Changement de repère I Changement de repère par translation 1°) Propriétés Le plan est muni d’un repère O, ,i j R On considère le repère ' O', , i j R où O' est le point de coordonnées x y 0 0; dans le repère R Le nouveau repère a une nouvelle origine mais les mêmes vecteurs de base que R
Chapitre III : Cinématique - Changement de repère Composition du mouvement ère III 1 Introduction III 2 Mouvement relatif de deux repères R et R’ III 2 1 Position du problème III 2 2 Vecteur-vitesse instantané de rotation III 3 Loi de composition des vecteurs-vitesses III 4 Loi de composition des vecteurs-accélérations III 5 A retenir
CHANGEMENT DE REPERE 1 / 2 Enseignement transversal EX CHANGEMT DE REPERE 2012 docx EXERCICE CHANGEMENT DE REPERE Soit une base R(x , y , z ) orthonormée direct avec x y z cm= = =1 Soit une base R1(x1 , y 1 , z 1 ) orthonormée direct avec x y z cm 1 1 11= = = On donne : • z et z 1 colinéaires • L’angle entre x et x 1 est
7 4 changement de repère 113 p 1 s ¶ 2 s¶ 1 viii changement de repere : conclusion et resume 169 absolu f xii xii reperes non inertiels (non galileens) 171
7 Changement de repère 8 Références Transformations géométriques 28 / 104 Transformations affines 2D Toute composition de rotations, translations, changement
1 Obtenir PEye à partir de PLocal: pour cela on indiquera comment est placé le repère Local par rapport au repère Eye avec une matrice de changement de repères appelée modelview (cf la suite du cours) 2 Puis obtenir PClipCoordinates à partir de PEye avec la matrice de projection (comme précédemment) gl_Position = projection modelview
3 1 Changement de repère Une façon équivalente de transformer consiste à effectuer des changements de systèmes de coordonnées Utile lorsque : ☞ les objets manipulés sont définis dans des repères locaux; ☞ la modélisation des caméras (xa,ya) 1 2 1 3 4 T(xa;ya) R( ) T( xb; yb) Matrice de passage du repère 1au repère 4 : 4 1M
•Soit le repère B pivoté de q=45o par rapport à A •Soit un point P défini dans ce repère B: BP =(9,16) •Pour trouver AP, il suffit d’appliquer l’oprateur de rotation : x A y A réf A q AA B P R P B-4 9 17,7 cos(45 ) sin(45 ) sin(45 ) cos(45 4 9) 1 17 7 9 6 oo oo AP x A y A réf A équivalent à faire tourner le vecteur BP q
1 1 Repère Changement de repère 1 1 1 Bases et repères Dé nition 1 1 1 On appelle aseb du plan tout ouplec (~i,~j) de vecteurs du plan linéaire-ment indépendants On appelle aseb de l'espace tout triplet (~i,~j,~k) de vecteurs de l'espace linéairement indépendants Dé nition 1 1 2 On appelle eprère du plan a ne E
Chapitre 5: Changements de référentiels Introduction 1 La notion de vitesse est une notion relative au référentiel considéré Afin de comprendre le mouvement, il faut utiliser le principe fondamental de la dynamique qui ne s’applique que dans un référentiel galiléen
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Université Joseph Fourier ± Grenoble 1
Licence 1ère année
Cours de mécanique du point
10ème édition / mai 2011
Gilbert VINCENT
TZZZT TZZZT doivent être à gauche (en regard des pages correspondantes (situées à droite, qui supportent le Les figures ne sont pas référencées dans le texte, mais dans la quasi totalité des cas, elles correspondent au texte de la page en regard. de diapositives commentées, avec quelques compléments, de Foucauld), et un tableur interactif de calcul de la puissance
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Pour tout problème ou demande de document informatique,
SOMMAIRE
SOMMAIRE
Sommaire chapitres : I à XII
Introduction p.1
I. Principes fondamentaux de la dynamique p.5
II. Forces p.27
III. Cinématique p.41
IV. Moments p.71
V. Travail. Energie cinétique p.79
VI. Energie potentielle et mécanique p.87
VII. Collisions (2 masses) p.101
VIII. Gravitation p.115
IX. Problème des 2 corps p.123
X. Problème des 2 corps: résolution p.137
XI. Changement de référentiel (repère) p.159 XII. Référentiels non Inertiels (non Galiléens) p.171
Bibliographie p.176
CE COURS EST SUR INTERNET
On trouvera aussi sur ce site quelques pages supplémentaires: x Compléments et exercices (Voir le détail en fin de polycopié) x Marée océanique (Conseillé pour ne pas croire à la sorcellerie) x Pendule de Foucault x Gyroscope x I
I. PRINCIPES FONDAMENTAUX DE LA DYNAMIQUE 5
1. QUANTITE DE MOUVEMENT: DEFINITION 5
2. PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE: PFD 5
4. APPLICATION: INTERACTION ENTRE 2 CORPS ISOLES 7
5. CONSEQUENCE: LES TROIS LOIS DE NEWTON 9
5.1 Du PFD aux deux premières lois de Newton 9
5.2 Enoncé des trois lois 9
6. CONDITION DE MASSE CONSTANTE 11
7. APPLICATION DES LOIS DE NEWTON. CENTRE DE MASSE 11
8. CONDITIONS D'APPLICATION DU PFD 15
8.1 Référentiels, repères et systèmes de coordonnées. 15
8.2 Référentiel Inertiel (ou Galiléen) 17
8.3 Ensemble de référentiels Inertiels (ou Galiléens) 17
9. RESUME 19
ANNEXE 1 : MASSE CONSTANTE. LECTURE FIL ROUGE. CENTRE DE MASSE
ET FORCES EXTERIEURES. 21
ANNEXE 2 : MASSE NON CONSTANTE, LECTURE FIL ROUGE 23 A/ Principe fondamental et 2ème loi de Newton 23
B/ Force et accélération 23
C/ PFD et force nulle 23
D/ Exercice de différentiation : centre de masse et principe fondamental 25 p(t) p(t+dt)F.dt p(t)p(t) p(t+dt)p(t+dt)F.dt II
