Soit f la fonction définie sur l’intervalle ] – 1 ; + [ par f
1 La Réunion juin 2010 Soit f la fonction définie sur l’intervalle ] – 1 ; + ∞ [ par f (x) = 1 + ln (1 + x) On note C f sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O ; ,i j) On note D la droite d’équation y = x Partie A 1 a Étudier le sens de variation de la fonction f b
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Nom :FONCTIONS2nde Exercice 1 Soit f la fonction d´efinie sur l’intervalle [ 22 ; 5] par : f(x) = (x 1) 1) Donner un tableau de valeurs de f 2) Tracer la courbe repr´esentative de f
Chapitre 9 : Fonctions dérivées
Soit f la fonction définie sur ℝ+ dans le repère ci-contre, on a tracé la courbe Cf de la fonction f définie par : f(x)=√x Soit a un réel strictement positif et Ta la tangente à Cf au point d’abscisse a 1) Déterminer l’équation réduite de Ta 2) Démontrer que Ta coupe l’axe des abscisses au point de coordonnées (−a;0)
exercice Etudes des fonctions
Soit f la fonction définie sur R * par : x2 3x 2 f( x) x 2 − = ++ et C f sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O ;i, j) (unité 1 cm) 1°) Démontrer que la courbe C f admet deux asymptotes que l’on précisera Préciser la position de C f par rapport à la droite ∆ d’équation y = x + 2 Séries d’exercices 4ème
Correction du devoir surveill´e n˚3 - dblottiereorg
Exercice 1 : Soit f la fonction d´efinie par : f: x →xx 1 D´eterminer le domaine de d´efinition D f de la fonction f 2 Justifier que la fonction f est d´erivable sur D f Qu’en d´eduire quant a sa continuit´e? 3 Etudier les variations de´ f 4 En d´eduire que f admet un minimum, atteint en un unique point que l’on pr
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Soit f la fonction définie sur ℝ par f (x)=(x2−3)ex 1 Étudier les variations de f 2 Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d’abscisse 0 3 Mêmes questions avec g(x)=(2x+3)e−2x+4 Exercice 11 : f est la fonction définie sur l’intervalle [0;1] par f (x)=3−2e−5 x 1
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1 Soit f la fonction définie sur R, 2p-périodique et impaire telle que 8x 2 0;p 2, f(x) = sin x 2 Déter-miner f(x) pour tout réel x 2 Soit f la fonction définie sur R, 2p-périodique et paire telle que 8x2 0;p 2, f(x)=sin x 2 Déterminer f(x) pour tout réel x Correction H [005781] Exercice 2
1 Nombre dérivé et tangente à une courbe
Soit f une fonction définie sur un intervalle I, a et a +h sont deux nombres réels de I avec h 6=0 1 1 Taux de variation Définition 1 Le taux de variation de la fonction f entre a et a+h (avec h 6=0 ) est le rapport f(a+h)−f(a) h Exemple 1 Soit f la fonction x → x2 Calculer le taux de variation de f entre 2et 2+h 1 2
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Chapitre 3 : Dérivation
1 re-Spécialité mathématiques, 2019-20201. Nombre dérivé et tangente à une courbe
Soitfune fonction définie sur un intervalle I,aeta+hsont deux nombres réels de I avech?= 0.1.1. Taux de variation
Définition 1.
Letaux de variationde la fonctionfentreaeta+h(avech?= 0) est le rapportf(a+h)-f(a) h. Exemple 1.Soitfla fonctionx?→x2. Calculer le taux de variation defentre2et2 +h.1.2. Nombre dérivé d"une fonction en un point
Définition 2.
Dire que la fonctionfest dérivable enasignifie que le taux de variation defentreaeta+ha pour limite un nombre réel lorsquehtend vers0.Ce nombre réel, lorsqu"il existe est appelénombre dérivé defenaet il est notéf?(a).
Remarque 1.
Lorsquefest dérivable ena, on a ainsif?(a) = limh→0f(a+h)-f(a) h Exemple 2.On reprend la fonctionfde l"exemple 1. Calculerf?(2).1.3. Tangente à la courbe représentative d"une fonction
1.3..1 Interprétation graphique
Dans repère,Cfest la courbe représentative de la fonctionf. AetMsont les points deCfd"abscisses respectivesaeta+havech?= 0.Le taux de variationf(a+h)-f(a)
h=yM-yAxM-xAest le coefficient directeur de la droite (AM).0 1 2 3 4 5 6-10
-11 2345Cf ?A?M f(a)?f(a+h) a+h?a Dire quef(a+h)-f(a)htend versf?(a)quandhtend vers0, c"est dire que lorsque le pointMtend sur la courbeCfvers le pointA, les droites(AM)tendent vers une " position limite » : celle de la droiteTApassant parAet de coefficient directeurf?(a). Cette droite semble presque confondue avec la courbeCfau voisi- nage deA.
0 1 2 3 4 5 6-10
-11 2345Cf ?A?M TA ?a 1/5
1.3..2 Équation de la tangente
Définition 3.
