Soit f la fonction définie sur l’intervalle ] – 1 ; + [ par f
1 La Réunion juin 2010 Soit f la fonction définie sur l’intervalle ] – 1 ; + ∞ [ par f (x) = 1 + ln (1 + x) On note C f sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O ; ,i j) On note D la droite d’équation y = x Partie A 1 a Étudier le sens de variation de la fonction f b
Nom :FONCTIONS2nde - TuxFamily
Nom :FONCTIONS2nde Exercice 1 Soit f la fonction d´efinie sur l’intervalle [ 22 ; 5] par : f(x) = (x 1) 1) Donner un tableau de valeurs de f 2) Tracer la courbe repr´esentative de f
Chapitre 9 : Fonctions dérivées
Soit f la fonction définie sur ℝ+ dans le repère ci-contre, on a tracé la courbe Cf de la fonction f définie par : f(x)=√x Soit a un réel strictement positif et Ta la tangente à Cf au point d’abscisse a 1) Déterminer l’équation réduite de Ta 2) Démontrer que Ta coupe l’axe des abscisses au point de coordonnées (−a;0)
exercice Etudes des fonctions
Soit f la fonction définie sur R * par : x2 3x 2 f( x) x 2 − = ++ et C f sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O ;i, j) (unité 1 cm) 1°) Démontrer que la courbe C f admet deux asymptotes que l’on précisera Préciser la position de C f par rapport à la droite ∆ d’équation y = x + 2 Séries d’exercices 4ème
Correction du devoir surveill´e n˚3 - dblottiereorg
Exercice 1 : Soit f la fonction d´efinie par : f: x →xx 1 D´eterminer le domaine de d´efinition D f de la fonction f 2 Justifier que la fonction f est d´erivable sur D f Qu’en d´eduire quant a sa continuit´e? 3 Etudier les variations de´ f 4 En d´eduire que f admet un minimum, atteint en un unique point que l’on pr
Fonction exponentielle - WordPresscom
Soit f la fonction définie sur ℝ par f (x)=(x2−3)ex 1 Étudier les variations de f 2 Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d’abscisse 0 3 Mêmes questions avec g(x)=(2x+3)e−2x+4 Exercice 11 : f est la fonction définie sur l’intervalle [0;1] par f (x)=3−2e−5 x 1
Séries de Fourier - Exo7
1 Soit f la fonction définie sur R, 2p-périodique et impaire telle que 8x 2 0;p 2, f(x) = sin x 2 Déter-miner f(x) pour tout réel x 2 Soit f la fonction définie sur R, 2p-périodique et paire telle que 8x2 0;p 2, f(x)=sin x 2 Déterminer f(x) pour tout réel x Correction H [005781] Exercice 2
1 Nombre dérivé et tangente à une courbe
Soit f une fonction définie sur un intervalle I, a et a +h sont deux nombres réels de I avec h 6=0 1 1 Taux de variation Définition 1 Le taux de variation de la fonction f entre a et a+h (avec h 6=0 ) est le rapport f(a+h)−f(a) h Exemple 1 Soit f la fonction x → x2 Calculer le taux de variation de f entre 2et 2+h 1 2
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1 La Réunion juin 2010
Soit f la fonction définie sur l"intervalle ] - 1 ; + ∞ [ par f (x) = 1 + ln (1 + x).On note C
f sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O ; ,i j? ?).On note D la droite d"équation y = x.
Partie A
1. a. Étudier le sens de variation de la fonction f .
b. Déterminer les limites de la fonction f aux bornes de son ensemble de définition.2. On désigne par g la fonction définie sur l"intervalle ] - 1 ; + ∞ [ par g (x) = f (x) - x.
a. Déterminer1limx® -g(x).
b. Déterminer limx® + ¥ ln (1 ) 1 x x +. En déduire limx® + ¥g (x).c. Étudier le sens de variation de la fonction g , puis dresser le tableau de variations de la fonction g .
d. Montrer que sur l"intervalle ] - 1 ; + ∞ [ l"équation g (x) = 0 admet exactement deux solutions a et b, avec a négative et b
appartenant à l"intervalle [2 ; 3].e. À l"aide des questions précédentes, déterminer le signe de g (x). En déduire la position relative de la courbe C
f et de la droite D.Partie B
Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d"initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans
l"évaluation.Soit (u
n ) la suite définie pour tout nombre entier naturel n par : 0 12 ( )n n u u f u+1. Montrer que, pour tout nombre entier naturel n, 2 £ u
n £ b.2. La suite (u
n ) est-elle convergente ? Justifier la réponse.CORRECTION
Partie A
1. a. f "(x) =
11x+ donc f "(x) > 0 sur ] - 1 ; + ∞ [. f est strictement croissante sur ] - 1 ; + ∞ [.
