[PDF] 11 Intégrales - Vaud

CHAPITRE 6 Intégration - Free

3 2 Aire d’un domaine compris entre deux courbes Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle [a;b] de R telles que, pour tout x de [a;b],f(x) ≤ g(x) et C f et C g leur courbe représentative dans un repère orthonormé (O,I,J) L’aire de la partie du plan limitée par les courbe C f et C g et les droites d’équation x = a

CALCULS DAIRES INTEGRALES PRIMITIVES 1°) Intégrale dune

l'aire sous la courbe est égale à l'aire du rectangle ABGH e) Aire comprise entre deux courbes Th 4 : Soit deux fonctions f et g continues sur [a ; b],avec f ≤ g ; l'aire du domaine compris entre les courbes, représentatives des deux fonctions et les droites d'équations x = a et x = b est ⌡⌠ a b ( g–f ) (x) dx 1a b 1 O x y c 1 A

Exercice 1 - mathematics4n

Soit a un réel tel que 0 a 1 On note A1 l’aire du domaine compris entre la courbe C, l’axe (Ox), les droites d’équation x 0 et x a , puis A2 celle du domaine compris entre la courbe C , (Ox) et les droites d’équation x a et x 1 A1 et A2 sont exprimées en unités d’aire 2

Intégrales et primitives

L'intégrale de entre et est l'aire, en unité d'aire, du domaine compris entre la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équation et On note ce nombre Exemple Dans l'exemple de l'activité, on peut dire que Remarque Dans la notation intégrale, la variable peut être remplacée par n'importe quelle lettre : équivaut à ou encore

Int´egrales et primitives - downloadtuxfamilyorg

S est l’aire du domaine D compris entre la courbe et les droites d’équation x = 1 et y = 0 Soit n un entier naturel non nul On subdivise l’intervalle [0; 1

CALCUL INTÉGRAL - AlloSchool

et Df le domaine compris entre la courbe Cf, l’axe desabscisses etles droitesd’équation x =a et x =b FONCTION CONSTANTE: Soit c unréelpositif f est la fonction définie sur Rpar f (x)=c 1 Exprimeren fonction de a etde b l’aire encm2 dudomaine Df 2 On considère la fonction F qui à tout réel x de l’intervalle [a;b], associe l

Scilab

w calcul d’airepour l’encadrement de l’aire du domaine compris entre une courbe et l’axe des abscisses par la méthode des rectangles l’édItEur Taper directement dans la console a deux inconvénients : l’enregistrement n’est pas possible, et si plusieurs lignes d’instructions ont été tapées, les modifications ne sont pas

11 Intégrales - Vaud

3) Calculer l’aire géométrique du domaine compris entre l’axe des abscisses, les verticales x =0et x =3et le graphe de f 11 4 1) Calculer l’aire algébrique du domaine compris entre l’axe des abscisses, les verticales x =0et x =2π et le graphe de f(x)=sin(x) 2) Calculer l’aire géométrique du domaine compris entre l’axe des

Sujet et corrigé mathématiques bac es, obligatoire, Centres

( ) d correspond, en unités d’aire et à l’unité près, à l’aire du domaine compris entre la courbe ( f), l’axe des abscisses et les droites d’équation x = 2et x = 8 Soit le domaine correspondant à 8 2 ( ) d sur le graphique Le domaine est représenté par la surface verte sur le graphique suivant: EXERCICE 4

[PDF] intégrale triple

[PDF] la maquette de la une

[PDF] maquette en arabe

[PDF] prototype définition

[PDF] ou se trouve le sphinx par rapport aux pyramides

[PDF] a quelle heure le roi se rendait a la messe

[PDF] www chateauversailles fr a quelle heure le roi se rendait il a la messe

[PDF] a quelle heure le roi soleil se rendait il a la messe

[PDF] pourquoi la table ronde avait cette forme

[PDF] pourquoi la table ronde est ronde

[PDF] les chevaliers de la table ronde 5eme

[PDF] de quoi parlent les romans de la table ronde

[PDF] qu'est ce qu'un conte definition

[PDF] intérêt pédagogique du conte

[PDF] matrices cours

CALCULS D'AIRES. INTEGRALES. PRIMITIVES

1°) Intégrale d'une fonction.

