[PDF] Exercices - Crans

Exercices - Crans

Soient E et F deux ensembles, et f: E → F une application 1) Soit A ⊂ E Montrer que, si fest injective, alors fA: A → f(A) est bijective 2) Soit B ⊂ F Montrer que, si fest injective, alors en posant A = f−1(B), la restriction fA: A → B est bijective mardi novembre — Walter Appel Divers/ensembleexo tex

BARYCENTRE - AlloSchool

repère Soient A 3;2 et B 4;1 Et soit ???? = ???????? {( , 1); ( , -5)} Solution : on a 4: 5 5 4 AB G AB G xx x yy y ­ °° ® ° °¯ donc 17 4 3 4 G G ­ °° ® ° °¯ Donc : 17 3; 44 G §· ¨¸ ©¹ Exercice1 : soit ABC un triangle et soit : I = ???????? {(B, 4); (C, -3)} Déterminer les coordonnées du point dans le repère R A AB AC

Ensembles Fonctions Cardinaux

Exercice 21 Soient A →−f B →g C →h D Montrer que si g f et h g sont bijectives alors f,g et h le sont également Exercice 22 Soit X un ensemble Si A ⊂ X on note χ A la fonction caractéristique associée Montrer que Φ : (P(X) → F(X,{0,1}) A 7→χ A est bijective Exercice 23 Soit E un ensemble non vide

Exercices Problèmes Rholus^&

Soient A et B deux parties ilon vides de W Montrer que : 1") Si A et B sont majorées, A u B est majorée et sup (AuB) = sup (supA, supB) 2") Si A et B sont minorée, A v B est minorées et inf (AuB) = inf (infA, infB) Solution 1") A et B sont des parties non vides majorées de R, soit a = sup A et p = sup B Soit M = sup (a, p)

Alg ebre 1-GROUPES

Proposition 1 6 Soient Gun groupe et Aune partie de G Alors il existe un plus petit sous-groupe H de Gcontenant A On l’appelle sous-groupe engendr e par Aet on le note hAi 3Attention en g en eral une r eunion de sous-groupes n’est pas un sous-groupe; cela marche ici parce qu’un el emen t x qui v eri e mx = 0 ou nx = 0 v eri e (mn)x = 0 4

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Exercice 10 Soient X et Y deux variables aléatoires

Exercice 10 Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes suivant toutes les deux une loi de Bernoulli de paramètre p ∈]0,1[ On pose U = X −Y et V = X +Y

Conception accessible pour l’environnement bâti

tous les secrets commerciaux que pourrait contenir ce document, qu’ils soient ou non protégés par des brevets ou des demandes de brevet Sans que soit limitée la portée générale du paragraphe, l’utilisation, la modification, la copie ou la divulgation non autorisée de ce document pourrait contrevenir aux lois

Fonctions réelles d’une variable réelle dérivables (exclu

Soit P un polynôme réel de degré supèrieur ou égal à 2 1 Montrer que si P n’a que des racines simples et réelles, il en est de même de P 0 2 Montrer que si P est scindé sur R, il en est de même de P 0

DICTÉES À LA CARTE - CCDMD

Quoique ce ne soit pas fréquent, certains trouvent l’emploi idéal tout en ne faisant pas grand-chose Mais pour la majorité des jeunes, quelque enthousiastes qu’ils soient, la partie n’est pas gagnée d’avance Même en travaillant d’arrache-pied2, il leur faudra quelque temps avant d’atteindre leur but3

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Exercices

de math´ematiques de Math Sp´e

Archive compl`ete

Lycée Henri-Poincaré, Nancy

Walter Appel

58 rue Notre-Dame des Anges

54000 Nancy

Voici quelques????exercices que j"utilise dans mes enseignements en prépa.

Un certain nombre d"entre eux viennent directement des oraux de concours; sont alors notés le nom de l"école ainsi que la

filière et l"année de la planche. Ils sont plus ou moins regroupés par années au sein de chaque fiche.

Les corrections sont données sans aucune garantie : tout le monde fait des erreurs, et je suis très loin de faire exceptionà

la règle. Vu le nombre d"erreurs que je retrouve encore régulièrement... Par conséquent, toute remarque est la bienvenue : on

peut m"écrire à walter.appel@prepas.org pour toute suggestion, rapport d"erreur etc.

J"espère que ces exercices pourront dépanner des collègues(notamment tous ceux qui se retrouvent avec une nouvelle classe

et qui ont besoin rapidement de nombreux exercices). J"ai également pas mal de feuilles de TD que je suis prêt à partager avec

qui veut (mais tout n"est pas encore prêt pour être mis sur le ouèbe, donc il suffit de m"écrire).

