[PDF] CALCUL INTÉGRAL - AlloSchool

CHAPITRE 6 Intégration - Free

3 2 Aire d’un domaine compris entre deux courbes Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle [a;b] de R telles que, pour tout x de [a;b],f(x) ≤ g(x) et C f et C g leur courbe représentative dans un repère orthonormé (O,I,J) L’aire de la partie du plan limitée par les courbe C f et C g et les droites d’équation x = a

CALCULS DAIRES INTEGRALES PRIMITIVES 1°) Intégrale dune

l'aire sous la courbe est égale à l'aire du rectangle ABGH e) Aire comprise entre deux courbes Th 4 : Soit deux fonctions f et g continues sur [a ; b],avec f ≤ g ; l'aire du domaine compris entre les courbes, représentatives des deux fonctions et les droites d'équations x = a et x = b est ⌡⌠ a b ( g–f ) (x) dx 1a b 1 O x y c 1 A

Exercice 1 - mathematics4n

Soit a un réel tel que 0 a 1 On note A1 l’aire du domaine compris entre la courbe C, l’axe (Ox), les droites d’équation x 0 et x a , puis A2 celle du domaine compris entre la courbe C , (Ox) et les droites d’équation x a et x 1 A1 et A2 sont exprimées en unités d’aire 2

Intégrales et primitives

L'intégrale de entre et est l'aire, en unité d'aire, du domaine compris entre la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équation et On note ce nombre Exemple Dans l'exemple de l'activité, on peut dire que Remarque Dans la notation intégrale, la variable peut être remplacée par n'importe quelle lettre : équivaut à ou encore

Int´egrales et primitives - downloadtuxfamilyorg

S est l’aire du domaine D compris entre la courbe et les droites d’équation x = 1 et y = 0 Soit n un entier naturel non nul On subdivise l’intervalle [0; 1

CALCUL INTÉGRAL - AlloSchool

et Df le domaine compris entre la courbe Cf, l’axe desabscisses etles droitesd’équation x =a et x =b FONCTION CONSTANTE: Soit c unréelpositif f est la fonction définie sur Rpar f (x)=c 1 Exprimeren fonction de a etde b l’aire encm2 dudomaine Df 2 On considère la fonction F qui à tout réel x de l’intervalle [a;b], associe l

Scilab

w calcul d’airepour l’encadrement de l’aire du domaine compris entre une courbe et l’axe des abscisses par la méthode des rectangles l’édItEur Taper directement dans la console a deux inconvénients : l’enregistrement n’est pas possible, et si plusieurs lignes d’instructions ont été tapées, les modifications ne sont pas

11 Intégrales - Vaud

3) Calculer l’aire géométrique du domaine compris entre l’axe des abscisses, les verticales x =0et x =3et le graphe de f 11 4 1) Calculer l’aire algébrique du domaine compris entre l’axe des abscisses, les verticales x =0et x =2π et le graphe de f(x)=sin(x) 2) Calculer l’aire géométrique du domaine compris entre l’axe des

Sujet et corrigé mathématiques bac es, obligatoire, Centres

( ) d correspond, en unités d’aire et à l’unité près, à l’aire du domaine compris entre la courbe ( f), l’axe des abscisses et les droites d’équation x = 2et x = 8 Soit le domaine correspondant à 8 2 ( ) d sur le graphique Le domaine est représenté par la surface verte sur le graphique suivant: EXERCICE 4

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Chapitre 6CALCUL INTÉGRALIINTÉGRALE ET AIRE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 931 unité d"aire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 932 intégrale d"une fonction continue et positive. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933 intégrale d"une fonction continue et négative. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954 lien entre intégrale et dérivée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95IIPRIMITIVES D"UNE FONCTION CONTINUE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 961 définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 962 ensemble des primitives d"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 963 primitive vérifiant une condition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97IIICALCUL DE PRIMITIVES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 971 primitives des fonctions usuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 972 linéarité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 973 primitives des formes usuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98IVINTÉGRALE D"UNE FONCTION CONTINUE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 981 définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 982 premières propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99VPROPRIÉTÉS DE L"INTÉGRALE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 991 positivité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 992 linéarité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 993 relation de Chasles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004 ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 100VIINTÉGRALE ET MOYENNE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1011 inégalités de la moyenne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1012 valeur moyenne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102A. YALLOUZ(MATH@ES)90

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CALCUL INTÉGRAL

TleES 4

T leES-L

ACTIVITÉ1

Dans chacun des cas suivants, calculer l"aire, exprimée en unité d"aire, du domaine compris entrela courbe

représentative de la fonctionf, l"axe des abscisses et les droites d"équationx=-1 etx=4.

1.fest la fonction définie pour tout réelxparf(x)=5

2.

2.fest la fonction affine définie pour tout réelxparf(x)=-0,4x+3,6.

ACTIVITÉ2

Soitfla fonction définie pour tout réelxparf(x)=4x2-2x+5. On noteCfsa courbe représentative dans

le plan muni d"un repère orthogonal

PARTIE A

1. Étudier le signe def(x).