Soit f une fonction définie sur [a ; b] et C sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O ; ¾® i ; j).

Si I est le point tel que

OI = i , J le point tel que

OJ = et K le point tel que OIKJ

est un rectangle, on appelle unité d'aire et on note u.a l'aire du rectangle OIKJ. Prop 1 et déf 1: Si f est continue et positive sur [a ; b], on admet que le domaine E situé sous la courbe (entre la courbe, l'axe des abscisses, les droites d'équations x = a et x = b) admet une aire. On appelle intégrale de a à b de la fonction f, l'aire, en unités d'aire, du domaine E.

On la note õóa

b f (x) dx = A(E). Remarque : E est l'ensemble des points M(x ; y) tels que îíì a £ x £ b

0 £ y £ f (x)

õóa

b f (x) dx = õóa b f (t) dt = õóa b f (u) du = .....

Exemple A = õó2

5 (x + 1) d x.

la courbe est ici la droite d'équation y = x + 1.

A est l'aire du trapèze AA'B'B

donc A = (AA' + BB') x AB

2 = (3 + 6) x 3

2 = 13,5 u.a.

Déf 2 : Si f est continue et négative sur [a ; b], on appelle intégrale de a à b de la fonction f, l'opposé de l'aire, en unités d'aire, du domaine E situé entre la courbe et l'axe des abscisses.

On la note õóa

b f (x) dx = - A(E). Remarque : si f ³ 0, l'aire est comptée positivement si f £ 0, l'aire est comptée négativement. on dit que l'intégrale est une aire algébrique. Déf 3 : Si f est continue et de signe non constant sur [a ; b], on appelle intégrale de a à b la somme des "aires algébriques" des domaines situés entre la courbe et l'axe des abscisses. ici õóa b f (x) dx = - E1 + E2 - E3 + E4. Déf 4 : Si la fonction f est continue sur un intervalle I, pour tous réels a et b de I, si a ³³ b õóa b f (x) dx = - õób a f (x) dx si a = b õóa b f (x) dx = 0. o J I K o 1 1 K ab A A' B B' 1 1 O Cf x y A A' B B' 1 1 Ox

1 u.a.

a b1 1 O Cf x

1 u.a.

E1 E2 E3 E4

2°) Propriétés de l'intégrale .

a) Relation de Chasles. prop 2 : Soit f une fonction continue sur un intervalle I, a, b, c trois réels de I

õóa

c f (x) dx + õóc b f (x) dx = õóa b f (x) dx b) Linéarité.

Th 1: Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle I, a, b deux réels de I , k un nombre réel.

õóa

b [k.f (x)] dx = k õóa b f (x) dx

õóa

b (f + g) (x) dx = õóa b [f (x) + g(x)] dx = õóa b f (x) dx + õóa b g (x) dx c)Positivité et ordre. Th 2 : Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle [a, b] (a ££ b) si f est positive sur [a ; b] alors õóa b f (x) dx ³³ 0 si f est négative sur [a ; b] alors õóa b f (x) dx ££ 0 si f ££ g sur [a ; b] alors õóa b f (x) dx ££ õóa b g (x) dx

remarque: les réciproques sont fausses : si f n'est pas de signe constant, l'intégrale peut être positive ou négative suivant

les exemples. d) Valeur moyenne d'une fonction.

Th 3 : Inégalité de la moyenne.