Note importante: il va sans dire qu"il n"y a pas de droit associé à ces exercices, que tout le monde en profite sans en tirer

profit (!), mais je tiens à préciser que beaucoup d"exercicesont été glanés çà et là chez des collègues (notamment M. Quercia,

N. François), chez mes anciens professeurs de Taupe (D. Suratteau et R. Lachaux), dans des bouquins, etc. Un bon nombre de

corrections sont dues à Éric Ricard, Marc Rezzouk et d"autres collègues. (Les erreurs en revanche ne sont dues qu"à moi.)Tout

ça reste donc bien entendu à l"usage privé des collègues et deleurs classes.

Premi`ere partie

Alg`ebre

Vocabulaire ensembliste, applications

?ENS.1

Montrer quef:

N2-→N(r,s)?-→2r(2s+ 1)est une bijection. ♦[Divers/ensembleexo.tex/alg:15]Utiliser la parit´e.?ENS.2 SoitEun ensemble quelconque. On ordonneP(E)par l"inclusion.

1)Est-ce un ordre total?

2)Existe-t-il un plus grand élément? Un plus petit élément?

3)SoientA,B?E. Trouver la borne supérieure et la borne inférieure deA={A,B} ?P(E).♦[Divers/ensembleexo.tex/alg:16]

Pas ordre total.supA= A?BetinfA= A∩B.?ENS.3

Eest un ensemble fini. Existe-t-il une injection (resp.une surjection,resp.une bijection) de E dansP(E)?

Même question siEest un ensemble infini.

Indication :Soitφune application deEdansP(E). On poseA ={x?E ;x /?φ(x)}. À l"aide de l"ensembleA, montrer

queφne saurait être surjective. ♦[Divers/ensembleexo.tex/alg:17] Siφ: E→P(E), on poseA ={x?E ;x /?φ(x)}, il n"a clairement pasd"ant ec´edent.?ENS.4

Eétant un ensemble, on désigne parF(E,E)l"ensemble des applications deEdansE. Montrer que?F(E,E),◦?est un

monoïde (unitaire). Quels sont les éléments symétrisables? Quels sont les éléments simplifiables à gauche (c"est-à-dire les

élémentsg?F(E,E)vérifiantg◦f=g◦f??f=f?pour toutf,f??F(E,E))? Quels sont ceux qui sont simplifiables à

Sym etrisables : les bijections.Simplifiable `a gauche : les injections.

Simplifiables

`a droite : les surjections.?ENS.5 SoientE,F, des ensembles, etf: E→Fune application deEdansF. SoientA,Bdes parties deE.

1)Montrer quef(B)?f(A)?f(B?A).

2)A-t-on égalité?

3)Montrer que l"égalité a lieu sifest injective.

4)En déduire que, sifest une bijection deEsurF, on a, pour tout partieAdeE:f(?EA) =?Ff(A).

5)Montrer que, siM?FetN?F,f?-1?(M?N) =f?-1?(M)?f?-1?(N).

6)Montrer que, siN?F, on af?-1?(?FN) =?Ef?-1?(N).♦[Divers/ensembleexo.tex/alg:19]?ENS.6

SoientEetFdes ensembles,fune application deEdansF. Montrer qu"il y a équivalence entre les énoncés :

(a)fest injective; (b)pour tout couple(X,Y)?P(E)2,f(X∩Y) =f(X)∩f(Y). (c)pour tout ensembleXet pour tout couple(φ,ψ)d"applications deXdansE, on a (f◦φ=f◦ψ) =?φ=ψ.♦[Divers/ensembleexo.tex/alg:20]?ENS.7 SoientEetFdeux ensembles, etf: E→Fune application.

1)SoitA?E. Montrer que, sifest injective, alorsf|A: A→f(A)est bijective.

2)SoitB?F. Montrer que, sifest injective, alors en posantA =f-1(B), la restrictionf|A: A→Best bijective.mardi?novembre????- WalterAppel?

Divers/ensembleexo.tex

vocabulaire ensembliste, applications? SoientE,F,Gtrois ensembles,f: E→Fetg: E→Gdeux applications. On considère h:

E-→F×Gx?-→?f(x),g(x)?.

1)Montrer que sifougest injective, alorshest injective.

2)On supposefetgsurjectives;hest-elle nécessairement surjective?

SoientE,F,Gtrois ensembles,f: E→Fetg: F→Gdeux applications.

1)Montrer que sig◦fest injective etfsurjective, alorsgest injective.

2)Montrer que sig◦fest surjective etginjective, alorsfest surjective.♦[Divers/ensembleexo.tex/alg:25]

1)On supposeg◦finjective etfsurjective.oSoientx,y?Ftels que

g(x) =g(y). Il existeu,v?Etels quex=f(u)ety=f(v), donc

g◦f(u) =g◦f(v)doncu=vet doncx=y.oDoncgest injective.2)On supposeg◦fsurjective etginjective.oSoity?F. Alorsg(y)?G,

etg◦f´etant surjective, il existex?Etel queg◦f(x) =g(y). Par injectivit e deg,y=f(x).o?ENS.10(b)

SoientAetBdeux ensembles.

