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Soit f la fonction définie sur l’intervalle ] – 1 ; + [ par f

1 La Réunion juin 2010 Soit f la fonction définie sur l’intervalle ] – 1 ; + ∞ [ par f (x) = 1 + ln (1 + x) On note C f sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O ; ,i j) On note D la droite d’équation y = x Partie A 1 a Étudier le sens de variation de la fonction f b

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Nom :FONCTIONS2nde Exercice 1 Soit f la fonction d´efinie sur l’intervalle [ 22 ; 5] par : f(x) = (x 1) 1) Donner un tableau de valeurs de f 2) Tracer la courbe repr´esentative de f

Chapitre 9 : Fonctions dérivées

Soit f la fonction définie sur ℝ+ dans le repère ci-contre, on a tracé la courbe Cf de la fonction f définie par : f(x)=√x Soit a un réel strictement positif et Ta la tangente à Cf au point d’abscisse a 1) Déterminer l’équation réduite de Ta 2) Démontrer que Ta coupe l’axe des abscisses au point de coordonnées (−a;0)

exercice Etudes des fonctions

Soit f la fonction définie sur R * par : x2 3x 2 f( x) x 2 − = ++ et C f sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O ;i, j) (unité 1 cm) 1°) Démontrer que la courbe C f admet deux asymptotes que l’on précisera Préciser la position de C f par rapport à la droite ∆ d’équation y = x + 2 Séries d’exercices 4ème

Correction du devoir surveill´e n˚3 - dblottiereorg

Exercice 1 : Soit f la fonction d´efinie par : f: x →xx 1 D´eterminer le domaine de d´efinition D f de la fonction f 2 Justifier que la fonction f est d´erivable sur D f Qu’en d´eduire quant a sa continuit´e? 3 Etudier les variations de´ f 4 En d´eduire que f admet un minimum, atteint en un unique point que l’on pr

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Soit f la fonction définie sur ℝ par f (x)=(x2−3)ex 1 Étudier les variations de f 2 Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d’abscisse 0 3 Mêmes questions avec g(x)=(2x+3)e−2x+4 Exercice 11 : f est la fonction définie sur l’intervalle [0;1] par f (x)=3−2e−5 x 1

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1 Soit f la fonction définie sur R, 2p-périodique et impaire telle que 8x 2 0;p 2, f(x) = sin x 2 Déter-miner f(x) pour tout réel x 2 Soit f la fonction définie sur R, 2p-périodique et paire telle que 8x2 0;p 2, f(x)=sin x 2 Déterminer f(x) pour tout réel x Correction H [005781] Exercice 2

1 Nombre dérivé et tangente à une courbe

Soit f une fonction définie sur un intervalle I, a et a +h sont deux nombres réels de I avec h 6=0 1 1 Taux de variation Définition 1 Le taux de variation de la fonction f entre a et a+h (avec h 6=0 ) est le rapport f(a+h)−f(a) h Exemple 1 Soit f la fonction x → x2 Calculer le taux de variation de f entre 2et 2+h 1 2

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1ère Chapitre 9 : Fonctions dérivées Exercices - p. 1 / 12

Chapitre 9 : Fonctions dérivées

Les différentes compétences visées dans ce chapitre sont : Connaître les dérivées des fonctions usuelles Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I, k un réel non nul. Connaissant la dérivée de u, déterminer celle de k×u ou de u k Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I. Connaissant les dérivées de u et v, déterminer celle de u+v et de u-v Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I. Connaissant les dérivées de u et v, déterminer celle de u×v Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I, v ne s'annulant pas sur I. Connaissant les dérivées de u et v, déterminer celle de u v

Soit f une fonction et a et b deux réels.

Connaissant la dérivée de f, déterminer celle de f(ax+b).

Exercice 1 : encore le feu d'artifice

La hauteur dans le ciel, en mètre (m), d'une fusée de feu d'artifice depuis son lancement est donnée par : f(t)=-0,6t2+21t ; où t représente le temps écoulé, en seconde (s).

1) On rappelle que la vitesse (en m/s) de la fusée à un instant t est donnée par le

nombre dérivé f'(t). a) On s'intéresse au taux de variation de la fonction f entre t et t+h (h étant un réel différent de 0) c'est-à-dire à f(t+h)-f(t) h.

