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Groupes, anneaux, corps

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Feuille d’exercice n 11 : Groupes, anneaux, corps

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On fournit d’abord des exemples de groupes : dans les deux premiers cas et le dernier, il s’agit de groupes ab´eliens Les deux autres (comme la plupart des groupes fonctionnels) sont non commutatifs •Z, Q, R, Cmunis de la somme •Q∗, R∗, C∗, U, Unmunis du produit

Exercice Algebre Theorie Des Groupe

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CENT CINQUANTE-SEPT EXERCICES D’ALGÈBRE POUR LE SIXIÈME

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PCSI

1FEUILLE D"EXERCICES 152009-2010

GROUPES - ANNEAUX - CORPS

GROUPES - SOUS-GROUPES - MORPHISMES

Exercice 1

Les ensembles suivants sont-ils des groupes?

Exercice 2

Soita;b2Z, deux entiers fixés. On définit surZla loi de composition interne parxy:=ax+by.

1. A quelle condition nécessaire et suffisante portant sur(a;b)la loiest-elle commutative?

2. A quelle condition nécessaire et suffisante portant sur(a;b)la loiest-elle associative?

Exercice 3

Soit une fonctionf:R!R.

On appellepériodedeftout réelTvérifiant :8x2R,f(x+T) =f(x).

1. Montrer queT, l"ensemble des périodes def, est un sous-groupe de(R;+).

2. DéterminerTsifest définie par :

(a)f(x) = sin(x) (b)f(x) = exp(x) (c)f(x) =xE(x) (d)f(x) = 1Z(x)(fonction indicatrice deZ) (e)f(x) = 1Q(x) (f)f(x) =E(sin(x)) (g)f(x) = sin(E(x))

3. On appellela périodedef, si elle existe, le plus petit élément deT \]0;+1[. Déterminer,

lorsqu"elle existe, la période des fonctionsfprécédemment étudiées.

Exercice 4

SoitG, un ensemble muni d"une LCI associativevérifiant les deux propriétés :

9e2Gj 8x2G; xe=xet8x2G;9x02Gjxx0=e.

Montrer que(G;)est un groupe.

Exercice 5

-1/12-Lycée Faidherbe, Lille PCSI

1FEUILLE D"EXERCICES 152009-2010

Soit(G;)un groupe de neutree, dans lequel tout élément est involutif (i.e)8x2G,x2=e.

Montrer que(G;)est un groupe abélien.

Exercice 6

Soit(G;)un groupe dans lequel :8x;y2G,(xy)2=x2y2.

Montrer que(G;)est un groupe abélien.

Exercice 7

On rappelle que, dans le plan, la composée de deux symétries axiales est une rota- tion ou une translation.

1. Déterminer l"ensembleGdes isométries du plan (rotation, symétrie axiale, centrale, translation)

qui laissent globalement invariant un triangle équilatéral. Montrer que(G;)est un groupe.

Vérifier qu"il comporte 6 éléments. Est-il abélien? Quels sont ses sous-groupes éventuels?

Ce groupe est-il isomorphe àU6?

2. Mêmes questions pour un carré, un rectangle, un cercle!

Exercice 8

Dans le planP, on définit la loiAB=le milieu du segment[AB]: c"est claire- ment une LCI sur le plan.

1.est-elle commutative?

2.est-elle associative?

3.possède-t-elle un élément neutre?

4. Montrer queestauto-distributivei.e :8A;B;C2 P,A(BC) = (AB)(AC).

Exercice 9

Soit l"ensembleE=f2p

2q+1j(p;q)2Z2g. Montrer que(E;+)est un groupe.

Exercice 10

SurR, on définita^b:=max(a;b)eta_b:=min(a;b).

1. Montrer que la loi^est distributive sur elle-même.

2. Montrer que^et_sont distributives l"une par rapport à l"autre.

Exercice 11

On poseG=]1;+1[. On définit la loipar :ab=a+b

1 +ab.

1. Montrer que(G;)est un groupe abélien.[0;1[est-il un sous-groupe de(G;)?

2. Montrer que, pour tout entiern0eta2G,a(n)=aa=Pn(a)

Q n(a), oùPnetQnsont des

polynômes vérifiantPn(a) +Qn(a) = (1 +a)n. Déterminer les parités de ces polynômes et les

expliciter.