Si f est une fonction continue sur [a ; b] telle que pour tout x de [a ; b], m ££ f (x) ££ M, alors m (b - a) ££ õóa b f (x) dx ££ M (b - a) dans le cas où f est positive sur [a ; b], l'aire sous la courbe est comprise entre l'aire du rectangle ABCD et l'aire du rectangle ABEF Déf 5 : Si f est une fonction continue sur [a ; b], on appelle valeur moyenne de f sur [a ; b] le réel mm = 1 b - a õóa b f (x) dx on a m ££ mm ££ M dans le cas où f est positive sur [a ; b], l'aire sous la courbe est égale à l'aire du rectangle ABGH. e) Aire comprise entre deux courbes. Th 4 : Soit deux fonctions f et g continues sur [a ; b],avec f ££ g ; l'aire du domaine compris entre les courbes, représentatives des deux fonctions et les droites d'équations x = a et x = b est õóa b ( g-f ) (x) dx. ab1 1 Ox y c AB1 1 Ox y m DC M FE abOx y AB1 1 Ox y m DC M FE m HG f ) Fonction paire, fonction impaire.

th 5 : Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle [-a ; a], où a est un réel.

Si f est une fonction paire alors õó-a

a f (x) dx = 2 õó0 a f (x) dx.

Si f est une fonction impaire alors õó-a

a f (x) dx = 0.

3°) Intégrales et primitives.

a) Primitive d'une fonction.

Déf 6 : Soit f une fonction continue sur un intervalle I. On appelle primitive de f sur I toute fonction F dérivable

sur I telle que F ' = f .

Prop 3 : Si f est une fonction continue sur un intervalle I et si a appartient à I, alors la fonction F définie sur I par

F (x) = õóa

x f (t) dt est une primitive de f sur I. Prop 4 : Toute fonction continue sur I admet une infinité de primitives sur I.

Si F est une primitive de f, alors l'ensemble des primitives de f sur I est l'ensemble des fonctions G telles que

G(x) = F(x) + k avec k réel.

ex : sur ]0 ; + ¥[ , la fonction x ½¾¾® ln x est une primitive de la fonction x ½¾¾®

1 x , les primitives de la fonction ln sont donc les fonctions G telles que G(x) = ln x + k avec k réel. Prop 5 : Si x0 est un réel donné dans I et y0 un réel quelconque. Alors il existe une primitive et une seule F de f sur I telle que G(x0) = y0.

Th 6 : Si f est une fonction continue sur un intervalle I et si a appartient à I, alors la fonction F définie sur I par

F(x) = õóa

x f (x) dx est l'unique primitive de f sur I s'annulant pour x = a. ( F(a) = 0). b) Calcul d'une intégrale à l'aide d'une primitive.

Th 7 : Si f est une fonction continue sur un intervalle I et si a et b appartiennent à I, alors, pour toute primitive F

de f sur I, õóa b f (x) dx = F(b) - F(a). ex : õó1 2 1 x dx = [ ln x] 2

1 = ln 2 - ln 1 = ln 2.

4°) Calculs de primitives.

a) Primitives des fonctions usuelles. f (x)F (x)intervalle de validité kk x + CIR x n , n Î INx n + 1 n + 1 + CIR 1 x ln ½x½ + C] - ¥ ; 0 [ou ]0 ; + ¥[ 1 x 2 = x - 2 - 1 x + C] - ¥ ; 0 [ou ]0 ; + ¥[ 1 x = x -1/22 x + C]0 ; + ¥[ -aa1 1 O -aa1 1 O la dérivée de x 3 est 3 x 3 - 1 = 3 x ² la dérivée de 1

3 x 3 est 1

3 . 3 x ² = x ²

donc 1

3 x 3 est une primitive de x ² .

de même : 1

4 x 4 est une primitive de x 3 .

