"un universΩ. On appelle probabilité de Bsachant A, le réel notéPA(B)tel que :PA(B) =P(A∩B)P(A)On a alors :P(A∩B) =P(A)×PA(B) =P(B)×PB(A)Formule des probabilités totalesSi A1, A2,...,Anforment une partitions deΩ(2 à 2 incompatibles et leur union formeΩ),alors pour tout événement B, on a :P(B) =P(A1∩B) +···+P(An∩B) =P(A1)×PA1(B) +···+P(An)PAn(B)Représentation par un arbre pondéréLe cas le plus fréquent correspondond à la partition la plus simple(A etA). Si on connaît lesprobabilité de B etB par l"intermédiare de A etA, on a l"arbre suitvant :29
CHAPITRE 10. PROBABILITÉS CONDITIONNELLES. LOI BINOMIALEAP(A)BPA(B)BPA(B)AP(A)BPA(B)BPA(B)Le produit des probabilités inscrites sur chaquebranche d"un chemin donne la probabilité de l"inter-section des événements placés sur ce chemin.P(A)×PA(B) =P(A∩B)La somme des probabilités inscrites sur les branchesissuesd"unmêmenoeudestégaleà1(loidesnoeuds).PA(B) +PA(B) =1La probabilité d"un événement E est la somme desprobabilités des chemins qui aboutissent à E.P(B) =P(A)PA(B) +P(A)PA(B)Exemple :Dans un pays, il y a 2 % de la population contaminée par un virus. On disposed"un test de dépistage de ce virus qui a les propriétés suivantesLa probabilité qu"une personne contaminée ait un test positif est de0,99 (sensibilité dutest).La probabilité qu"une personne non contaminée ait un test négatif est de 0,97 (spécificitédu test).On fait passer un test à une personne choisie au hasard dans cette population. On note Vl"événement " la personne est contaminée par le virus » et T l"événement " le test est positif».V0,02T0,99T0,01V0,98T0,03T0,97Quelle est la probabilité que le test soit positifP(T) =0,02×0,99+0,98×0,03=0,0492Quelle est la probabilité que la personne soit conta-minée sachant que le test est positif :PT(V) =P(T∩V)P(T)=0,02×0,990,0492=0,40243 Indépendance de deux événementsDeux événements A et B sont indémendants si et seulement si :PA(B) =P(B)?P(A∩B) =P(A)×P(B)4 Loi binomialeOn appelle épreuve de Bernoulli toute expérience aléatoire ne présentant que deux issuespossibles (contraire l"une de l"autre)On appelle schéma de Bernoulli toute répétition d"épreuves de Bernouilli identiques etindépendantes30
CHAPITRE 10. PROBABILITÉS CONDITIONNELLES. LOI BINOMIALEÉtant donné une épreuve de Bernoulli où la probabilité d"obtenir un succès S estpet leschéma de Bernoulli consistant à répéternfois de manière indépendante cette épreuve.Si on note X la variable aléatoire qui à chaque issue possible du schéma de Bernoulli asso-cie le nombre de fois où est apparu un succès S, la loi de probabilité de X est appeléeloibinomialede paramètresnetpet est notéeB(n;p).Probabilité d"obtenirksuccès :P(X=k) =?nk?pk(1-p)n-kEspérance de X :E(X) =npVariance et écart-type de X :V(X) =np(1-p);σ(X) =?np(1-p)31
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