3. Montrer que l"application Th, tangente hyperbolique, réalise un isomorphisme de(R;+)vers

(G;). Exploiter ces résultats pour calculer Th(nx)en fonction de Th(x) -2/12-Lycée Faidherbe, Lille PCSI

1FEUILLE D"EXERCICES 152009-2010

Exercice 12

SoitG=]1;+1[muni de la loioùab=a+b

1 +ab.

1. Montrer que(G;)est un groupe abélien.

2. Soitx, un réel strictement positiffixé. On forme l"ensembleHx=xn1

x n+ 1jn2Z

Montrer queHxest un sous-groupe de(G;).

Exercice 13

Soit(G;)un groupe de neutree, ayant exactement trois éléments. Soitx, un élément autre quee. Montrer queG=fe;x;x2g, quex3=e, que(G;)est abélien.

Trouver un exemple simple de tel groupe.

Exercice 14

Montrer qu"on peut définir une loi de composition interne surRen posant

8(x;y)2R2; xy= ln(ex+ey). Etudier ses propriétés : commutativité, associativité, élément

neutre, éléments inversibles.

Exercice 15

Montrer qu"on peut définir une loi de composition interne surRen posant

8(x;y)2R2; xTy= (x3+y3)1=3. Etudier ses propriétés : commutativité, associativité, élément

neutre, éléments inversibles. Montrer que(R;+)et(R;T)sont isomorphes, c"est à dire qu"il existe un morphisme de groupes bijectif de(R;+)dans(R;T).

Exercice 16

Etudier les propriétés sur[0;1[de la loiavecab:=a+bE(a+b).

Exercice 17

Etudier les propriétés des loissuivantes sur les ensemblesGdonnés .

Le cas échéant, déterminer, si c"est possible, un sous-ensembleHqui, muni de la loi, soit un groupe :

1.G=]0;+1[,ab=aln(b)2.G=R,ab=a+b

2

3.G=R,ab=ja+bj

4.G=R,ab=a+b+ab5.G=R,ab=1

a +1 b

6.G=R,ab= ln(ea+eb)

7.G=]0;+1[,ab=ab

Exercice 18

On définit la loipar :xy=x+yxyet on poseG=Rn f1g.

1. Montrer que(G;)est un groupe abélien.

2. On définit l"application'par'(x) = 1x. Démontrer que'réalise un isomorphisme de

groupes de(G;)vers(R;).

3. Utiliser la question précédentes pour calculerx(n)=x x, pourx2Getnentier.

-3/12-Lycée Faidherbe, Lille PCSI

1FEUILLE D"EXERCICES 152009-2010

Exercice 19

Pour chacune des lois suivantes, montrer qu"il existe un réelatel queE=R fag, muni de, est un groupe. Montrer également queEest isomorphe à(R;).

1.ab=a+b+ 2ab.

2.ab=a+b+ab.

3.ab=ab2(a+b) + 6.

Exercice 20

Trouver une condition nécessaire et suffisante portant sur(a;b;c)2R3pour que (R;)soit un groupe avec :8(x;y)2R2; xy=a(x+y) +bxy+c:

Exercice 21

Soit(G;)un groupe. On définit l"application'par :8x2G,'(x) =x1. Montrer que : (Gest abélien ),('est un automorphisme deG).

Exercice 22

SurR, on définit :xy=xp

1 +y2+yp

1 +x2. Montrer que(R;)est un groupe

abélien, puis que Sh est un isomorphisme de groupes de(R;+)vers(R;).

Exercice 23

SurE= [1;+1], on définit :xy=xp

1y2+yp

1x2.(H;)est-il un groupe?

On pourra s"aider de la fonctionsin.

Exercice 24

Soitf, une bijection deRvers un ensembleI.

On définit surIla loiparab=f(f1(a) +f1(b)).

Montrer que(I;)est un groupe abélien.

Application

: expliciterIetsif(x) = arctan(x),f(x) = exp(x),f(x) =x3,f(x) =3p x, f(x) =Th(x),f(x) = 2x+ 1,f(x) =1 x six6= 0etf(0) = 0,f(x) =Sh(x).

Exercice 25

Soit, un complexe fixé et', l"application définie par'(z) =z+z. Montrer que'est un endomorphisme de(C;+), dont on déterminera noyau et image. 'est-il un endomorphisme de(C;)?

Exercice 26

On munitZ2de la loidéfinit par(a;b)(c;d) = (a+c;b+d).

1. Vérifier que(Z2;)est un groupe.

2. On définit l"applicationf:

Z 2!R (a;b)7!f(a;b) =a+boùest un réel fixé.

