Droites et plans dans lespace - pierreluxnet
2 ) Deux droites parallèles à un même plan sont parallèles entre elles 3 ) Deux plans parallèles à un même troisième sont parallèles entre eux 4 ) Une droite et un plan parallèles à une même droite sont parallèles entre eux 5 ) Une droite et un plan parallèles à un même plan sont parallèles entre eux Pour les exercices 2, 3
Parallélisme et orthogonalité dans lespace
Si deux droites sont parallèles, alors toute parallèle à l'une est parallèle à l'autre De même : Si deux plans sont parallèles, alors tout plan parallèle à l'un est parallèle à l'autre Attention Deux droites parallèles à un même plan ne sont pas obligatoirement parallèle entre elles De même, deux plans parallèles à une
Chapitre 11 : Géométrie vectorielle dans l’espace
donc elle est parallèle à un plan ( ) De même la droite ( ), parallèle à ( ), est parallèle au plan ( ) Attention : Les droites ( ) et ( ) sont parallèles à un même plan mais ne sont pas parallèles entre elles Propriété 3 : Deux plans sont parallèles si et seulement si deux droites sécantes de l’un sont parallèles à deux
DROITES, PLANS ET VECTEURS DE L’ESPACE
parallèles à deux droites sécantes et de Pour qu’une droite soit parallèle à un plan , il suffit que soit parallèle à une droite de Si deux plans et un et un seul plan sont parallèles à un même plan alors et sont parallèles entre eux Etant donnée un plan et un point , il existe passant par et
Positions relatives de droites et de plans de lespace
6 Parallélisme entre droites Si deux droites sont parallèles à un même troisième alors elles sont parallèles entre elles Si D1//D3 et siD2//D3alorsD1//D2 Attention, les droites D1; D2 et D3 ne sont pas nécessairement contenues dans un même paln Si deux droites sont parallèles alors tout plan sécant avec l'une est sécant avec l'autre
POSITIONS RELATIVES DE DROITES Parallélisme de deux droites
1- Parallélisme de deux droites RAPPEL : Dans le plan, deux droites peuvent être : - soit parallèles (confondues ou strictement parallèles) - sécantes Or deux droites sont parallèles lorsqu’elles ont la même direction, ce qui se traduit par le fait que deux de leurs vecteurs directeurs sont colinéaires Ainsi leur déterminant est nul
Terminale S – Lycée Desfontaines – Melle Chapitre 14
Droites parallèles • Si deux droites sont parallèles, alors tout plan qui coupe l’une coupe l’autre • Si deux droites sont parallèles à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles • Par un point de l’espace, il passe une droite et une seule parallèle à une droite donnée 2 Droite parallèle à un plan
Méthode pour démontrer en géométrie dans l’espace 1
qu’elles sont coplanaires Il s’agit de trouver un plan contenant ces deux droites → deux plans parallèles coupés par un même plan nous donne deux droites d’intersection parallèles entre elles → avec les vecteurs, pour montrer que deux droites sont parallèles, on montre qu’elles ont des vecteurs directeurs colinéaires
Géométrie dans l’espace
— Une droite et un plan de l’espace sont parallèles lorsqu’ils ne sont pas sécants Propriété — Si deux droites sont parallèles à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles, — Si deux droites sécantes d’un plan P sont respectivement parallèles à deux droites sécantes d’un
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Parallélisme et orthogonalitédans l'espaceA. Parallélisme dans l'espace1- Droite parallèle à un planPour qu'une droite soit parallèle à un plan, il suffit qu'elle soit parallèle à une droite du plan.Hypothèses :- la droite d est incluse dans le plan P- les droites d et d' sont parallèlesConclusion :La droite d est parallèle au plan P.2- Plans parallèlesPour que deux plans soient parallèles, il suffit que l'un d'entre eux contienne deux droites
sécantes parallèles à l'autre.Hypothèses :- le plan P' contient les droites sécantes d1 et d2
- les droites d1 et d2 sont parallèles à PConclusion :Le plan P' est parallèle au plan P.3- Transitivité du parallélismeSi deux droites sont parallèles, alors toute parallèle à l'une est parallèle à l'autre.De même :Si deux plans sont parallèles, alors tout plan parallèle à l'un est parallèle à l'autre.AttentionDeux droites parallèles à un même plan ne sont pas obligatoirement parallèle entre elles.De même, deux plans parallèles à une même droite ne sont pas obligatoirement parallèles entre
eux.4- Plan coupant deux plans parallèlesSi deux plans sont parallèles, tout plan sécant les coupe suivant des droites parallèles.KB 1 sur 3Pd
d' P P' d1d2Hypothèses :P et P' sont deux plans parallèles. Le plan Q coupe P suivant la droite d et P' suivant la droite d'. Conclusion :Les droites d et d' sont parallèles.5- Théorème du toitSi deux plans sécants contiennent des droites parallèles, alors leur intersection est parallèle à
ces droites. (théorème du toit)Hypothèses :P et P' se coupent suivant la droite D;P contient la droite d et P' contient la droite d';d et d' sont parallèles. Conclusion :La droite D est parallèle aux droites d et d'. B. Orthogonalité dans l'espace1- Droites perpendiculaires et droites orthogonalesOn dit que deux droites sont perpendiculaires lorsqu'elles se coupent en formant un angle
droit.Remarque : deux droites perpendiculaires sont sécantes, donc coplanaires.On dit que deux droites sont orthogonales si l'une d'elles est parallèle à une droite
perpendiculaire à l'autre.Remarque : deux droites perpendiculaires sont orthogonales.ExemplesDans le cube ABCDEFGH :- les droites (AB) et (BC) sont perpendiculaires, elles sont sécantes
et forment un angle droit- les droites (AB) et (FG) sont orthogonales, effet la droite (FG) est parallèle à la droite (BC) qui est perpendiculaire à (AB).KB 2 sur 3P P' d d' D P P' Q d d'ABC D EFG H2- Droite perpendiculaire à un planOn dit qu'une droite est perpendiculaire (ou orthogonale) à un plan lorsqu'elle est
orthogonale à deux droites sécantes du plan.Propriété fondamentaleSi une droite est perpendiculaire à un plan, alors elle est orthogonale à toutes les droites du
plan.ExempleDans le cube ABCDEFGH , la droite (AE) est perpendiculaire auplan (EFG), en effet elle est orthogonale à (EF) et à (EH).Comme (AE) est perpendiculaire au plan (EFG) elle est orthogonale
à toutes les droites de (EFG), donc (AE) est orthogonale à (FH) et à(EG).3- Relations entre parallélisme et orthogonalitéPropriété 1Deux droites perpendiculaires à un même plan sont parallèles.Hypothèses :- d est perpendiculaire à P- d' est perpendiculaire à PConclusion :d et d' sont parallèles.Propriété 2Deux plans perpendiculaires à une même droite sont parallèles.Hypothèses :- d est perpendiculaire à P- d est perpendiculaire à P'Conclusion :P et P' sont parallèles.AttentionContrairement à ce qui se passe dans le plan, deux droites
perpendiculaires à une même troisième ne sont pas obligatoirement parallèles.Ainsi, dans le cube ABCDEFGH, les droites (AD) et (DH) sont perpendiculaires à (DC), mais elles ne sont pas parallèles.KB 3 sur 3ABC D EFG H ABC D EFG Hd P P' P dd'quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44