Montrer queB?A?A?B = B.♦[Divers/ensembleexo.tex/alg:31]?ENS.11

SoientEun ensemble etf: E→Eune application telle quef◦f◦f=f. Montrer quefest injective si et seulement sifest

•On supposefinjective.

oSoitx?E. Alorsf(x) =f◦f◦f(x); par injectivit´e, on ax=f◦f(x), doncx?Imf.o

Doncfest surjective.

•On supposefsurjective.

oSoientx,y?Etels quef(x) =f(y). Par surjectovit´e def, il existex?tel quex=f(x?). De mˆeme, il existex??tel quex?=f(x??). On fait de mˆemepoury. Alors f◦f◦f(x??) =f◦f◦f(y??) doncf(x??) =f(y??) ce qui montre quex?=y?et, par suitex=y.o

Ainsi,fest injective.?ENS.12

SoientAetBdeux parties non vide d"un ensembleE. On considère l"application f:

P(E)-→P(A)×P(B)

X?-→(X∩A,X∩B).

1)Montrer quefest injective si et seulement siA?B = E.

2)Montrer quefest surjective si et seulement siA∩B =∅.

3)Dans le cas oùfest bijective, déterminerf-1.

SoientAetBdeux ensembles. On suppose qu"il existef: A→Binjective. Montrer qu"il existe une surjection deBsurA.

On poseC =f(A). Alorsef: A→Cest une bijection. On choisit mainteant a?Aet on poseh:

B-→Ax?-→(

asix /?C ef-1(x)six?C.

Pour la r

eciproque, l"axiome du choix est h´el`as n´ecessaire.

Divers/ensembleexo.tex

WalterAppel- mardi?novembre????

?vocabulaire ensembliste, applications?ENS.14 Soitf:R→Rune fonction. Écrire, avec des quantificateurs :

1)limx→+∞f(x) = 0;

2)la négation de la phrase précédente;

3)fest continue;

4)fn"est pas continue.♦[Divers/ensembleexo.tex/alg:49]?ENS.15

Soit(un)n?Nune suite numérique. Écrire, avec des quantificateurs :

1)limn→∞un= 0;

2)la négation de la phrase précédente;

3)(un)n?Nconverge;

4)(un)n?Ndiverge.♦[Divers/ensembleexo.tex/alg:49b]?ENS.16(Un peu de logique)

On vous présente quatre cartes imprimées sur les deux faces.On sait que chaque carte présente une lettre sur une face et un

chiffre sur l"autre face. Posées sur la table, les quatre cartes présentent les symboles suivants :

A B 2 3

Par ailleurs, on vous précise que la règle d"impression des cartes est la suivante : " Si une face présente une voyelle, alors l"autre face présente un chiffre pair ».

Quelle(s) carte(s) faut-il retourner pour vérifier la règle?♦[Divers/ensembleexo.tex/alg:50]Il faut retourner " A » et " 3 ».?ENS.17(b)

SoientE,F,GetHquatre ensemble, etf: E→F,g: F→Geth: G→Htrois applications. On suppose queg◦feth◦g

sont bijectives. Montrer quef,getgsont bijectives.♦[Divers/ensembleexo.tex/alg:51]?ENS.18

SoitEun ensemble etp: E→Eune application telle quep◦p=p. Montrer qu"il y a équivalence entre les énoncés :

(a)finjective; (b)fsurjective; (a)?(c)Supposonspest injective.oSoity?E, alorsp(y) =p`p(y)´ donc, par injectivit e,y=p(y).oAinsi,pest surjective, donc bijective.

(b)?(c)Supposonspsurjective.oSoientx,y?Etels quep(x) =p(y).Alors il existeu,v?Etels quex=p(u)ety=p(v), ce qui montre

p

2(u) =p2(v)doncp(u) =p(v)doncx=y.o

Ainsi,pest injective, donc bijective.?ENS.19(?)

SoitEun ensemble, soitA?P(E). On note

A -=?B?P(E) ; B?A?A+=?C?P(E) ; A?C?etA?= A-×A+. On considère l"applicationf:P(E)→A?définie par ?X?P(E)f(X) = (X∩A,X?A). Vérifier quefest une bijection.mardi?novembre????- WalterAppel

Divers/ensembleexo.tex

vocabulaire ensembliste, applications? SoitEun ensemble. Pour toute partieAdeE, on définit les applications A:

P(E)-→P(E)

X?-→X∩AetψA:

P(E)-→P(E)

X?-→X?A.