2. On notef?la dérivée de la fonctionf. Calculerf?(x).

3. Donner le tableau des variations de la fonctionf

PARTIE B

On cherche à déterminer un encadrement de l"aireA, exprimée en unité d"aire, du domaine compris entre

la courbeCf, l"axe des abscisses et les droites d"équationx=-1 etx=3.

1. À l"aide du quadrillage, déterminer un encadrement de l"aireA.

1 2 3-11

O xy Cf

2. À l"aide des deux polygones, déterminer un encadrement del"aireA.

1 2 3-11

O xy Cf0,5

0,5 1,5

ABLM PR S

3. Encadrement par deux familles de rectangles.

On subdivise l"intervalle [-1;3] en 20 intervalles de même amplitudeΔx=0,2.

Sur chacun des intervalles [xk;xk+1] avec 0?k<20, le rectangle inscrit sous la courbe a pour longueur

le minimum de la fonctionfsur l"intervalle [xk;xk+1] et le rectangle circonscrit a pour longueur le maximum de la fonctionfsur le même intervalle.

A. YALLOUZ(MATH@ES)91

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TleES 4

T leES-L

1 2 3-11

O xy Cf

Δx=15

a) Compléter le tableau de valeurs suivant : xk-1-0,8-0,6-0,4-0,200,20,40,60,81 f(xk)1 2 100
181
25
41
100
149
25
34
4 5 25
291
xk1,21,41,61,822,22,42,62,83 f(xk) b) Calculer l"aireAI,somme desairesdesrectanglesinscritsetl"aireAE, somme desairesdesrectangles circonscrits. c) En déduire un encadrement de l"aireA.

ACTIVITÉ3

Le plan est muni d"un repère orthonormé?O;?ı,???d"unité graphique 1cm,aetbsont deux réels tels que

afdésigne la courbe représentative de la fonctionfdans le repère?O;?ı,???etDfle domaine compris entre

la courbeCf, l"axe des abscisses et les droites d"équationx=aetx=b.

FONCTION CONSTANTE:

Soitcun réel positif.fest la fonction définie surRparf(x)=c.

1. Exprimer en fonction deaet debl"aire en cm2du domaineDf.

2. On considère la fonctionFqui à tout réelxde l"intervalle [a;b],

associe l"aireAxdu domaine hachuré. a) Donner une expression deFen fonction dex. b) CalculerF?(x) oùF?est la dérivée de la fonctionFsur [a;b] c) CalculerF(b)-F(a). Que constate-t-on? ?i? j0abx Cfc Df

FONCTION AFFINE:

fest une fonction affine définie surRparf(x)=mx+poùmetp sont des réels fixés avecmnon nul.fest supposée positive sur [a;b].

1. Exprimer en fonction deaet debl"aire en cm2du domaineDf.

2. On considère la fonctionFqui à tout réelxde l"intervalle [a;b],

associe l"aireAxdu domaine hachuré. a) Donner une expression deFen fonction dex. b) CalculerF?(x) oùF?est la dérivée de la fonctionFsur [a;b] c) CalculerF(b)-F(a). Que constate-t-on? ?i? j0abx Cf Df

A. YALLOUZ(MATH@ES)92

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CALCUL INTÉGRAL

TleES 4

T leES-L

I INTÉGRALE ET AIRE

1UNITÉ D"AIRE

Soit?O;?ı,???un repère orthogonal du plan.

L"unité d"aire, notée u.a, est l"aire du rectangle unitaireOIJK avec I(0;1),

J(0;1) et K(1;1).

0xy?i?

jIJ K u.a.

2INTÉGRALE D"UNE FONCTION CONTINUE ET POSITIVE

DÉFINITION

Soitfune fonction définie, continue et positive sur un intervalle[a;b] etCfsa courbe représentative

dans le plan muni d"un repère orthogonal?O;?ı,???.

L"intégrale defentreaetbest l"aire, exprimée en unités d"aire, du domaineDfcompris entre la courbe

C f, l"axe des abscisses et les droites d"équationsx=aetx=b

Ce nombre est noté :?

b a f(x)dx

0xy?i?

jIJ Kab

Cf1 u.a

REMARQUES

b a f(x)dxse lit "intégrale deaàbdef(x)dx» ou encore "somme deaàbdef(x)dx». — Les réelsaetbsont appelés les bornes de l"intégrale? b a f(x)dx.

— Lavariablexest dite "muette», elle n"intervientpasdansle résultat.C"est àdire qu"on peutla remplacer

par n"importe quelle autre variable distincte des lettresaetb:? b a f(x)dx=? b a f(t)dt=? b a f(u)du a a f(x)dx=0, car le domaineDfest alors réduit à un segment.

EXEMPLES(traités en activité)

1. Calculons?

4 -1(-0,4x+3,6)dx. La fonction affinefdéfinie pour tout réelxparf(x)= -0,4x+3,6 est continue et positive sur l"intervalle [-1;4]

L"intégrale?