Montrer quefest un morphisme de groupes.

3. Montrer quefest injective si, et seulement si =2Q.

-4/12-Lycée Faidherbe, Lille PCSI

1FEUILLE D"EXERCICES 152009-2010

Exercice 27

Soit(G;)un groupe de neutree. On définit le centre deGpar

C(G) =fx2Gj 8y2G; xy=yxg.

1. Montrer queC(G)est un sous-groupe abélien deG.

2. On dit qu"un sous-groupeHdeGestdistinguési :8h2H,8g2G,ghg12H.

Montrer que les sous-groupes triviauxfegetGsont distingués, puis que le centreC(G)est distingué.

Que se passe-t-il si(G;)est abélien?

Exercice 28

On définit surG=RRla loipar :(a;b)(x;y) = (ax ; ay+b x

1. Montrer que(G;)est un groupe. Est-il abélien?

2. Déterminer le centre deG(i.e) l"ensemble des éléments commutant avec tous les éléments de

G.

3. Montrer queR f0g,f1g R,QQsont des sous-groupes deG. Sont-ils abéliens?

4. Soitk, un réel fixé et l"ensembleHk=f(x;k(x1

x )jx2Rg. Montrer queHkest un sous-groupe abélien deG.

Exercice 29

SurC, on définit la loipar :(a+ib)(x+iy) :=ax+i(ay+bx).

1. DéterminerJ, l"ensemble des éléments deCinversibles pour.

2. Montrer que(J;)est un groupe abélien.

3. On définit l"ensembleG=fz=et+itetjt2Rg: montrer queGest un sous-groupe de(J;).

4. Montrer que la conjugaison est un endomorphisme de(J;).

Exercice 30

SurE=R+R, on définit la loipar(x;y)(a;b) := (xa;xb+y). (E;)est-il un groupe?

Exercice 31

SurE=RR, on définit la loipar(x;y)(a;b) := (xa;nxb+yan), oùn2Z (entier fixé).(E;)est-il un groupe?

Exercice 32

SurE=R2, on définit la loipar(a;b)(x;y) := (a+x;bex+yea). (E;)est-il un groupe?

Exercice 33

-5/12-Lycée Faidherbe, Lille PCSI

1FEUILLE D"EXERCICES 152009-2010

1. Montrer que les sous-groupes de(Z;+)sont exactement de la formenZ(ensemble des multiples

den) pourn2N.

2. SoitnZetmZ, deux sous-groupes deZ. Prouver l"équivalence :

(mZest un sous-groupe denZ),(ndivisem).

3. Déterminer3Z\15Z,28Z\15Z,12Z\15Z. Conclusion?

4. Construire le plus petit sous-groupe deZcontenant2et5. Même question avec12et30.

Conclusion?

Exercice 34

Montrer que l"intersection de deux sous-groupes est un sous-groupe.

Déterminer12Z\15Z,U12\U15.

Prouver, à l"aide d"un exemple que c"est faux en général pour la réunion. Plus précisément : montrer

que la réunion de deux sous-groupes est un sous-groupe si, et seulement si l"un des deux est inclus

dans l"autre.

Exercice 35

SoitHetK, deux sous-groupes d"un groupe(G;). Prouver l"équivalence : (H[K=G),(H=GouK=G).

Exercice 36

SoitHetK, deux sous-groupes d"un groupe(G;). Prouver l"équivalence : (H[Kest un sous-groupe deG),(HKouKH).

Exercice 37

Soit(G;), un groupe fini (i.e contenant un nombre fini d"éléments). SoitHun sous groupe deGtel que card(H)>1 2 card(G). On veut montrer qu"alorsH=G.

Pour cela, on raisonne par l"absurde.

1. Supposons qu"il existex2Gtelq uex =2H. Montrer que l"application'xdéfinie surHpar

'(h) =hxest une bijection deHvers l"ensemble que l"on notera "Hx», ensemble des éléments deGqui peuvent s"écrirehxavech2H.

2. Que peut-on en déduire quant aux cardinaux deHet deHx.

3. Que peut-on en déduire quant à l"intersection deHet deHx?

4. En déduire quex2H. Conclure.

Exercice 38

Soit(G;), un groupe fini (i.e contenant un nombre fini d"éléments). SoitAetBdeux sous-groupes deGtels que card(A) +card(B)>card(G). On veut montrer qu"alors "G=AB», autrement dit que8x2G,9(a;b)2AB,x=ab. -6/12-Lycée Faidherbe, Lille PCSI

1FEUILLE D"EXERCICES 152009-2010

1. Pour toutx2G, on considère l"application xdéfinie surApar x(a) =a1x: montrer que

xest une bijection deAvers l"ensemble notéA1x, l"ensemble des éléments deGque l"on peut écrirea1x, aveca2A.