Démontrer l'égalité : f(t+h)-f(t)

h=-1,2t-0,6h+21. b) En déduire l'égalité : f'(t)=-1,2t+21. 2)

a) Déterminer à quel moment l'explosion doit se produire pour que la fusée soit à sa hauteur maximale dans le ciel ?

b) Quelle est alors la vitesse de la fusée ?

3) On effectue un réglage pour que la fusée explose 6 secondes après son lancement.

a) A quelle hauteur se trouvera alors la fusée ? b) Quelle sera la vitesse de la fusée au moment de son explosion ?

4) Supposons que la fusée n'explose pas. Au bout de combien de temps retombera-t-elle au sol ?

Définition : soit f une fonction. Si, pour tout réel x d'un intervalle I, f' x existe, alors on dit que f est dérivable sur I. On peut ainsi définir une nouvelle fonction nommée f' qui à tout réel x de I associe son nombre dérivé f'x.

La fonction

f' s'appelle la fonction dérivée de f, ou par abus de langage, la dérivée de f.Objectif n°1 : fonction dérivée

1ère Chapitre 9 : Fonctions dérivées Exercices - p. 2 / 12

Exercice 2

Considérons la fonction f définie par : f(x)=x3-x2-x+8. On admet qu'après calculs, on a obtenu sa dérivée f', définie pour tout réel x par : f'(x)=3x2-2x-1.

1) Compléter le tableau de valeurs ci-dessous :

x0-12 f (x)f'(x)

2) Déterminer l'équation réduite de la tangente au point d'abscisse

-1. E xercice 3 : dérivées des fonctions usuelles Le but de cet exercice n'est pas de traiter toutes les questions mais d'en traiter le maximum

1) Soit f la fonction affine définie sur par

ℝ : f(x)=5x-3. a) Soit x un réel quelconque. Démontrer que pour tout réel h non nul, on a : f(x+h)-f(x) h=5.

b) En déduire que pour tout réel x, on a : f'(x)=5 (cela signifie que la dérivée de f est constante).

2) Soit g la fonction définie sur par

ℝ : g(x)=x2. a) Soit x un réel quelconque. Démontrer que pour tout réel h non nul, on a : g(x+h)-g(x) h=2x+h. b) En déduire que pour tout réel x, on a : g'(x)=2x.

3) Soit k la fonction définie sur par

ℝ : k(x)=x3. a) Soit x un réel quelconque. Démontrer que pour tout réel h non nul, on a : (x+h)3=x3+3x2h+3xh2+h3.

En déduire l'égalité : k(x+h)-k(x)

h=3x2+3xh+h2. b) En déduire l'expression de k'(x) pour tout réel x.

4) Soit p la fonction définie sur

ℝ* par : p(x)=1 x.

a) Soit x un réel non nul quelconque. Démontrer que pour tout réel h non nul, on a : p(x+h)-p(x)

h=-1 x(x+h). b) En déduire l'expression de p'(x) pour tout réel non nul x.

5) Soit q la fonction définie sur

a) Soit x un réel positif quelconque. Démontrer que pour tout réel h non nul, on a : q(x+h)-q(x)

h=1 b) En déduire l'expression de q'(x) pour tout réel strictement positif x.

1ère Chapitre 9 : Fonctions dérivées Exercices - p. 3 / 12

L'exercice précédent démontre en partie la propriété ci-dessous. Propriété : le tableau ci-dessous donne la dérivée des fonctions usuelles. FonctionDéfinie surDérivable surFonction dérivée Fonction constante : x k (k ∈ ℝ)ℝℝx 0

Fonction affine : x axbℝℝx a

Fonction carré : x

x2ℝℝx 2xFonction cube : x x3ℝℝx 3x2

Fonction puissance : x

xn (n ∈ ℕ*)ℝℝx nxn-1

Fonction racine carrée : x

xℝ+ℝ+∗x 1

2x

Fonction inverse : x 1

xℝ*ℝ*x -1 x2 Remarque : la fonction racine carrée est définie sur ℝ+ mais dérivable sur ℝ+ ∗. Cela signifie que la fonction racine carrée est définie en 0 mais pas dérivable en 0.

