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EXERCICES AVEC SOLUTIONS (STATIQUE)

masse négligeable à l’autre extrémité B Le câble fait un angle de 30° avec la barre Déterminer la tension dans le câble et la réaction au point A → T → RA D B A 30° 60° C x y → PSolution : B A 30° 60° C Le système est en équilibre statique dans le plan (xoy), nous avons alors : ∑ =→ → i Fi 0 ⇔ (1) → → → →

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analytique et la lecture cursive L'écriture - Le but est d’amener les élèves à écrire souvent et régulièrement des textes de nature et de longueur variées Ils seront entraînés progressivement à produire trois types d’écrits : - des écrits d’argumentation, en relation avec les textes et les oeuvres étudiés ;

EXERCICES CORRIGES DE MECANIQUE - e-monsite

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du passage d’un milieu transparent à un autre Milieux dispersifs Lesmilieuxtransparentssontplus ou moins dispersifs pour les ondes électroma-gnétiques;lavitesseoucéléritédel’ondedépend alors de la fréquence de celle-ci Indice d’un milieu L’indice =

Ex-M1.1Base locale cylindrique

Retenir :

nous avons absolu- ment besoin dela base cylindrique

Üdonc : la com-

prendre et bien eyez H m M O xyzex ey Ozxy M

Vue de dessusz

HM m

OVue dans le

"plan de la porte" ez

Ex-M1.3Mouvement circulaire uniforme :

Un" disque vynile 33 tr », placé sur la platine du tourne- disque, effectue un mouvement de rotation uniforme à raison de 33 tours par minute. Calculer :

1)sa vitesse angulaire de rotation, sa période et sa fré-

quence;

2)la vitesse et les accélérations (normale, tangentielle et

totale) d"un pointMà la périphérie du disque (rayonR=

15cm).

3)même question pour un pointM0tournant àr= 5cm

du centre du disque.

Rép. : 1)!= 3;5rad:s¡1;f= 0;55Hz;T= 1;8s.

2)v= 0;52m:s¡1;an= 1;8m:s¡2;at= 0;a=?

2t+a2n.

3)v0= 0;17m:s¡1;a0n= 0;6m:s¡2;a0t= 0;a0=a0n.

mouvement uniformen'estpasnulle si la trajectoire n'estpasune droite.

Autrement dit :

Pour chacune des questions, indiquer les propositions exactes : b) de m^eme sens que le vecteur vitesse; c) toujours de valeur constante. a) tangent µa la trajectoire; c) nul si la vitesse deMest constante.

Ex-M1.5Relation vitesse-position :

4a.

Ex-M1.6Poursuite en mer

se dirige vers l'est µa la vitessevAetBvers le nord µa la vitessevB. La courbure de la surface

2)Quelle directionBdoit-il prendre pour rattraperAavec un mouvement rectiligne uniforme?

v 2A v

2A+v2B;2)¿=d0

2B¡v2A¨

Ex-M1.7Mouvement elliptique(ÜCf CoursM7)

1 +ecosµ

2)Sachant que le mouvement est tel quer2_µ=cste=C,

PM Oq 2 ; ¼;3¼ 2 quel point de la trajectoire la vitesse est-elle maximale? minimale?

¡!v=C?esinµ

¡!er+1 +ecosµ

¡!eµ?

;3)v2=v2r+v2µ=C2 p

2(1 +e2+ 2ecosµ).

2http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/qadripcsi@aol.com

(base" locale » = base définie enM) :

OM=r¡!er+z¡!ez

vM=R= _r¡!er+r_µ¡!eµ+ _z¡!ez d

Rque : Une B.O.N.D. vérifie la " règle des trois doigts de la main droite »Üalorsvérifiez-le

avec la vôtre, de main droite! eyez H m M O xyzex ey Ozxy M

Vue de dessusz

HM m

OVue dans le

"plan de la porte" ez er eq ezr eqer r er eq qr e q H z z ez ez q

Solution Ex-M1.2

Ma pour coordonnées(r; µ; ')dans le référentielRd"origineOet de Base locale(¡!er;¡!eµ;¡!e')

(base " locale » = base définie enM) :