2. Que peut-on en déduire concernant les cardinaux deAetA1x?

3. Que peut-on en déduire quant à l"intersection deA1xetB?

4. Conclure.

Exercice 39

On définit la loisurCpar :ab:=ab.

1.(C;)est-il un groupe?

2.(C;)est-il un groupe?

Exercice 40

On rappelle que(C;)est un groupe abélien.

1. Pourn2N, on définitUn=fz2Cjzn= 1g:(Un;)est-il un groupe?

2. On définitU=fz2Cj jzj= 1g:(U;)est-il un groupe?

3. On définitT=[

n2NU n=U1[U2[U3[::::(T;)est-il un groupe?

Remarque

:(z2 T),(9p2N; z2Up),(9p2N; zp= 1).

Exercice 41

On pose'(z) =z4: Montrer que'est un automorphisme deU5.

Exercice 42

On pose':

(Un;)!(Un;) z7!'(z) =zpoùpetnsont des entiers naturels.

1. Vérifier que'est bien définie.

2. Montrer que'est un morphisme de groupes.

3. Déterminer ses noyau et image lorsque(n;p) = (6;2),(5;2),(4;2),(6;3),(5;3),(4;3),(6;4),

(5;4),(4;4). Préciser les cas où'est injectif? surjectif? bijectif?

Exercice 43

On noteR2[X], l"ensemble des polynômes à coefficients réels et de degré inférieur

ou égal à deux. On vérifie sans problème que(R2[X];+)est un groupe abélien. Pour tout polynôme

P(X), on définit'(P(X)) =X:P0(X) + 2P(X). Montrer que'est un morphisme de groupe de R

2[X]dans lui-même (endomorphisme), puis chercher son noyau et son image.

Exercice 44

On noteC0etC1les sous-ensembles deRRconstitués respectivement des fonctions

continues et des fonctions dérivables à dérivées continues. Montrer que(C0;+)et(C1;+)sont des

-7/12-Lycée Faidherbe, Lille PCSI

1FEUILLE D"EXERCICES 152009-2010

groupes. Etudier les applications suivantes ( rechercher éventuellement noyau et image ) : C 0!R f7!'(f) =Z 1 0 f,: C 1!C0 f7!(f) =f0,: C 0!R f7!(f) =Z 1 0 f2.

Exercice 45

On définit surRla loi suivante :xy=3p

x 3+y3.

1. Montrer que(R;)est un groupe abélien.

2. Montrer que(R;)est isomorphe à(R;+)(cela revient à exhiber un isomorphisme entre les

deux ensembles).

Exercice 46

SoitG, un groupe, et l"applicationfdéfinie par :8x2G,f(x) =x1(symétrique dex). L"applicationfest-elle un endomorphisme du groupeG?

Exercice 47

Soita, un élément d"un groupe(G;).

On définit l"application'a:G!Gpar'a(x) =axa1.

1. On appelle automorphisme deGtout morphisme bijectif deGdans lui-même, et on note

Aut(G)l"ensemble des automorphismes deG. Montrer que(Aut(G);)est un groupe.

2. Montrer que'aest un automorphisme deG(appeléautomorphisme intérieurdeG) .

3. Montrer que l"application:G!Aut(G),a7!(a) ='aest un morphisme.

Quel est le noyau de?

4. On note Int(G) =Im(). Montrer que Int(G)est stable par tout automorphisme intérieur de

Aut(G).

Exercice 48

Siaetbsont deux réels, on définit l"application affinefa;b:R!Rpar :8x2R, f(x) =ax+b.

1. Calculerfa;bf;.

2. On noteA=ffa;bj(a;b)2R2g, l"ensemble de toutes ces applications affines. Vérifier que

la loi de composition "» est une LCI surA, associative : en déterminer le neutre. Est-elle commutative?

3.(A;)est-il un groupe?