Graphiquement, cela se confirme par le fait que

la tangente au point d'abscisse 0 est verticale et que son coefficient directeur est donc infini.

Exercice 4

Dans le repère ci-contre, on a tracé la courbe Cf de la fonction f définie par : f(x)=x2 ; ainsi que la droite (d) d'équation y=6x. Le but de cet exercice est de déterminer en quel point de la courbe Cf la tangente est parallèle à la droite (d).

1) Compléter : pour tout point M d'abscisse x situé sur Cf , le

coefficient directeur de la tangente est égal à ...... Pour que la tangente soit parallèle à la droite (d), il faut que son coefficient directeur soit égal à .... On cherche donc pour quelle valeur de x on a : ......x

Résoudre l'équation et conclure.

2) Déterminer l'équation réduite de la tangente à Cf parallèle à

la droite (d). Nous la nommerons T dans la suite.

3) Tracer la tangente T dans le repère ci-contre pour

vérification.

1ère Chapitre 9 : Fonctions dérivées Exercices - p. 4 / 12

Exercice 5 (uniquement pour les plus rapides

et ambitieux, sur autorisation du professeur) Soit f la fonction définie sur ℝ+ dans le repère ci-contre, on a tracé la courbe Cf de la fonction f définie par : f(x)= Soit a un réel strictement positif et Ta la tangente à Cf au point d'abscisse a.

1) Déterminer l'équation réduite de Ta.

2) Démontrer que Ta coupe l'axe des abscisses au point de

coordonnées (-a;0).

3) En déduire ci-contre la construction de la tangente à Cf au

point d'abscisse 5. Exercice 6 : du langage courant à une expression algébrique Considérons les trois fonctions définies ci-dessous. Compléter le tableau ci-dessous en prenant exemple sur la première ligne. f est le produit de u par wf=u×wf(x)=(3x-2) f est le produit de u par 7 f est l'inverse de v f est la somme de u et w f est le quotient de u par v f est la différence de v et w f est le carré de la somme de u et v f est la somme des carrés de u et w

Exercice 7

Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I. On rappelle que pour tout réel x de I, on a par définition : u'(x)=limh→0u(x+h)-u(x) h ; et : v'(x)=limh→0v(x+h)-v(x) h.

1) Soit f la fonction définie par : f=u+v.

Soit x un réel quelconque de I : déterminons f' x en fonction de u'x et v'x. Pour cela, compléter :

Pour tout réel h non nul, on a :

f(x+h)-f(x) h=(u(x+h)+v(x+......))-(u(x)+v(......)) h =u(x+h)+v(x+......)-u(x)-v(......) h =u(x+h)-u(......)+v(x+......)-v(......) =u(x+h)-u(......) h+v(x+......)-v(......)

Ainsi :

f'(x)=limh→0f(x+h)-f(x) h=limh→0 (u(x+h)-u(x) h+v(x+h)-v(x) h)=...'(x)+...'(x).Objectif n°2 : opérations sur les dérivées

1ère Chapitre 9 : Fonctions dérivées Exercices - p. 5 / 12

Propriété : soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I. Si : f=u+v ; alors f est dérivable sur I et : f'=u'+v'. On dit que " la dérivée d'une somme est égale à la somme des dérivées ».

2) Considérons la fonction f définie sur ℝ+ par : fx=x3

x. f est la somme des deux fonctions u et v définies par : u

La fonction u est dérivable sur ...... et :

u'(x)=...... ; la fonction v est dérivable sur ...... et : v'(x)=...... ; donc la fonction f est dérivable sur ce qui est commun aux deux, c'est à dire ℝ+ ∗ et :f'(x)=u'(x)+v'(x)=............................

De la même façon, décomposer dans chacun des cas ci-dessous la fonction f en somme de deux fonctions u et v puis

déterminer l'expression de f'. f (x)=1 x+x2 f=u+v avec : u(x)=............ et v(x)=............ u est dérivable sur ... et : u'(x)=....... v est dérivable sur ... et : v'(x)=.......quotesdbs_dbs4.pdfusesText_7