OM=r¡!er

vM=R= _r¡!er+r_µ¡!eµ+rsinµ_'¡!e' d

Rque : Une B.O.N.D. vérifie la " règle des trois doigts de la main droite »Üalorsvérifiez-le

avec la vôtre, de main droite! ex ej ey er eq ez H m M O xyzex ey Ozxy M

Vue de dessusz

HM m

OVue dans le

"plan de la porte" ez j qrer r er r je j ej eq eqq

Solution Ex-M1.4

1.b)(la réponse c) n"est vraie que lorsqu"on exprime l"accélération dans la base cartésienne; elle

est fausse si on travaille dans la base polaire));2.a);3.b);4.c) Sur une route rectiligneOx, une voiture(1)de longueurl1de vitessev1double un autocar de longueurLet de vitesseV. En face arrive une voiture(2)de longueurl2à la vitessev2. Quelle distance minimumDentre l"avant de la voiture(1)et l"avant de la voiture(2)permet à la voiture (1)de doubler?A.N.avecl1=l2= 4m,L= 20m,v=v2= 90km:h¡1etV= 72km:h¡1. qadripcsi@aol.comhttp ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/3

¦Ex-M1.9Vitesse moyenne et vitesse maximale

Un automobiliste parcourt une distanced= 1;25kmsur une route rectiligne. Son mouvement

est uniformément accéléré, puis uniforme, puis uniformément retardé. L"accélérationaest égale

en valeur absolue à0m:s¡2ou à2;5m:s¡2et la vitesse moyenne vaut75km:h¡1. Déterminer la vitesse maximale de l"automobiliste.

Rép :vmax=a:d

2vmoy¡?

a:d

2vmoy?

¡a:d= 25m:s¡1= 90km:h¡1

Ex-M1.10Spirale et base polaire

Un point matériel M parcourt avec une vitesse de norme constantevla spirale d"équation po- laire :r=aµ. Exprimer en fonction deµet devle vecteur vitesse de M dans la base polaire.

Rép. :¡!v=v

1 +µ2(¡!er+µ¡!eµ).

Soit l"hélice droite définie en coordonnées cylindriques par les équations :r=Retz=hµ et orientée dans le sensµcroissant (soithcste>0). L'origine de la trajectoire du point M est enz= 0.

1)Déterminer les équations de l"hélice en coordonnées car-

tésiennes.

2)Le point M parcourt l"hélice à une vitesse constantev.

a) Déterminer les vecteurs vitesse et accélération en fonction deR, hetv. b) Montrer que l'angle®=(¡!ez;¡!v)est constant.

En déduire l'hodographe du mouvement.xyz

2 hp

Ex-M1.12Mouvement cycloÄ³dal (**)

Une roue de rayonRet de centre C roule sans glis-

ser sur l"axe(Ox)à vitesse angulaire!constante tout en restant dans le plan(Oxz). Soit M un point liée à la roue situé sur la circonférence. À l"instant t= 0, M se trouve enM0(x= 0; z= 2R). Les mou- vements sont étudiés dans le référentiel Rassocié au repère(O;¡!ex;¡!ey;¡!ez).

1)Comment exprimer la condition " la roue ne

glisse pas »? xz exeye z wM O0 M CC eyq I 0

2)Déterminer les coordonnéesxCetzCde C à l"instantt.

3)Même question pour M.

4)Étudier la trajectoire définie par le système d"équations paramétriques(x(µ);z(µ))avecµ=

!t. La tracer pourµ2[-4¼; 4¼].

5)Calculer la vitesse¡¡¡!vM=Rdu point M à l"instantt. Exprimer sa normeven fonction de???cosµ

En déduire l"hodographe du mouvement.

6)Calculer l"accélération¡¡¡!aM=Rdu point M à l"instantt. Exprimer sa norme en fonction deR

etv. Calculer numériquement cette norme de l"accélération dans le cas d"un point périphérique

d"un pneu de voiture roulant à130km:h¡1sur une autoroute (R= 35cm).

7)Déterminer¡¡¡!vM=Ret¡¡¡!aM=RlorsqueMest en contact avec l"axe(Ox).