II. LES FORCES 27
1.1 Force gravitationnelle 27
1.2 Forces de Lorentz (électrique et magnétique) 29
Force électrique 29
Force magnétique 29
1.3 Force faible 29
1.4 Force forte 31
2. FORCES DE CONTACT 31
2.1 Frottement solide (ou frottement sec ou loi de Coulomb) 31
Solides sans glissement relatif 31
Solides en mouvement relatif 33
Illustration 33
2.2 Frottement visqueux 35
Vitesse faible 35
Vitesse élevée 35
Transition vitesse faible/ vitesse élevée 37
2.4 Forces de tension 39
Ressort 39
Lame de ressort : 39
Tension d'un fil de masse négligeable. 39
RRN RT RRRN RT III
III. CINEMATIQUE 41
1. INTRODUCTION 41
2. DEFINITION DES VECTEURS POSITION, VITESSE ET ACCELERATION 41
2.1 Position 41
2.2 Vitesse 43
2.3 Accélération 43
3. DIFFERENTIELLE D'UN VECTEUR ET DERIVEE 43
3.1 Différentielle d'un vecteur unitaire dans un plan / dérivée 45
3.2 Différentielle /Dérivée d'un vecteur unitaire dans l'espace 49
3.3 Différentielle d'un vecteur quelconque: conclusion 49
4. VECTEURS DANS LES DIFFERENTS SYSTEMES DE COORDONNEES 51
4.1 Coordonnées cartésiennes 51
4.2 Coordonnées cylindriques (et polaires) 55
4.3 Coordonnées sphériques. 61
4.4 Coordonnées curvilignes, ou repère de Frenet. 65
5. CONCLUSION 69
ANNEXE: DIFFERENTIELLES DE SCALAIRES, VECTEURS... 69 u u1du O u u1du O IV
IV. MOMENTS. THEOREME DU MOMENT CINETIQUE.
APPLICATION : MOUVEMENT A FORCE CENTRALE 71
1. MOMENT D'UNE FORCE 71
2. MOMENT CINETIQUE 71
3. THEOREME DU MOMENT CINETIQUE 73
4. APPLICATION : MOUVEMENT A FORCE CENTRALE 75
5. EXTENSIONS : COUPLE, ET MOMENT PAR RAPPORT A UN AXE 77
5.1 Moment d'un couple 77
5.2 Moment par rapport à un axe 77
6. CONCLUSION 77
L(t)
L(t+dt)
m.dt L(t)
L(t+dt)
m.dt V
V. TRAVAIL, PUISSANCE, ENERGIE CINETIQUE 79
1.1 Définition différentielle 79
1.2 Travail sur un parcours 79
1.3 Exemple 81
1.4 Cas très particulier de la force constante 81
2. PUISSANCE 83
3. ENERGIE CINETIQUE 83
5. ENERGIE CINETIQUE: OUVERTURE RELATIVISTE 85
F dl A B VI
VI. ENERGIES POTENTIELLE ET MECANIQUE 87
1. FORCES CONSERVATIVES ET NON CONSERVATIVES 87
1.1 Forces conservatives 87
1.2 Forces non conservatives (dissipatives) 87
2. ENERGIE POTENTIELLE (FORCES CONSERVATIVES SEULEMENT) 89
