AGRÉGATION INTERNE DE MATHÉMATIQUES

Calculus I, Section5 3, #72 The Fundamental Theorem ofCalculus The sine integral function Si(x) = Z x 0 sin(t) t dt is important in electrical engineering [The integrand f(t) = (sin(t))/t is not deﬁned when t = 0, but we know

Integrale di sin t=t e varianti - unipiit

Integrale di sint=t e varianti Annalisa Massaccesi 2 dicembre 2012 1 Integraledisint=t In riferimento all’es 7 del VII gruppo di esercizi, come già visto ad esercitazione, vogliamo dimostrareche R +1 0 sint=tdt2R Osservazione 1 Osserviamoinnanzituttoche lim t0 sint t = 1 essendoladerivatadelsenoint= 0 Dunque R ˇ 0

Table of Integrals

Integrals with Trigonometric Functions Z sinaxdx= 1 a cosax (63) Z sin2 axdx= x 2 sin2ax 4a (64) Z sinn axdx= 1 a cosax 2F 1 1 2; 1 n 2; 3 2;cos2 ax (65) Z sin3 axdx= 3cosax 4a + cos3ax 12a (66) Z cosaxdx=

Integral Asymptotics: Laplace’s Method

sint t e−λ cosh t dt Let g(t) = cosht and f(t) = sint/t The function g assumes a strict minimum over [−1,1] at the interior point t = 0, with g0(0) = 0 and g00(0) = 1 And since f(0) = 1, we have by (3), I(λ) ∼ e−λ r 2π λ as λ → ∞ (5) 5 There are three ideas behind Laplace’s method These are a

Lecture 18 : Improper integrals - IIT Kanpur

sint t dt and R1 cost t dt are convergent Improper integrals of the form Rb ¡1 f(t)dt are deﬂned similarly We say that R1 ¡1 f(t)dt is convergent if both Rc ¡1 f(t)dt and R1 R c f(t)dt are convergent for some element c in Rand 1 ¡1 f(t)dt = c ¡1 f(t)dt+ 1 c f(t)dt: Improper integral of second kind : Suppose Rb x f(t)dt exists for

DIFFERENTIATING UNDER THE INTEGRAL SIGN

DIFFERENTIATING UNDER THE INTEGRAL SIGN 3 so (2 4) Z 1 0 xe txdx= 1 t2 Di erentiate both sides of (2 4) with respect to t, again using (1 2) to handle the left side

Chapitre 3 - Int´egrales impropres

sint t dt est faussement impropre en 0, donc convergente En eﬀet, sint t −−−−→ t→0+ 1 d) Exemples de r´ef´erence Les int´egrales impropres de r´ef´erence sont les int´egrales de Riemann : Th´eor`eme 3 (Crit`ere de Riemann) (i) Z +∞ 1 dt tα converge ⇐⇒ α > 1 (ii) Z 1 → 0 dt tα converge ⇐⇒ α < 1 3

AGRÉGATION INTERNE DE MATHÉMATIQUES

sint t sin2 t t = 1 cos2t 2t:= g(t) 0 et observer que g n’est pas intØgrable en +1 (en e˙et, cos2t=t l’est pour les mŒmes raisons que sint=t mais pas 1=t ) ce qui, via les thØorŁmes de comparaison pour les fonctions positives assure la non-intØgrabilitØ de t 7jsin(t) t j en l’in˝ni

4 Improper Integrals - homeiitmacin

138 Improper Integrals M T Nair 4 1 3 Typical examples Example 4 1 Consider the improper integral Z 1 1 1 x dx Note that Z t 1 1 x dx= [lnx]t 1 = lnt1 as t1: Hence, R 1 1 1 x dxdiverges

Calcul de primitives et dintégrales

On est bien ramené au calcul d'une primitive de la fonction rationnelle S(t) = R 2t 1+t2 1−t2 1+t2 2 1+t2 2- Règles de Bioche : Cependant, dans certains cas, on peut utiliser un changement de ariablev qui donne des calculs moins

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AGRÉGATIONINTERNEDEMATHÉMATIQUES

L'INTÉGRALEDEDIRICHLETZ

0sin(t)tdt.