Dans un repère, soitfune fonction dérivable ena. La tangenteTà la courbeCfreprésentative de la fonctionfau point Ad"abscisseaest la droite passant parAet de coefficient directeur f ?(a). Dans un repère, l"équation réduite de la tangente à la courbeCfau point d"abscisseaest y=f?(a)(x-a) +f(a)Propriété 1.?A
T 1f ?(a) ?f(a) aTangente àCf, enA
y=f?(a)(x-a) +f(a)♣Démonstration 1.La tangenteTàCfau pointA(a;f(a))a une équation de la forme :y=mx+pavecm,
p?R.Exemple 3.On reprend la fonctionfde l"exemple 1 et 2. Déterminer l"équation de la tangenteTà la courbe
représentative de la fonctionfau pointAd"abscisse2.2. Fonctions dérivées
Définition 4.
Soitfune fonction définie sur un intervalle I.
Dire quefest dérivable sur I signifie quefest dérivable en tout nombre réelxde I.La fonction qui a tout nombre réelxde I associef?(x)est appeléefonction dérivéedef. Cette fonction est
notéef?et elle est définie sur I parf?:x?→f?(x).2.1. Dérivées des fonctions usuelles
FonctionFonctionfFonction dérivéef?fétant dérivable surConstantef(x) =kaveck?R0R
Identitéf(x) =x1R
Affinef(x) =mx+pavecm,p?RmR
Carréef(x) =x22xR
Cubef(x) =x33x2R
Inversef(x) =1x(avecx?= 0)-1x2]- ∞;0[et]0;+∞[Racine carréef(x) =⎷x(avecx?0)1
2⎷x]0;+∞[
Propriété 2.
♣Démonstration 2.On suppose quea?R,a+h?Reth?= 0.Pourf(x) =x2,
f(a+h)-f(a) h= 2/5 ♣Démonstration 3.SoitD=]- ∞;0[?]0;+∞[. On suppose quea?D,a+h?Deth?= 0.Pourf(x) =1
x(x?= 0), f(a+h)-f(a) h=Remarque 2.
?La fonction racine carrée est définie en0, mais n"est pas dérivable en0. ♣Démonstration 4.Pour toutx?[0;+∞[,f(x) =⎷ xeth >0 f(0 +h)-f(0) h=2.2. Fonction dérivée de la fonctionx?→xn(n?Z)
Pour tout entier relatifn, la fonctionfdéfinie surR(surR?sinest négatif) parf(x) =xnest dérivable sur
surR(surR?sinest négatif), et on a, pour tout réelx(non nul sinest négatif)f?(x) =nxn-1.Propriété 3.
Exemple 4.Soitfla fonction définie surRparf(x) =x5. Calculer la fonction dérivée def. Exemple 5.Soitgla fonction définie surR?parg(x) =1 x7. Calculer la fonction dérivée deg.3. Dérivées et opérations
3.1. Somme et produit par un réel
Sif(x) =u(x) +v(x)oùuetvdeux fonctions dérivables sur un intervalle I, alorsfest dérivable sur I et
f ?(x) =u?(x) +v?(x).Propriété 4.
Remarque 3.On peut noter(u+v)?=u?+v?.
Exemple 6.Calculer la fonction dérivéef?de la fonctionfdéfinie surR?parf(x) =x4+1 x.Sif(x) =λu(x)oùλest un réel etuest dérivable sur un intervalle I, alorsfest dérivable sur I etf?(x) =λu?(x).
Propriété 5.
Remarque 4.On peut noter(λu)?=λu?.
Exemple 7.Calculer la fonction dérivéef?de la fonctionfdéfinie surRparf(x) = 5x3. 3/5Exemple 8.Calculer la fonction dérivéeg?de la fonctiongdéfinie sur[0;+∞[parg(x) =-4⎷x.
Définition 5.
Une fonctionfdéfinie surRest unefonction polynômesif(x)peut s"écrire comme somme de termes de la
formekxnavecn?Netk?R?. Toutes les fonctions polynômes sont dérivables surR.Propriété 6.
Exemple 9.Soit la fonctionfdéfinie parf(x) =-4x5-2x2+ 4x-9.Donner l"ensemble de définition def. En déduire son ensemble de dérivabilité, puis calculer sa dérivéef?.
3.2. Produit, inverse et quotient
Sif(x) =u(x)v(x)oùuetvdeux fonctions dérivables sur un intervalle I, alorsfest dérivable sur I et
f ?(x) =u?(x)v(x) +u(x)v?(x).Propriété 7.
Remarque 5.On peut noter(uv)?=u?v+uv?.
♣Démonstration 5.On suppose quea?I,a+h?Ieth?= 0.Pourf(x) =u(x)v(x),
f(a+h)-f(a) h=Exemple 10.Calculer la fonction dérivéef?de la fonctionfdéfinie sur[0;+∞[parf(x) =x2⎷
x.Sif(x) =1u(x)oùuest une fonction dérivable sur un intervalle I et siu(x)?= 0pour toutxde I, alors
fest dérivable sur I etf?(x) =-u?(x) (u(x))2.