4http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/qadripcsi@aol.com

Il est nécessaire de faire deux sché-

mas de l"axeOxoù, sur le pre- mier, on fait apparaître les posi- tions des trois véhicules au début du dépassement (l"origineOétant l"avant de la voiture (1) coïncidant,

àt= 0, avec l"arrière du bus qu"elle

dépasse) et où, sur le second, on re- présente les positions des véhicules

à la fin du dépassement dans la si-

tuation la plus critique, la voiture (1) se rabattantin extremis.l1l2 L O D x x v1v2 V t=0 t=tf

En utilisant les propriétés du mouvement rectiligne uniforme, on écrit les équations horaires des

diérents points : on notex1les abscisses relatives à la voiture qui double,x2celles relatives à

la voiture qui arrive en face etXcelle relatives au bus. On note l"indiceAVpour l"avant d"un véhicule etARpour l"arrière de ce véhicule. x1;AV=v1t x

1;AR=v1t¡l1?

XAV=V t+L

AR=V t?

x2;AV=¡v2t+D x

2;AR=¡v2t+D+l2

À la datetfde la fin du dépassement, l"accident sera évité si : x1;AR=XAV x

1;AV< x2;AV,?v1tf¡l1=V tf+L

1t <¡v2t+D)?

???t f=L+l1 v

1¡V

D > v1+v2 v

1¡V(L+l1) = 240m

Solution Ex-M1.12

1)Condition de roulement sans glissement :C0C=?OI()vt=Rµ()v=R_µ´R!.

¡¡!OC?xC=Rµ=R!t

z C=R 3) ¡¡!OM=¡¡!OC+¡¡!CM?xC=R(µ+ sinµ) =R(!t+ sin!t) z

C=R(1 + cosµ) =R(1 + cos!t)

4)z(µ)est une fonction périodique paire

de période2¼etx(µ+2¼) =x(µ)+2¼R: il suffit donc d"étudierxetzsurµ2[0;2¼].

Le reste de la courbe se déduisant par

translation de2¼Rselon(Ox)et par sy- métrie par rapport àOzsi on veut tracer

On étudie d"abord

?x0(µ) =R(1 + cosµ) z

0(µ) =¡Rsinµ

On pose²=µ¡¼pour étudier la tangente

à la courbe au point de paramètreµ=¼.

Le coefficient directeur de la tangente à la

courbe est :p=dz dx=dz dµdµ dx=z0(µ) x

0(µ)

p=¡Rsin(¼+²)

R(1 + cos(¼+²))=sin²

1¡cos²

z(q) 0 pR2R 2pR x(q)3pR !Doncp(µ=¼) = lim²!0sin²

1¡cos²'²

2=2=2 ¡! 1: la tangente enµ=¼[2¼]est verticale : on dit que la courbe présente un point de rebroussement enµ=¼. qadripcsi@aol.comhttp ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/5 _z

¡R!sin!t

¡R!sinµ

Cl :L"hodographe du mouvement est donc un cercle de centre(R!;0)et de rayonv=R!.

De plus :

2M= _x2+ _z2=R2!2:2(1 + cos!t) = 4R2!2cos2µ

2 !vM= 2R!jcosµ 2 j 6)

¡!aM=R=

¡R!2sin!t=¡!2

Rsinµ

¡R!2cos!t

Rcosµ

¡!aM=R=¡!2¡¡!CM

Soit :a=!v=v2

R ; A. N. :a¼3;7:103m:s¡2.

¥Dynamique newtonienne

M2 Soit trois cubes (1), (2) et (3) posés l"un sur l"autre, l"ensemble reposant sur le sol (S). On note¡!F1!2l"action de (1) sur (2), par exemple. !Calculer :F1!2,F3!2etFS!3. Données :m1= 100g;m2= 200g;m3= 400g;g= 10;0m:s¡2.

Rép. :F1!2=m1g= 1;0N;F3!2= (m1+m2)g= 3;0N(1)

(2) (3) (S) F

S!3= (m1+m2+m3)g= 7;0N.

Rq :Les expressions littérales peuvent sembler intuitives : mais, ici, on de les établir par un

raisonnement(élémentaire, certes, mais raisonnement quand même!)