4 -1(-0,4x+3,6)dxest égale à l"aire du trapèzeABCD. 4 -1(-0,4x+3,6)dx=(AD+BC)×AB 2 (4+2)×5 2 =151 2 3 4-11234 O xy A BCD Cf

A. YALLOUZ(MATH@ES)93

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2. Soitfla fonction définie pour tout réelxparf(x)=4

x2-2x+5. On noteCfsa courbe représentative. fest dérivable donc continue et strictement positive. Par conséquent,? 3 -1f(x)dxest égale à l"aire, exprimée en

unités d"aire, du domaineDfcompris entre la courbeCf, l"axe des abscisses et les droites d"équationx= -1 et

x=3. a)LedomaineDfest encadrépardes surfacesdélimitées par des polygones dont on peut calculer l"aire à l"aide d"un découpage en figures simples du plan : triangle, carré, rectangletrapèze. SoientAIl"aire du polygone inscritABLMPetAEl"aire du polygone circonscritABLRSP. —AIest égal à la somme des aires du rectangleABLPet du triangleLMPd"oùAI=4×0,5+4×0,5 2=3 —AEest égal à la somme des aires du rectangleABLPet du

2=3,25

On en déduit que 3??

3 -1f(x)dx?3,25.

1 2 3-11

O xy Cf0,5

0,5 1,5

ABLM PR S b)Encadrement par deux familles de rectangles

Onsubdivise l"intervalle [-1;3] ennintervalles demême amplitude pour obtenir un encadrementdel"intégrale?3

-1f(x)dxà partir de l"aire de deux familles de rectangles. Subdivision de l"intervalle [-1;3] avec un pasΔx=1 2. Sur chacun des intervalles [xk;xk+1] avec 0?k<8, le rectangle inscrit sous la courbe a pour longueur le minimum de la fonctionf sur l"intervalle [xk;xk+1] et le rectangle circonscrit a pour longueur le maximum de la fonctionfsur le même intervalle. Compte tenu des variations de la fonctionfet des valeurs calculées ci- dessous, xk-1-1201 213
225
23
f?xk?1 2 16 25
4 5 16 17116
17 4 5 16 25
1

21 2 3-11

O xy Cf Δx=12L"aireAI, somme des aires des rectangles inscrits est : A I=1 L"aireAE, somme des aires des rectangles circonscrits est : A E=16

On en déduit que

2449
850??
3 -1f(x)dx?1437425.

En choisissant une subdivision de l"intervalle [-1;3] plus fine, on augmente la précision de l"encadrement.

Avec un pasΔx=0,1 on obtient 3,091??

3 -1f(x)dx?3,192.

Avec un pasΔx=0,01 on obtient 3,136??

3 -1f(x)dx?3,147.

Remarque :

— À l"aide de la calculatrice, on trouve

3 -1? 4 x2-2x+5? dx≈3,1415927. — À l"aide d"un logiciel de calcul formel, on obtient 3 -1? 4 x2-2x+5? dx=π.

A. YALLOUZ(MATH@ES)94

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T leES-L

3INTÉGRALE D"UNE FONCTION CONTINUE ET NÉGATIVE

Sifest une fonction continue et négative sur un intervalle [a;b] alors, la fonctiongdéfinie sur l"intervalle [a;b] par

g=-fest une fonction continue et positive sur cet intervalle.

Par symétrie par rapport à l"axe des abscisses, l"aire du domaineDfcompris entre la courbeCf, l"axe des abscisses et

les droites d"équationsx=aetx=best égale à l"aire du domaineDgcompris entre la courbeCg, l"axe des abscisses

et les droites d"équationsx=aetx=b.

0xy?i?

jIJ Kab Cf Cg 1 u.a

DÉFINITION

Soitfune fonction définie,continue et négative sur un intervalle[a;b] etCfsa courbe représentative dans le plan

muni d"un repère orthogonal?O;?ı,???.

L"intégrale de la fonctionfentreaetbest égale à l"opposé de l"aireA, exprimée en unités d"aire, du domaineDf

compris entre la courbeCf, l"axe des abscisses et les droites d"équationsx=aetx=b: b a f(x)dx=-A

4LIEN ENTRE INTÉGRALE ET DÉRIVÉE

Soitfune fonction continue sur un intervalle [a;b]. On peut définir une nouvelle fonctionFqui à tout réelxde

l"intervalle [a;b], associe l"intégrale defentreaetx:F(x)=? x a f(t)dt

THÉORÈME(admis)

Soitfune fonction continue sur un intervalle [a;b].

La fonctionFdéfinie sur [a;b] parF(x)=?

x a f(t)dtest dérivable sur [a;b] et a pour dérivéef.

EXEMPLE

Soitfla fonction définie sur l"intervalle [-1;4] parf(x)=-1

2x+52.

Sixest un réel de l"intervalle [-1;4], la fonctionFdéfinie par

F(x)=?

x -1f(t)dtest égale à l"aire du trapèze colorié.

On a doncF(x)=(3+(-0,5x+2,5))×(x+1)

2=-x24+5x2+114

La fonctionFest dérivable sur [-1;4] etF?(x)=-x

2+52=f(x).1 2 3 4-1123

Ox Cf

A. YALLOUZ(MATH@ES)95

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