PATRICELASSÈRE

0sin(t)

tdt.

1.Préliminaires

Laconvergencedel'intégraleimpropreR+1

0sin(t)

tdtestclassique:iln'yapasdeproblèmes intégrationparpartiesdonne Z x

1sin(t)

tdt= cos(t)t x 1Z x

0cos(t)

t2dt jcos(t)=t2jt22L1([1;+1[))versR1

1cos(t)=t2dt2R.ParconséquentR+1

0sin(t)

tdtconverge.

Parcontrel'intégraleR+1

0jsin(t)

àécrirepourtoutentierN2

Z N 1 sint t dtNX k=1Z k+3=4 k+=4 sint t dt NX k=1p2 2Z k+3=4 k+=4dtt NX k=1 p 2 k+3=4p2NX k=11k%+1:

0jsin(t)

tjdt;2]0;1]...). 1

2PATRICELASSÈRE

Onpeutaussiplussimplementécrire

sint t sin2t t =1cos2t

2t:=g(t)0

tjenl'inni. Z +1 0 sin(t) t 2 dt= sin2tt +Z +1

02sin(t)cos(t)tdt=Z

0sin(2t)tdt

d'oùlaremarquable1formule Z +1

0sin(t)

tdt=Z +1 0 sin(t)t 2 dt:

2.CalculsdeZ

0sin(t)

tdt

Exercice1:SoitF(x)=Z

0sin(xt)t(t2+1)dt.

1)PréciserledomainededénitiondeF.

3)ExprimerF(x)enfonctiondeC:=Z

0sin(t)

tdt

4)EndéduirelavaleurdeC.

t(t2+1).

êSoita>0,pourx2[a;a]ett2R+ona

jf(x;t)j= sin(xt) t1t2+1 jxj t2+1at2+12L1(R+); C

1OnaaussiR+1

0sin(t)

tdt=P n1sin(n)n=2 +1

0sin(t)tdt.3

ê@xf(x;t)=cos(xt)

t2+1,onadoncpourtoutx2Rett2R+ j@xf(x;t)j= cos(xt) t2+1 1 t2+12L(R); +1

0cos(xt)

t2+1dt: @2xf(x;t) tsin(xt) t2+1 t!1 sin(xt) t etcettedernièren'est(comme sin(t)t l'intégrale:soitx2R?: F

0(x)=Z

0cos(xt)

t2+1dt=sin(xt)x(t2+1) 1 0+Z +1

02tsin(xt)

x(t2+1)2dt Z +1

02tsin(xt)

x(t2+1)2dt:

Ainsi,pourx6=0ona

(8)F0(x)=Z +1

0cos(xt)

t2+1dt=Z +1

02tsin(xt)x(t2+1)2dt

paramètres,eneetsoita>0,pourxa @x

2txsin(xt)(t2+1)2

2t x2sin(xt)(t2+1)2

2t2cos(xt)

x(t2+1)2 j2tja2(t2+1)2+2t2a(t2+1)22L1(R) F

00(x)=Z

+1 0 2t x2sin(xt)(t2+1)2+2t2cos(xt)x(t2+1)2 dt;8x2R?:

4PATRICELASSÈRE

00(x)=Z

+1 0 2t (t2+1)2sin(xt)x2+2t2cos(xt)x(t2+1)2 dt sin(xt) x2(t2+1)tcos(xt)x(t2+1) 1 0Z +1 0 xcos(xt) x2(t2+1)cos(xt)xtsin(xt)x(t2+1) dt =Z +1

0tsin(xt)

t2+1dt: F

00(x)=Z

+1 0@ 2 @x2f(x;t)dt;x2R?; F

0(x)=Z

0cos(xt)

t2+1dt;8x2R; F

00(x)=Z

0tsin(xt)

t2+1dt;8x2R?:

êAinsi,pourtoutx2R?,

F(x)F00(x)=Z

0sin(xt)

t(t2+1)dt+Z +1

0tsin(xt)x(t2+1)dt

Z +1

0sin(xt)

tdt=(

C;8x2R?