l'exposant augmente de 1 et on divise par le nouvel exposant. x n , n entier négatif n ¹ -1 x n + 1 n + 1 + C]- ¥ ;0[ ou ]0 ; + ¥[ x a , a Î IR - {-1}x a + 1 a + 1 + C]0 ; + ¥[ e xe x +CIR cos xsin x + CIR sin x- cos x + CIR e a x a ¹ 01 a e a x + CIR b) Primitives des fonctions composées usuelles. f (x)avec u dérivable sur I et ...primitive u n u' , n Î z, n ¹ -1u ne s'annule pas sur I quand n £ -2 u n + 1 n + 1 + C u' u ² u ne s'annule pas sur I- 1 u + C u' u u > 0 sur I2 u + C u' u u ne s'annulant pas donc de de signe constant sur I ln½u½ + C u' e ue u + C u' cos usin u + C u' sin u- cos u + C u(a x + b) a ¹ 0U une primitive de u1 a U(a x + b) + C ex õó1

3 (3 x - 4 )5 dx = 1

3 ëêé

ûúù(3 x - 4) 6

6 3

1 = 1

3 ( 5 6

6 - (-1) 6

6 ) = 1

3 ( 15625 - 1

6 ) = 1

3 x 2604 = 868

c) Méthode d'intégration par parties.

Th 8 : Si u et v sont deux fonctions dérivables sur I telles que u' et v' soient continues sur I, alors pour tous réels

a et b de I : õóa b u(x) v'(x) dx = [u(x) v(x)] b a - õóa b u'(x) v(x) dx ex calculer õó0

1 (x + 1) e - 2 x dx

on ne connaît pas directement une primitive de (x + 1) e - 2x

on pose u(x) = x + 1 donc u'(x) = 1on va dériver u car on va passer du degré 1 au degré 0 (une constante)

v '(x) = e - 2 x donc v(x) = e - 2 x -2 donc õó0

1 (x + 1) e -2 x dx = ëêé

ûúù(x + 1) e - 2 x

-2 1

0 - õó0

1 1 e - 2 x

-2 dx = 2 e - 2 -2 -1 e 0 -2 + 1

2 õó0

1 e - 2 xdx =

- e - 2 + 1 2 + 1

2 ëêé

ûúùe - 2 x

-2 1

0 = - e - 2 + 1

2 + 1

2 ( e - 2

-2 - e 0 -2) = - e - 2 + 1

2 - e - 2

4 + 1

4 = - 5 e - 2

4 + 3

4 ex calculer õó1 e (x - 2 ) ln x dx on pose u(x) = ln x donc u'(x) = 1 x. on ne connaît pas de primitive de la fonction ln, on va donc la dériver v '(x) = (x - 2) donc v(x) = x ²

2 - 2 x

õó1

e (x - 2 ) ln x dx = ëêé

ûúùln x ( x ²

2 - 2 x) e

1 - õó1

e 1 x ( x ²

2 - 2 x) d x = [ln e ( e ²

2 - 2e) - ln 1 ( 1

2 - 2)] - õó1

e ( x

2 - 2) dx =

e ²

2 - 2e - ëêé

ûúù 1

2 x ²

2 - 2 x e

1 = e ²

2 - 2e - [ ( e ²

4 - 2 e) - ( 1

4 - 2)] = e ²

2 - 2e - e ²

4 + 2 e - 7

4 = e ²

4 - 7

4 attention la dérivée de sin x est cos x mais une primitive de sin x est - cos x car ( - cos x )' = - (cos x)' = - (- sin x) = sin x de même la dérivée de cos x est -sin x mais une primitive de cos x est sin x car ( sin x )' = cos x

5°) Calcul de volumes.

Déf 7: unité de volume.

L'espace étant muni d'un repère orthogonal (O ; ¾¾®® i ; ¾¾®® j ; ¾¾®® k) , on appelle unité de volume et on note u.v. ,le volume du parallélépipède OADBCEFG tel que ¾¾¾¾®®

OA = ¾¾®®

i, ¾¾¾¾®®

OB = ¾¾®®

j, ¾¾¾¾®®

OC = ¾¾®®

k.

Th 9 (admis) :

L'espace étant muni d'un repère orthogonal (O ; ¾¾®® i ; ¾¾®® j ; ¾¾®® k) , soit a et b deux réels tels que a ££ b et S un solide compris entre deux plans P(a) et P(b) parallèles d'équations respectives z = a et z = b.

