Formules de changement de repère
Changement de repère I Changement de repère par translation 1°) Propriétés Le plan est muni d’un repère O, ,i j R On considère le repère ' O', , i j R où O' est le point de coordonnées x y 0 0; dans le repère R Le nouveau repère a une nouvelle origine mais les mêmes vecteurs de base que R
Chapitre III : Cinématique - Changement de repère
Chapitre III : Cinématique - Changement de repère Composition du mouvement ère III 1 Introduction III 2 Mouvement relatif de deux repères R et R’ III 2 1 Position du problème III 2 2 Vecteur-vitesse instantané de rotation III 3 Loi de composition des vecteurs-vitesses III 4 Loi de composition des vecteurs-accélérations III 5 A retenir
EXERCICE CHANGEMENT DE REPERE
CHANGEMENT DE REPERE 1 / 2 Enseignement transversal EX CHANGEMT DE REPERE 2012 docx EXERCICE CHANGEMENT DE REPERE Soit une base R(x , y , z ) orthonormée direct avec x y z cm= = =1 Soit une base R1(x1 , y 1 , z 1 ) orthonormée direct avec x y z cm 1 1 11= = = On donne : • z et z 1 colinéaires • L’angle entre x et x 1 est
Cours de mécanique du point - LPSC
7 4 changement de repère 113 p 1 s ¶ 2 s¶ 1 viii changement de repere : conclusion et resume 169 absolu f xii xii reperes non inertiels (non galileens) 171
IMN428 - Chapitre 2 - Transformations géométriques
7 Changement de repère 8 Références Transformations géométriques 28 / 104 Transformations affines 2D Toute composition de rotations, translations, changement
Modélisation 3D et Synthèse - Formations en Informatique de
1 Obtenir PEye à partir de PLocal: pour cela on indiquera comment est placé le repère Local par rapport au repère Eye avec une matrice de changement de repères appelée modelview (cf la suite du cours) 2 Puis obtenir PClipCoordinates à partir de PEye avec la matrice de projection (comme précédemment) gl_Position = projection modelview
Les transformations géométriques du plan
3 1 Changement de repère Une façon équivalente de transformer consiste à effectuer des changements de systèmes de coordonnées Utile lorsque : ☞ les objets manipulés sont définis dans des repères locaux; ☞ la modélisation des caméras (xa,ya) 1 2 1 3 4 T(xa;ya) R( ) T( xb; yb) Matrice de passage du repère 1au repère 4 : 4 1M
Transformations géométriques : rotation et translation
•Soit le repère B pivoté de q=45o par rapport à A •Soit un point P défini dans ce repère B: BP =(9,16) •Pour trouver AP, il suffit d’appliquer l’oprateur de rotation : x A y A réf A q AA B P R P B-4 9 17,7 cos(45 ) sin(45 ) sin(45 ) cos(45 4 9) 1 17 7 9 6 oo oo AP x A y A réf A équivalent à faire tourner le vecteur BP q
Cours de Géométrie - alkendyx10mx
1 1 Repère Changement de repère 1 1 1 Bases et repères Dé nition 1 1 1 On appelle aseb du plan tout ouplec (~i,~j) de vecteurs du plan linéaire-ment indépendants On appelle aseb de l'espace tout triplet (~i,~j,~k) de vecteurs de l'espace linéairement indépendants Dé nition 1 1 2 On appelle eprère du plan a ne E
Chapitre 5: Changements de référentiels
Chapitre 5: Changements de référentiels Introduction 1 La notion de vitesse est une notion relative au référentiel considéré Afin de comprendre le mouvement, il faut utiliser le principe fondamental de la dynamique qui ne s’applique que dans un référentiel galiléen
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173Transformations
géométriques : rotation et translationRepères
En robotique, on doit constamment transférer
174xm ym 12 7 référentiel carte/global
Coordonnées du repère (robot):3
1Coordonnées globales du repère:12
7Autre exemple : caméra
Si les objets sont directement en coordonnées de la caméra, on peut facilement calculer une image GLO-4001/7021 Introduction à la robotique mobile1751 0 0 0
0 1 0 0
1 0 0 1/ 01
y z x A P AAuAvAf
coordonnées 3D coordonnées image 2DAutre exemple : caméra
facilement. 176le référentiel du monde (global) = référentiel caméra
Convention sur la notation
Point Pdéfini dans le repère B:
Position de Pest un vecteur""-- ǯ" de B, selon les axes de B, et se terminant à P GLO-4001/7021 Introduction à la robotique mobile177 xB yBP BPTransformation pour repères translatés
ǯ" Best situé à la coordonnée (10,5) dans le repère A : La position de P, exprimée dans le repère A, est 178xA yA xr yr 10 5 réf. A réf. B P B AT B ATBPB
AABP P T
B B AA AA x x x y y y B B P P T P P TTous cela fonctionne tant
que les repères A et B ont la même orientation. Sinon, il faut tenir comptedes rotations.DĠfinir l͛opĠration de rotation
Correspond à déplacer un point (vecteur), avecune rotation -" ǯ"ǡ ǯ
antihoraire Opération linéaire*: multiplication de matrice 179x y
21cos sin, sin cosR P RP
TT P1ȗ ...... ...Ȁ ǯ- " ±"ǡ ǯ""...- "-- 2 ǯ-
(prémultiplication)Exemple rotation 2D
Rotation de =15o ǯ rectangle autour de (0,0) : on applique cette équation pour chaque point GLO-4001/7021 Introduction à la robotique mobile180 % Rotation d'un rectangleP(:,1) = [0 0]';
P(:,2) = [2 0]';
P(:,3) = [2 1]';
P(:,4) = [0 1]';
angle = 15*pi/180; % radianR = [cos(angle) -sin(angle) ; ...
sin(angle) cos(angle) ];P2 = R*P; %rotat. sur tous les points
PP2 2 1 1 2 1 1 cos15 sin15 0.9659 0.25880.2588 0.9659sin15 cos15
oo oo x x x y y yTransformation pour des repères pivotés
Soit le repère B pivoté de =45opar rapport à A. Soit un point Pdéfini dans ce repèreB: BP=(9,16)Pour trouver APǡ - ǯ""" ǯ"±"-" "--
xA yA réf. A AAB