Ex-M2.2C¾±cient de frottement

Une bille de massem= 120gtombe dans un

fluide. On a enregistré sa vitesse (norme)ven fonction du temps.

1)Quelles sont les différentes phases du mou-

vement?

2)Donner une valeur approximative du temps

caractéristique¿de ce mouvement.

3)Quelle est la valeur limite dev(notée

v lim)?

4)En négligeant la poussée d"Archimèdeet en prenant¡!f=¡k¡!v(k >0) comme force de

frottement, établir l"équation différentielle satisfaite parv.

5)En déduire l"expression devlimen fonction dem,ketg.

6)Calculer la valeur dek.

Rép : 2)¿¼0;4s(cf. "méthode de la tagente»);4/5)cf.Cours;6)k¼0;29kg:s¡1 (attention aux unités!; cf.Cours).

Ex-M2.3Profondeur d'un puits

Pour mesurer la profondeur d"un puits, Mímir laisse tombe rune pierre du bord du puits et

chronomètre la durée qui s"écoule jusqu"au moment où il entend le bruit de l"impact de la pierre

au fond du puits (il a pris soin de placer son oreille à hauteur du bord du puits). La durée mesurée

est¢t= 2;6s.!Calculer la profondeurhdu puits.

On négligera les frottements de l'air sur la pierre et l'équation enhsera résolue numériquement.

Données :g= 9;81m:s¡2; célécité du son dans l"air :c= 340m:s¡1.

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2h g+h c; d"où :h¼31m:

Ex-M2.4Anneau glissant sur un cercle

Un anneau ponctuelMde massemest enfilé sur un cercle fixe de centreOet de rayonbplacé horizontalement dans le plan(Oxy).´À l"instantt= 0, une vitesse initiale¡!v0tangente au cercle est communiqué à l"anneau qui glisse alors sans frottement le long du guide. !Déterminer les composantes de la réaction¡!Rdu guide circulaire sur l"anneau.z x yb qg O M Ex-M2.5Point soumis µa une force centrale et µa une force de frottement °uide Un point matériel M de massemse déplace sur un plan horizontal (on suppose la réaction du plan normale au plan). M est lancé à partir de M

0, de coordonnées cartésiennes(0; y0)et est

soumis à la force¡!F=¡a¡¡!OMet à une force résistante¡!f=¡b¡!v(a et b sont des constantes

positives).

1)Établir en coordonnées polaires, les équations différentielles du mouvement de M.

2)Dans le cas où_µ=!=cste, déterminer!et l"expression deren fonction du temps.

Rép : 1)Système? référentiel? bilan des forces? projeter leP.F.D.dans la base cylindrique;

2)r(t) =y0exp?

¡bt

2m? et!=? a m

¡b2

4m2.

Ex-M2.6Chute libre d'une tige

Une tige rectiligneABverticale de longueurl= 80cm, lâchée avec une vitesse initiale nulle, tombe en chute libre dans le vide. Elle passe au cours de sa chute par un trou ménagé dans une

plaque horizontale de faible épaisseur. Quand son extrémité inférieureAatteint le trou, sa vitesse

estv= 5m:s¡1.

1)À quelle distancehde la plaque se trouvait initialement le pointA?

2)Quelle est la vitessev0de la tige lorsque son extrémité supérieureBsort du même trou?

3)Quelle est la duréeTdu passage de la tige à travers le trou?

Rép : 1)h= 1;25m;2)v0= 6;4m:s¡1;3)T= 0;14s.

sorts horizontaux Le référentiel terrestre est supposé galiléen. Un point matérielMde massemest attaché à deux ressort (1)et(2)horizontaux de raideursk1etk2, et de longueurs à videl01etl02reliés à deux points fixes

AetBdistants de(l01+l02).

Le pointMglisse sans frottement le long de l"axe

(Ox)à partir de sa position d"équilibre. Il est repéré sur cet axe par son abscissex= OM. eyex ez l02l01 k 2k1 OM x (1) (2) BA

1)Justifier la position d"équilibre enOdu pointM.

2)Établir l"équation différentielle du mouvement deM. En déduire la périodeTdes oscillations

et la raideurkdu ressort équivalent à cette association.

