[PDF] Dans ce chapitre, le plan est rapporté à un repère orthonormé

TD : La droite dans le plan

Exercice18 Le plan est rapporté au Repère orthonormé : O i j;; et Soient les points A 1,2 ; B3, 2 Et les droites : D x y 1:6 3 2 0 et:3 2 1 0D x y 2 1)montrer que les droites D 1 et D 2 sont sécantes et déterminer le point d’intersection H (x ; y) 2) Donner une équation cartésienne de la droite (AB)

Dans ce chapitre, le plan est rapporté à un repère orthonormé

Dans ce chapitre, le plan est rapporté à un repère orthonormé 1 Rappels de seconde 1 1 Vecteur directeur d’une droite Définition 1 On appelle vecteur directeur d’une droite dtout vecteur −→ AB où Aet B sont deux points distincts de d Un vecteur →u est un vecteur directeur d’une droite ds’il existe deux

La droite dans le plan - alloschoolcom

Exercice6 : Le plan est rapporté au Repère orthonormé et soit m un paramètre réel Discuter suivant les valeurs de m la colinéarité de u et v dans chaque cas : 1) um 3;2 1 et vm 2; 2) um ;1 et vm1; système Réponse 1) : on a : det ; 3 2 2 1 3 4 2 2 32 21 u v m m m m m mm u det ; 0 uv 20 ssi m ssi m 2

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal ( ) n° 1

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal (O, ,uv) Ex 1 : z est le nombre complexe tel que z 2 et arg (z)= π/3 On pose Z= z3 a) Donner le module de Z et un argument de Z b) Donner l’écriture algébrique de z c) Donner l’écriture algébrique de Z Ex2 Déterminer l’écriture trigonométrique des nombres complexes suivants : 2

1 Rappels de seconde - WordPresscom

Dans ce chapitre, le plan est rapporté à un repère orthonormé 1 Rappels de seconde 1 1 Vecteur directeur d’une droite Définition 1 On appelle vecteur directeur d’une droite dtout vecteur −−→ AB où Aet Bsont deux points distincts de d Un vecteur →u est un vecteur directeur d’une droite ds’il existe deux points

Ex sur les coniques

5 Dans le plan rapporté à un repère orthonormé O, ,i j , on considère la courbe C d’équation cartésienne 2 2 4 y x y Démontrer que C est une parabole Déterminer son sommet, son foyer et sa directrice 6 Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct O, ,i j , tracer la courbe C d’équation polaire 1

Source :Examen Sénégal - SENE-CLASSES

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé tel que ; l’unité est le centimètre 1) a) Résoudre dans l’équation Les solutions seront données sous forme trigonométrique et sous forme algébrique (0,75 pt) b) En remarquant que , déduire de 1)a) les solutions de l’équation (0,75 pt)

Année Scolaire Classes 4éme Séries Complexe N°2

2/ Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormé direct (O,u ,v ) On considère les points A et B d’affixes respectives 2i et −3 i a) Ecrire sous forme trigonométrique les nombres complexes 2i et −3 i b) Placer, dans le plan P les points A et B c) Soit C le point du plan tel que :AC =OB Déterminer l’affixe du point C

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3) Soit (P) le plan complexe rapporté à un repère orthonormé directe et le point d’affixe a) Déterminer la nature de la transformation F qui au point associe le point d’affixe b) Donner ses éléments caractéristiques 4) pour tout entier naturel n on pose

I – (1,5 points)

1) Montrer que la droite (AB) est perpendiculaire en B au plan (P) 2) Soit (T) le cercle dans le plan (P) de centre B et de rayon 5 Montrer que le point C appartient à (T) 3) Ecrire une équation du plan (Q) déterminé par A, B et C 4) On désigne par (d) la droite perpendiculaire en C au plan (Q)

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Chapitre ## : Géométrie repérée

1 re-Spécialité mathématiques, 2019-2020 Dans ce chapitre, le plan est rapporté à un repère orthonormé.

1. Rappels de seconde

1.1. Vecteur directeur d"une droite

Définition 1.

On appelle vecteur directeur d"une droitedtout vecteur-→ABoùAetBsont deux points distincts ded.

Un vecteur-→uest unvecteur directeurd"une droiteds"il existe deux points distinctsAetBdedtels que-→AB=-→u.

Propriété 1.

?A? B -→u AB d

Remarque 1.

•Un vecteur directeur d"une droite ne peut pas être nul car lespointsAetBsont distincts.