4. On noteG=ffa;bj(a;b)2RRg. Montrer que(G;)est un groupe. En déterminer quelques

sous-groupes. -8/12-Lycée Faidherbe, Lille PCSI

1FEUILLE D"EXERCICES 152009-2010

Exercice 49

SoitD=f:C!Ctelles que:9(a;b)2C2;vérifiantjaj= 1et8z2C; f(z) =az+b

1. Montrer que(D;)est un groupe non commutatif (désigne la loi de composition).

2. On considère l"ensemble suivant :T=ff2 D;9b2C;8z2C; f(z) =z+bg:

3. Montrer que(T;)est un groupe.

4. Montrer que(T;)est isomorphe à(C;+), c"est à dire qu"il existe un morphisme bijectif de

(T;)vers(C;+).

5. Montrer que :8f2 D;8g2 T; f1gf2 T:

Exercice 50

On rappelle que, pour tout entiern2N, il existe un et un seul polynômeTn(poly- nôme de Tchebycheff) vérifiant :82R,Tn(cos) = cos(n). On a :T0= 1,T1=X,T2= 2X21, et pourn0,Tn+2= 2XTn+1Tn. On définit l"ensembleT= l"ensemble des polynômes de Tchebycheff.

1. Vérifier :8n;m2N,TmTn=Tnm.

2. Que peut-on en déduire concernant(T;)?

Exercice 51

On munitR2de la loidéfinie par(x;y)(a;b) = (xa;yb).

1. Quel est le neutre deR2pour la loi?

2. On appelleD, le sous-ensemble (droite?) deR2constitué des éléments de la forme(a;0), avec

a2R. Vérifier queDest stable par.

3. Déterminer le neutre de la loisurD.

4. Conclusion?

Exercice 52

Montrer que(Q;+)et(Q+;)ne sont pas des groupes isomorphes. Indication : raisonner par l"absurde et utiliser2 =f() =f( 2 2

Exercice 53

Montrer que(R;)et(C;)ne sont pas des groupes isomorphes. Indication : raisonner par l"absurde et utiliseri=f()etf(2) ==f(1)car ...

ANNEAUX-CORPS

Exercice 54

SoitE=fx2Rj 9n2Z;10nx2Zg=fp

10 njp2Z; n2Ng.

Montrer que(E;+;)est un anneau.

-9/12-Lycée Faidherbe, Lille PCSI

1FEUILLE D"EXERCICES 152009-2010

Exercice 55

Soit(A;+;), un anneau commutatif. On noteAl"ensemble des éléments inver- sibles deAi.eAest l"ensemble des élémentsxdeApour lesquels il existe un élémentydansAtel quexy= 1A.

1. Démontrer que(A;)est un groupe abélien. On l"appelle groupe des unités de l"anneauA.

2. Ecrire une condition simple caractérisant le fait queAsoit un corps.

3. Application : qui sontR?Q?Z?(RN),(RR)?

Exercice 56

SoitEun ensemble non vide. On notela différence symétrique surP(E), c"est

à dire :

8(A;B)2(P(E))2; AB= (AnB)[(BnA) = (AB)[(BA):

1. VérifierAB= (A\B)[(A\B) = (A[B)(A\B).

2. CalculerAApourA2 P(E):

3. On admet que la loiest associative. Montrer que(P(E);;\)est un anneau commutatif

dont on précisera les éléments neutres. On précisera de plus l"opposé d"un élément quelconque

deP(E):On décrira de plus le groupe des inversibles de(P(E);;\).

4. L"anneau(P(E);;\)est-il intègre?

5. PourAE;on note

Ale complémentaire deA.

Montrer que :8(A;B)2(P(E))2;

A B=AB: Dorénavant, nous disposons donc d"un certain nombre de règles de calcul sur(P(E);;\), et pour résoudre les question suivantes, on peut "oublier" la définition de.

6. Soit(A;B)2(P(E))2:Résoudre l"équationAX=Bd"inconnueX:

7. Vérifier :8(A;B;C;D)2(P(E))4;(AB=CD),(AC=BD),(AD=BC):

Exercice 57

Soit(d;n)2(Nnf0g)2:SoitAun anneau, soita2A:On note1l"élément neutre deApour la multiplication. Montrer que siddivisen, alors(ad1)divise(an1), c"est à dire :9b2A;(ad1)b= (an1) (indication : utiliser une identité remarquable sur les anneaux).

Exercice 58

SoitAun anneau intègre et commutatif.

Montrer que si(x;y)2A2;alors :x2=y2,(x=youx=y):

Exercice 59

On dit qu"un élémentad"un anneau(A;+;)estnilpotents"il existen2Ntel quean= 0.quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35