Montrer qu"il y a équivalence entre les énoncés : (a)φAinjective; (b)φAsurjective; (c)A = E. Proposer un énoncé similaire pour l"applicationψ. ♦[Divers/ensembleexo.tex/div:69] il y a equivalence entre les´enonc´es : (a)ψAinjective;(b)ψAsurjective; (c)A =∅.?ENS.21(??) SoientEetFdeux ensembles. Soitf: E→Fune application. On définit l"application f:

P(F)-→P(E)

B?-→f-1(B).

Montrer que

?fest injective si et seulement sifsurjective, et et de même, que?fest surjective si et seulement sifinjective.

Remplir les tables de vérités des opérateurs logiquesxor(disjonction " ou inclusif »),xor(ou exclusif),and(conjonction

" et »),?(" implique ») et?(si et seulement si ) : andV F VF orV F VF xorV F VF ?V F VF ?V F VF ♦[Divers/ensembleexo.tex/div:181] andV F V V F F F F orV F V V V F V F xorV F V F V F V F ?V F V V F F V V ?V F V V F F F V ?ENS.23

SoientPetQdeux assertions. Sachant que chacun des énoncés suivants est équivalent à l"assertionP ? Q, remplacer les

pointillés par les lettresPetQ:

1)...implique....

2)Pour que...soit vraie, il suffit que...soit vraie.

3)Une condition nécessaire pour que...soit vraie est que...le soit.

4)Une condition suffisante pour que...soit vraie est que...le soit.♦[Divers/ensembleexo.tex/div:184]

1)PimpliqueQ.

2)Pour queQsoit vraie, il suffit quePsoit vraie.3)Une condition n´ecessaire pour quePsoit vraie est queQle soit.

4)Une condition suffisante pour queQsoit vraie est quePle soit.Divers/ensembleexo.tex

WalterAppel- mardi?novembre????

?vocabulaire ensembliste, applications?ENS.24 Les assertions suivantes sont elles vraies ou fausses ?

1)Une condition suffisante pour qu"un nombre réel soit supérieur ou égal à2est qu"il soit supérieur ou égal à3.

2)Pour qu"un entier soit supérieur ou égal à4, il faut qu"il soit strictement supérieur à3.

3)Pour qu"un nombre réel soit strictement supérieur à2, il suffit que son carré soit strictement supérieur à4.

4)?x?Z?y?Nx?-y2.

5)?x?Z?y?Nx?-y2.

6)?x?Z?y?Nx?-y2.

1)Vrai,

2)Vrai,

3)Faux,4)Vrai (x=y= 0),

5)Faux (x= 1),

6)Faux (y2=|x|+ 1),

7)Faux (x= 0,y= 1).?ENS.25♦[Divers/ensembleexo.tex/div:186]?ENS.26(??)

X MP - 2003

TrouverE =?f:N→N;f+f◦f+f◦f◦f= 3 IdN?.♦[Rec03/ensemble-r3.tex/r3:68]

Solution de Philippe Ch

ˆateaux (la mienne´etait plus longue et plus compli- qu ee...) Soitf?E. Cette fonction v´erifie donc, pour toutn?N: f(n) +f`f(n)´+f`f`f(n)´´= 3n.(?.?) Notons tout d"abord quefest trivialement injective.

On en d

eduit quef(0) = 0.On poseA =n?N;f(n)?=n¯. SupposonsA?=∅et posons a= minA. Alorsf(a)?=adonc, par injectivit´e,f(a)> a, puisf`f(a)´?aet f`f`f(a)´´?a, contradiction.

Ou bien par r

ecurrence. On supposef(k) =kpour toutk?[[0;n-1]], alors par injectivit ef(n)?npuisf`f(n)´?netf`f`f(n)´´?n, donc f(n) =net la r´ecurrence peut avancer.

Conclusion :E ={IdN}.?ENS.27(b)

Centrale PC - 2003

SoientE,F,Gtrois ensembles et des applications

E f----→Fg----→G.

1)Montrer que sig◦fest injective, alorsfest injective.

2)Montrer que sig◦fest injective etfest surjective, alorsgest injective.

3)Montrer que sig◦fest surjective, alorsgest surjective.

4)Montrer que sig◦fest surjective etginjective, alorsfest surjective.♦[Rec03/ensemble-r3.tex/r3:388]

Encore un scandale : il suffit d"

ecrire!!!

1)On supposeg◦finjective etfsurjective.oSoientx,y?Ftels que

g(x) =g(y). Il existeu,v?Etels quex=f(u)ety=f(v), donc

g◦f(u) =g◦f(v)doncu=vet doncx=y.oDoncgest injective.2)De1)on d´eduit quefest bijective, l"injectivit´e degest imm´ediate.

3)On supposeg◦fsurjective etginjective.oSoity?F. Alorsg(y)?G,

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