+etFF00=CsurR? ce quinousdonne

F(x)=(

ae x+bex+C;8x2R? ce x+dexC;8x2R?

Fétantimpaire,a=d;b=csoit

F(x)=(

ae x+bex+C;8x2R? bexaexC;8x2R? +1

0sin(t)tdt.5

F(0)=0=limx!0+F(x)=a+b+C=limx!0F(x)=abC

2a==2C;2b=C=2etnalement

(4)F(x)=

2sh(x)Cch(x)+C;8x2R?

F(x)C=F00(x)=Z

+1 0 2t x2sin(xt)(t2+1)2+2t2cos(xt)x(t2+1)2 dt onaladomination 2t x2sin(xt)(t2+1)2+2t2cos(xt)x(t2+1)2 2t a2(t2+1)2+2t2a(t2+1)22L1(R+): lim x!+1(F(x)C)=Z +1 0 limx!+1 2t x2sin(xt)(t2+1)2+2t2cos(xt)x(t2+1)2 dt=0 soitavec(4) lim x!+1F(x)=CetF(x)+1 2C e x+C quidonnent C=Z +1

[PDF] AGRÉGATION INTERNE DE MATHÉMATIQUES

AGRÉGATIONINTERNEDEMATHÉMATIQUES

L'INTÉGRALEDEDIRICHLETZ

0sin(t)tdt.

PATRICELASSÈRE

0sin(t)

1.Préliminaires

Laconvergencedel'intégraleimpropreR+1

0sin(t)

1sin(t)

0cos(t)

1cos(t)=t2dt2R.ParconséquentR+1

0sin(t)

Parcontrel'intégraleR+1

0jsin(t)

àécrirepourtoutentierN2

0jsin(t)

2PATRICELASSÈRE

Onpeutaussiplussimplementécrire

2t:=g(t)0

02sin(t)cos(t)tdt=Z

0sin(2t)tdt

0sin(t)

2.CalculsdeZ

0sin(t)

Exercice1:SoitF(x)=Z

0sin(xt)t(t2+1)dt.

1)PréciserledomainededénitiondeF.

3)ExprimerF(x)enfonctiondeC:=Z

0sin(t)

4)EndéduirelavaleurdeC.

êSoita>0,pourx2[a;a]ett2R+ona

1OnaaussiR+1

0sin(t)

0sin(t)tdt.3

ê@xf(x;t)=cos(xt)

0cos(xt)

0(x)=Z

0cos(xt)

02tsin(xt)

02tsin(xt)

Ainsi,pourx6=0ona

0cos(xt)

02tsin(xt)x(t2+1)2dt

2txsin(xt)(t2+1)2

2t2cos(xt)

00(x)=Z

4PATRICELASSÈRE

00(x)=Z

0tsin(xt)

00(x)=Z

0(x)=Z

0cos(xt)

00(x)=Z

0tsin(xt)

êAinsi,pourtoutx2R?,

F(x)F00(x)=Z

0sin(xt)

0tsin(xt)x(t2+1)dt

0sin(xt)

C;8x2R?

C;8x2R?

F(x)=(

Fétantimpaire,a=d;b=csoit

F(x)=(

0sin(t)tdt.5

F(0)=0=limx!0+F(x)=a+b+C=limx!0F(x)=abC

2a==2C;2b=C=2etnalement

2sh(x)Cch(x)+C;8x2R?

F(x)C=F00(x)=Z

0sin(t)

C.Q.F.D.o

0sin(t)textdt.

1)Montrerquef2C1(R?

2)EndéduireuneformeexplicitedefsurR?

3)Montrerquefestcontinueàl'origine.