Extremums d’une fonction - Parfenoff org
La fonction B : T ; 7 définie et dérivable sur 9 est strictement croissante sur 9 et pourtant ’ ; L 3 6 s’annule en L 0 sans que la fonction ait d’extremum en ce point En revanche : si ’ s’annule en changeant de signe en un réel », » n’étant pas une borne de I, alors admet un extremum local en puisque est :
I Extremums d’une fonction
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et dérivable sur I˚ et c ∈ I˚ Si c est un extremum de f alors f '(c)=0 Exemple n°2 Notons g:{ℝ→ℝ x↦x2 la fonction carrée Nous savons que g admet un minimum en c=0 La propriété nous dit qu’alors g'(0)=0 Effectivement, pour tout x, g'(x)=2x et 2×0=0 Remarque n°2
Etude des extrema d’une fonction
22 3 ETUDE DES EXTREMA D’UNE FONCTION 2 Cas des fonctions de deux variables On va g´en´eraliser la discussion pr´ec´edente aux fonction `a deux variables On se donne f d´efinie sur un domaine D de R2 et on d´esire d´eterminer les x =(x,y)o`u f( x ) prend des valeurs extrˆemes On suppose que f est deux fois d´erivable Pour
Variations et extremum
Variations et extremum I Variations d'une fonction Définition - Fonction croissante et fonction décroissante Soit ???? une fonction définie sur un intervalle ???? • On dit que f est croissante sur ???? si lorsque ???? augmente sur ???? alors ????(????) augmente Autrement dit, pour tous réels ????1 et ????2 de ???? tels que ????1 Q????2
Extremum d’une fonction trin^ome du second degr e
Extremum d’une fonction trin^ome du second degr e Sujets Dans chacun des exercices propos es ci-dessous, d eterminez l’extremum de f, sa nature et le nombre pour lequel il est atteint Exercice 1 f : x 7 9x2 8 + 9x 8 + 27 32 Exercice 2 f : x 7 2x2 + 12x 7 67 49 Exercice 3 f : x 7 8x2 5 + 32x 35 117 980 Exercice 4 f : x 7 3x2 7 12x 35
RECHERCHE D’EXTREMUM
RECHERCHE D’EXTREMUM A Définitions Soit D une partie de n Soit fD: o Soit n A 1) Extremum global ou absolu On dit que la fonction f admet un maximum absolu (ou global) en A si dM D f M f A, On dit que la fonction admet un minimum absolu (ou global) en A si tM D f M f A , On dit que la fonction admet un extremum absolu (ou global) en A
Justifier l’existence d’un extremum
Justifier l’existence d’un extremum Méthode • M est le maximum de la fonction f sur l'intervalle I lorsque, pour tout réel x de I, on démontre que : M – f (x) est positif ou nul, et nul en une valeur de I
Les extremums des fonctions numériques de plusieurs variables
Les extremums des fonctions numériques de plusieurs variables réelles - Page 2 sur 2 M Duffaud 3 b : Théorème pour les fonctions de 2 variables On utilise les notations de MONGE, du nom du mathématicien français MONGE Gaspard (1746-1818)
1) Fonction croissante Fonction décroissante
Sens de variation et extremum de fonctions I) Sens de variation d’une fonction 1) Fonction croissante Fonction décroissante Une fonction ???? est croissante : Lorsque les abscisses ???? augmentent, les ordonnées ???? :???? ; augmentent aussi
Chap 3: Optimisation dune fonction à deux variables
y a un point(a,b)où les dérivées partielles d’ordre 1 d’une fonction f s’annulent, on ne peut pas dire que le point(a,b)est un extremum local () UIC 2018-2019 3 / 25
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Extremums d'une fonction
I) Définitions (rappels de seconde : voir la fiche de cours correspondante) Soit ࢌ une fonction définie sur un ensemble D inclus dans , et ࡹ deux réels. • On appelle extremum de ࢌsur D son maximum ou son minimum (s'il existe). • Si ou ࡹ est un extremum de ࢌ sur un intervalle I ouvert inclus dans D, on dit que ou ࡹ est un extremum local de ࢌ sur DExemples
1°)
La figure ci-dessus est la représentation graphique d'une fonction ݂ définie sur l'intervalle
D = [-0,5 ; 4,5 ]
Sur I = ] 0 ; 4 [ intervalle ouvert contenu dans D, ݂admet un minimum local2°)
La figure ci-dessus est la représentation graphique d'une fonction ݂ définie sur l'ensembleD = ] - ; 2 [
Sur D, ݂ admet ni minimum, ni maximum.
II) Extremums et dérivée
Propriété :
Si une fonction ࢌ, dérivable sur un intervalle I, admet un extremum en ࢻ sur I et si ࢻ n'est pas une borne de I alors ࢌԢ(ࢻ) = 0Démonstration :
Supposons que ݂ admette un maximum en ߙ, ߙ݂sur J.
00 et les rapports
que 0.Démonstration analogue pour un minimum.
Attention :
que ࢌadmet un extremum en ࢻ. ( Voir exemple ci-dessous)Exemple :
définie et dérivable sur Թ est strictement croissante sur Թ et s'annule en ݔ ൌ Ͳsans que la fonction ait d'extremum en ce point.En revanche :
si ࢌǯs'annule en changeant de signe en un réel ࢻ, ࢻ n'étant pas une borne de I,
alors ࢌ admet un extremum local en ࢻpuisque ࢌ est : • Soit croissante avant ࢻ et décroissante après (maximum local en ࢻ) • Soit décroissante avant ࢻ et croissante après (minimum local en ࢻ)