3)À l"instantt= 0, le point matériel est abandonné sans vitesse initiale du pointM0d"abscisse

0. Déterminer l"équation horaire du mouvementx(t).

Rép : 2)T=2¼

0= 2¼?

m k

1+k2;3)x(t) =x0cos(!0t).

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Ex-M1.1Base locale cylindrique

Retenir :

Üdonc : la com-

Vue de dessusz

OVue dans le

Ex-M1.3Mouvement circulaire uniforme :

1)sa vitesse angulaire de rotation, sa période et sa fré-

2)la vitesse et les accélérations (normale, tangentielle et

15cm).

3)même question pour un pointM0tournant àr= 5cm

Rép. : 1)!= 3;5rad:s¡1;f= 0;55Hz;T= 1;8s.

2)v= 0;52m:s¡1;an= 1;8m:s¡2;at= 0;a=?

2t+a2n.

3)v0= 0;17m:s¡1;a0n= 0;6m:s¡2;a0t= 0;a0=a0n.

Autrement dit :

Ex-M1.5Relation vitesse-position :

Ex-M1.6Poursuite en mer

2)Quelle directionBdoit-il prendre pour rattraperAavec un mouvement rectiligne uniforme?

2A+v2B;2)¿=d0

2B¡v2A¨

Ex-M1.7Mouvement elliptique(ÜCf CoursM7)

1 +ecosµ

2)Sachant que le mouvement est tel quer2_µ=cste=C,

¡!v=C?esinµ

¡!er+1 +ecosµ

¡!eµ?

2(1 +e2+ 2ecosµ).

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OM=r¡!er+z¡!ez

Vue de dessusz

OVue dans le

Solution Ex-M1.2

OM=r¡!er

Vue de dessusz

OVue dans le

Solution Ex-M1.4

1.b)(la réponse c) n"est vraie que lorsqu"on exprime l"accélération dans la base cartésienne; elle

¦Ex-M1.9Vitesse moyenne et vitesse maximale

Rép :vmax=a:d

2vmoy¡?

2vmoy?

¡a:d= 25m:s¡1= 90km:h¡1

Ex-M1.10Spirale et base polaire

Rép. :¡!v=v

1 +µ2(¡!er+µ¡!eµ).

1)Déterminer les équations de l"hélice en coordonnées car-

2)Le point M parcourt l"hélice à une vitesse constantev.

En déduire l'hodographe du mouvement.xyz

2 hp

Ex-M1.12Mouvement cycloÄ³dal (**)

Une roue de rayonRet de centre C roule sans glis-

1)Comment exprimer la condition " la roue ne

2)Déterminer les coordonnéesxCetzCde C à l"instantt.

3)Même question pour M.

4)Étudier la trajectoire définie par le système d"équations paramétriques(x(µ);z(µ))avecµ=

5)Calculer la vitesse¡¡¡!vM=Rdu point M à l"instantt. Exprimer sa normeven fonction de???cosµ

En déduire l"hodographe du mouvement.

6)Calculer l"accélération¡¡¡!aM=Rdu point M à l"instantt. Exprimer sa norme en fonction deR

7)Déterminer¡¡¡!vM=Ret¡¡¡!aM=RlorsqueMest en contact avec l"axe(Ox).

4http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/qadripcsi@aol.com

Il est nécessaire de faire deux sché-

àt= 0, avec l"arrière du bus qu"elle

à la fin du dépassement dans la si-

1;AR=v1t¡l1?

XAV=V t+L

AR=V t?

2;AR=¡v2t+D+l2

1;AV< x2;AV,?v1tf¡l1=V tf+L

1t <¡v2t+D)?

1¡V

1¡V(L+l1) = 240m

Solution Ex-M1.12

1)Condition de roulement sans glissement :C0C=?OI()vt=Rµ()v=R_µ´R!.

¡¡!OC?xC=Rµ=R!t

C=R(1 + cosµ) =R(1 + cos!t)

4)z(µ)est une fonction périodique paire

Le reste de la courbe se déduisant par

On étudie d"abord

0(µ) =¡Rsinµ