b. limx® + ¥1 + x = + ¥ et limx® + ¥ln x = + ¥ donc limx® + ¥f (x) = + ¥ 1lim x+® -1 + x = 0 et 0lim x+®ln x = - ¥ donc 1lim x+® -f (x) = - ¥ 2. a. 1lim x+® - f (x) = - ¥ donc 1lim x+® -g(x) = - ¥ b. Soit X = 1 + x, limx® + ¥X = + ¥ et ln (1 ) 1 x x += ln XX or Xlim® + ¥
ln XX = 0 donc limx® + ¥
ln (1 ) 1 x x += 0. g(x) = (x + 1) ln ( 1) 1 1 x x x x 111 1x x x= - + + donc limx® + ¥1 x x+ = 1 donc limx® + ¥ ln ( 1) 1 1 x x x x = - 1 donc limx® + ¥g (x) = - ¥ c. g"(x) = f "(x) - 1 = 1
1x+ - 1 = - 1
x x+, x + 1 > 0 sur ] - 1 ; + ∞ [ donc g"(x) a le même signe que - x. f (0) = 1 donc g(0) = 1 x - 1 0 + ¥ g"(x) + 0 g - ¥ 1 d. g est une fonction continue strictement croissante sur ] - 1 ; 0 ], 1lim x+® -g (x) = - ¥ et g (0) = 1 donc g (] - 1 ; 0 [) = ] - ¥ ; 1]0 Î ] - ¥ ; 1] donc l"équation g (x) = 0 a une unique solution notée a appartenant à l"intervalle ] - 1 ; 0 ].
g est une fonction continue strictement décroissante sur ] 0 ; + ∞ [, g (0) = 1 et limx® + ¥g (x) =- ¥ donc g (] 0 ; + ¥ [) = ] - ¥ ; 1 [0 Î ] - ¥ ; 1 [ donc l"équation g (x) = 0 a une unique solution notée b appartenant à l"intervalle ] 0 ; + ∞ [.
g(2) = ln 3 - 1 or ln 3 > 1 donc g(2) > 02 La Réunion juin 2010
g(3) = ln 4 - 2 = 2 (ln 2 - 1) or ln 2 < 1 donc g(3) < 0 g est strictement décroissante sur ] 0 ; + ∞ [ donc 2 < b < 3.Sur l"intervalle ] - 1 ; + ∞ [ l"équation g (x) = 0 admet exactement deux solutions a et b, avec a négative et b appartenant à
l"intervalle [2 ; 3]. e. x - 1 a 0 b + ¥ g - ¥ 0 1 0 g(x) - 0 + 0 -Sur ] - 1 ; a [, la courbe de f est en dessous de la droite D ; sur ] a ; b [, la courbe de f est au dessus de la droite D
Sur ] b ; + ¥ [, la courbe de f est en dessous de la droite D. La droite et la courbe se coupent aux points d"abscisses a et b.
Partie B
1. Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n : 2 £ u
n £ b.Si n = 0, u
0 = 2 donc la propriété est vraie pour n = 0.
Montrons que pour tout n, la propriété est héréditaire c"est-à-dire que pour tout n de IN , si 2 £ u
n £ b alors 2 £ u n + 1 £ b. La fonction f est croissante sur ] - 1 ; + ∞ [ donc si 2 £ u n £ b alors f (2) £ f (u n ) £ f (b). f (2) = 1 + ln 3 donc f (2) ≥ 2 g(b) = 0 donc f (b) = b de plus u n + 1 = f (u n ) donc 2 £ u n + 1 £ b. La propriété est héréditaire pour tout n donc est vraie pour tout n de IN .2. 2 £ u
n £ b donc g(u n ) ≥ 0 soit f (u n ) - u n ≥ 0 donc u n + 1 ≥ u n. La suite (u n ) est croissante, majorée par b donc est
convergente vers un réel ℓ tel que 2 £ ℓ £ b.quotesdbs_dbs4.pdfusesText_7