Soit P(t) le plan perpendiculaire à l'axe (Oz) d'équation z = t, et S(t) l'aire de la section du solide S par le plan P(t).

Si la fonction t ½½¾¾¾¾®® S(t) est continue sur l'intervalle [a; b], alors le volume V du solide , en u.v. est donné par

V = õóa

b S(t) dt. Th 10 : L'espace étant muni d'un repère orthonormal (O ; ¾¾®® i ; ¾¾®® j ; ¾¾®® k) , soit a et b deux réels tels que a ££ b.

Soit f une fonction continue et positive sur [a; b], et C sa courbe représentative dans le repère (O ; ¾¾®®

i ; ¾¾®® j ). On note D le domaine limité par C, l'axe (O ; ¾¾®® i) et les droites d'équations x = a et x = b.

Alors le volume V du solide de révolution engendré par la rotation de D autour de l'axe (O ; ¾¾®®

i) est

V = pp õóa

b ( f (t) )² dt u.v.

6°) Cinématique.

Prop 6 : Soit un mobile M en mouvement sur une droite D munie d'un repère (O ;¾¾®® i).

Soit les fonctions X : t ½½¾¾¾¾®® X (t) et V t ½½¾¾¾¾®® X ' (t) = dX(t)

dt qui représentent respectivement l'équation du mouvement et la vitesse du mobile M. La vitesse moyenne du mobile entre les instants t1 et t2 (t1 < t2 ) est le réel: 1 t2 - t1

õót1

t2

V(t) dt.

ex : un mobile se déplace sur une droite, sa vitesse est donnée pour t ³ 0 par V(t) = -5 t + 10.

Calculer sa vitesse moyenne entre les instants 1 et 5. v1-5 = 1

5 - 1 õó1

5 (- 5 t + 10) dt = 1

4 ëêé

ûúù- 5

2 t ² + 10 t 5

1 = 1

4 [ ( - 125

2 + 50) - (- 5

2 + 10)] = - 5

on peut vérifier : sa position est donnée par une primitive de V : X = - 5

2 t ² + 10 t.

X(1) = 15

2 et X(5) = - 25

2 ; l'écart des positions est -40

2 = - 20 pour un écart de temps de 4 s; la vitesse moyenne est bien - 5

RESTITUTION ORGANISEE DE CONNAISSANCES

Pré-requis : " Soit f et g deux fonctions définies et continues sur un intervalle I de IR.

Soit a et b deux réels appartenant à I tels que a £ b. Si pour tout x de [a; b], f (x) ³ 0 , alors õóa b f (x) d x ³ 0. "

1. questions de cours.

a) Soit f et g deux fonctions définies et continues sur un intervalle I de IR. Soit a et b deux réels appartenant à I tels que a £ b.

Démontrer les propriétés suivantes :

(P1) : " x Î [a ; b], f (x) £ g (x) Þ õóa b f (x) d x £ õóa b g (x) d x. (P2) : si m et M sont deux réels tels que pour tout x de [a ; b] , m £ f (x) £ M , alors m (b - a) £ õóa b f (x) d x £ M (b - a) .

b) Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I de IR, soit a et b deux réels appartenant à I.

Démontrer la propriété suivante :

(P3) : si M est un réel strictement positif tel que pour tout x de I ½f (x)½ £ M , alors õóa

b f (x) d x £ M ½b - a½ .

2. Application : Démontrer que : pour tout réel x et tout réel y, ½sin(x) - sin(y)½ £ ½ x - y½.

Réponse : on va utiliser la propriété (P3) avec f (t) = cos t.

õóy

x cos t dt = []sin tx y = sin x - sin y. pour tout réel t, - 1 £ cos t £ 1 donc ½cos t½ £ 1. Donc d'après la propriété (P3) õóy x cos t dt £ 1 ½x - y ½ donc ½ sin x - sin y½ £ ½x - y ½. xyo A B C D EF GOquotesdbs_dbs6.pdfusesText_11