•Si-→uest un vecteur directeur de la droited, alors tout vecteur colinéaire à?uest aussi vecteur directeur

ded. Exemple 1.Dans un repère du plan, on donne les pointsA(2;-5),B(-4;10)et le vecteur?u(-2;6). Le vecteur?uest-il un vecteur directeur de la droite(AB)? Soitdune droite du plan, le pointAappartient àdet-→uest un vecteur directeur ded.

Un pointMdu plan appartient àdsi et seulement si les vecteurs-→uet--→AMsont colinéaires, c"est-à-dire

det(-→u;--→AM) = 0.

Propriété 2.

Exemple 2.Soitdla droite de vecteur directeur-→u(4;2)passant par le pointA(-3;-3). Montrer que le

pointM(11;4)appartient à la droited.

1.2. Équation cartésienne d"une droite

Définition 2.

Dans un repère du plan, toute droitedadmet une équation de la forme :ax+by+c= 0avec(a;b)?= (0;0).

Cette équation est appeléeéquation cartésienneded.

Remarque 2.

Une droite admet une infinité d"équations cartésiennes. Ainsi, la droitedd"équation3x-y+1 = 0a aussi

pour équation6x-2y+ 2 = 0ou toute équation équivalente. a,betcsont des nombres réels avec(a;b)?= (0;0). Dire quedadmet pour équationax+by+c= 0signifie qu"un pointM(xM;yM)appartient à la droited si, est seulement si, ses coordonnées vérifient cette équation (axM+byM+c= 0).

Propriété 3.

1/3 Exemple 3.Soitdla droite du plan d"équationd:-5x+ 3y-8 = 0. Le pointA(2;6)appartient-il àd?

Même question pour le pointB(-2;-1)?

Dans un repère du plan, toute droite admettant une équation de la forme :ax+by+c= 0avec (a;b)?= (0;0)admet?u(-b;a)commevecteur directeur.

Propriété 4.

Exemple 4.Dans un repère du plan, on donne le pointA(2;-5)et le vecteur?u(-2;6). Déterminer une

équation cartésienne de la droitedpassant parAet de vecteur directeur?u.

Exemple 5.Dans un repère du plan, déterminer une équation cartésiennede la droitedpassant par les

pointsC(-2;1

2)etD(4;-3).

2. Vecteur normal à une droite

Définition 3.

Dire qu"un vecteur non nul-→nest unvecteur normalà une droite dsignifie que-→nest orthogonal à un vecteur directeur de la droited.d -→u-→ n

Conséquences :

•Deux droites sont orthogonales si, et seulement si, elles admettent des vecteurs normaux orthogonaux.

•Deux droites sont parallèles si, et seulement si, elles admettent des vecteurs normaux colinéaires.

Soitdla droite passant par le pointAet de vecteur normal-→n. Un pointMappartient àdsi et seulement si--→AM·-→n= 0.

Propriété 5.

Remarque 3.La droitedest l"ensemble des pointsMtels que--→AM·-→n= 0. Exemple 6.Soitdla droite passant par le pointA(2;1)et de vecteur normal-→n(-4;6).

Le pointB(-4;-3)appartient-il à la droited?

Exemple 7.Dans un repère orthonormé, on donne les pointsA(2;4),B(1;5)etC(-3;-1). Déterminer une équation cartésienne de la hauteurhissue deBdans le triangleABC. 2/3

Soienta,betcdes réels avec(a;b)?= (0;0).

Une droiteda pour équation cartésienneax+by+c= 0si et seulement si-→n(a;b)est un vecteur normal

àd.

Propriété 6.

Exemple 8.On considère les droitesdetd?d"équations respectives6x-2y-2 = 0ety= 3x-3.

Déterminer les coordonnées d"un vecteur normal à chacune deces droites. Ces droites sont-elles parallèles?

3. Équation d"un cercle

Dans un plan muni d"un repère orthonormé, soitCle cercle de centreA(xA;yA)et de rayonR. Uneéquation cartésienne du cercleCest(x-xA)2+ (y-yA)2=R2.

Propriété 7.

?A CM R

Démonstration 1.

Exemple 9.SoitCle cercle de centreA(-4;2)qui passe par le pointB(2;-1). Déterminer une équation

cartésienne deC, puis une équation cartésienne de la tangenteTenBau cercleC. www.maths-lycee.netChapitre ## : Géométrie repérée3/3quotesdbs_dbs6.pdfusesText_12