3. FORCE ET ENERGIE POTENTIELLE 91
4. TRAVAIL ET ENERGIE POTENTIELLE 93
5. ENERGIE MECANIQUE 93
7. SYSTEMES NON DISSIPATIFS 95
7.1 Propriété 95
A B1 2 A B1 2 VII
VII. COLLISIONS 101
1. INTRODUCTION 101
2. CONSERVATION DE LA QUANTITE DE MOUVEMENT 101
3. DIMENSIONS DE LA COLLISION. 101
4. RELATION ENTRE LES VITESSES (MASSES CONSTANTES) 103
5. COLLISIONS ELASTIQUES (CONSERVATION DE Ec) 103
5.1 Propriétés 103
5.2 Collision élastique de deux masses identiques dont une est immobile. 105
5.3 Collision élastique directe 105
5.4 Collision élastique directe avec une masse immobile 107
6. COLLISION INELASTIQUE (NON CONSERVATION DE Ec). 109
7. COLLISIONS ET REPERE LIE DU CENTRE DE MASSE 111
7.1 Cas général 111
7.2 Collision élastique 111
7.3 Collision totalement inélastique (encastrement) 113
7.4 Changement de repère 113
VIII
VIII GRAVITATION 115
1. FORCES DE GRAVITATION 115
2. CHAMP DE GRAVITATION 115
3.1 Analyse du poids 117
3.2 Bilan 119
4. ACCELERATION LOCALE DE LA PESANTEUR 119
5. TRAVAIL ET ENERGIE POTENTIELLE (R>RT) 121
Fr
Fgrav.
Fr
Fgrav.
IX
IX. PROBLEME DES DEUX CORPS 123
1. LES DEUX CORPS (PONCTUELS, OU A SYMETRIE SPHERIQUE) 123
2. QUANTITE DE MOUVEMENT 123
3. CENTRE DE MASSE 125
4. PROPRIETES DU CENTRE DE MASSE 125
4.1 Quantité de mouvement. 125
4.2 Accélération du centre de masse 127
5. REPERE GALILEEN LIE A AU CENTRE DE MASSE 127
6. APPLICATION DU PRINCIPE FOND. DE LA DYNAM. DANS GXYZ 127
7. MOMENT CINETIQUE 129
8. THEOREME DU MOMENT CINETIQUE 131
8.1 Application du théorème 131
8.2 Conséquence : mouvement dans un plan 131
9. ENERGIE CINETIQUE DU SYSTEME 133
10. TRAVAIL DES FORCES GRAVITATIONNELLES 133
11. ENERGIE POTENTIELLE 135
12. ENERGIE MECANIQUE 135
V1 V2 G V1 V2 G X
X. PROBLEME DES DEUX CORPS: RESOLUTION 137
1. EQUATIONS DE DEPART 137
2. TRAJECTOIRE 139
3. MOUVEMENT CIRCULAIRE 143
4. ELLIPSE 143
4 .3 Lois de Kepler (ellipse) 145
4 .4 Equation horaire 147
5. ENERGIES 149
6. ORBITES ET CONDITIONS INITIALES 149
6 .1 Paramètres de la conique 149
6.2 Orbite elliptique 153
6.3 Orbite parabolique ou hyperbolique 155
7. SYNTHESE 157
V0
La vitesse V0croît
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Formules de changement de repère