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Positions relatives de droites et plans Parallélisme dans l

Parallélisme dans l’espace Construire le point d’intersection de la droite (MN) et du plan(BCD) Les droites (AN) et (CD) sont sécantes en I Les droites (AM) et (BC) sont sécantes en J Les droites (IJ) et (MN) sont contenues dans le plan (AIJ), elles sont sécantes en K

Terminale S – Lycée Desfontaines – Melle Chapitre 14

Chapitre 14 – Géométrie dans l’espace – Partie 1 – Rappels et compléments Page 2 sur 6 II Parallélisme dans l’espace 1 Droites parallèles • Si deux droites sont parallèles, alors tout plan qui coupe l’une coupe l’autre • Si deux droites sont parallèles à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles

Géométrie dans l’espace (II) Les vecteurs de l’espace

Géométrie dans l’espace (II) Les vecteurs de l’espace Représentation paramétrique d’une droite Compétences Exercices corrigés Démontrer un alignement, un parallélisme avec le calcul vectoriel 7 et 9 page 239 Montrer que des vecteurs ou des points sont coplanaires 8 page 239 ; 11 page 241; 85 page 249

Equation cartésienne d’un plan Géométrie dans l’espace

Equation cartésienne d’un plan – Géométrie dans l’espace – Exercices corrigés Rappel : Parallélisme de plans et vecteurs normaux colinéaires

VECTEURS DE L’ESPACE - AlloSchool

avec Exercices avec solutions I) DEFINITION : Vecteur de l’espace Définition : Soient , deux points dans l’espace ℰ Si et sont distinctes alors Pour tout point ???? dans l’espace ℰ il existe un point unique N dans l’espace ℰ tel que :MABN est un parallélogramme et est écrit : u AB MN

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE - cours et exercices corrigés de

Déterminer l’intersection de la droite (D) et du plan (P) après avoir étudié leur parallélisme a) ( P ) est le plan d’équation 02x − y + 5 z −1= et ( D ) la droite de représentation paramétrique

Géométrie dans lespace

Orthogonalité dans l'espace 11 1 Droites et plans : Positions relatives 1 1 Plan de l'espace Rappel Par deux points distincts du plan passe une unique droite Une droite est ainsi définie par deux points distincts Fondamental Par trois points non alignés de l'espace passe un unique plan

Géométrie dans l’espace (I) Droites et plans de l’espace

Géométrie dans l’espace (I) Droites et plans de l’espace - Sections planes Compétences Exercices Corrigés Étudier les positions relatives d'une droite et d'un plan, de deux plans Savoir-faire 1 et 2 page 235 Déterminer une section plane Savoir-faire 3 page 235 ; 42 page 246 A - Droites et plans de l'espace

Sujets des dossiers d’arithmétique, algèbre et géométrie

7 Équations, inéquations du premier et du second degré à une inconnue (ou pouvant s’y ramener) (2) 30 CG05-7-3 : Bille dans l’eau dans un cylindre (06 2, 07 2

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Géométrie dans l'espace (I)

Droites et plans de l'espace - Sections planes

CompétencesExercices Corrigés

Étudier les positions relatives d'une droite et d'un plan, de deux plansSavoir-faire 1 et 2 page 235

Déterminer une section planeSavoir-faire 3 page 235 ; 42 page 246

A - Droites et plans de l'espace

Vidéo (Mathrix) : https://www.youtube.com/watch?v=q7K9pzKGBGs

Règles de bases

•Par deux points distincts de l'espace, passe une unique droite. •Par trois points non alignés (ou deux droites sécantes) passe un unique plan. •Si un plan contient deux points distincts A et B, il contient la droite (AB).

•Tous les théorèmes et propriétés de géométrie plane s'appliquent dans chaque plan de l'espace.

a) Positions relatives de deux droites

Deux droites de l'espace sont :

- soit coplanaires, -soit non coplanaires.

Si deux droites sont coplanaires, alors

elles sont parallèles ou sécantes. b) Positions relatives d'une droite et d'un plan

Une droite et un plan de l'espace sont :

- soit sécants, - soit parallèles.

Lorsqu'une droite D est contenue (ou

incluse) dans un plan P, on note D ⊂ P. c) Positions relatives de deux plans

Deux plans de l'espace sont :

- soit sécants suivant une droite, - soit parallèles.

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d) Parallélisme dans l'espace

Propriété 1 : Deux droites parallèles à une même troisième droite sont parallèles entre elles.

Deux plans parallèles à un même troisième plan sont parallèles entre eux. Propriété 2 : Parallélisme d'une droite et d'un plan Si une droite (d1) est parallèle à une droite (d2) incluse dans un plan P, alors la droite (d1) est parallèle au plan P.

Exemple : Sur le cube représenté ci-contre, la droite (HG) est parallèle à la droite (DC)

donc la droite (HG) est parallèle au plan (ADC). On note (HG) // (ADC). Attention : Les droites (HG) et (EH) sont toutes les deux parallèles au plan (ADC) mais elles ne sont pas parallèles entre elles. Propriété 3 : Parallélisme de deux droites Si deux plans P et P ' sont strictement parallèles, alors tout plan S qui coupe le plan P coupe aussi le plan P ' et les droites d'intersections sont parallèles.

Propriété 4 : Théorème du toit

Soit P et P ' deux plans sécants suivant une droite . Si une droite d de P est parallèle à une droite d' de P ' alors la droite d'intersection de P et P ' est parallèle à d et à d'. Preuve : Notons  la droite d'intersection des plans P et P ''. Soit A un point de  et notons ' la parallèle à d passant par A. La droite ' est parallèle à d et A est un point de P , donc ' est incluse dans P .

De même, ' est parallèle à d' et A est un point de P ', donc ' est incluse dans P '.

On en déduit donc, que les droites  et ' sont confondues. Conclusion :  est parallèle aux droites d et d'.

Vidéo : utilisation du théorème du toit (Y. Monka) : https://www.youtube.com/watch?v=TG-bVLDmAX4&feature=youtu.be

Propriété 5 : Parallélisme de deux plans

Si un plan P contient deux droites d et d' sécantes et respectivement parallèles à deux droites d'un plan P ', alors les plans P et P ' sont parallèles. Exemple : Sur le cube représenté ci-contre, le plan (EFG) contient deux droites sécantes (HG) et (HE) respectivement parallèles à deux droites (DC) et (AD) incluses dans le plan (ABC). Les plans (EFG) et (ABC) sont donc parallèles. Activité 1 page 232 - Exercices 2 à 11 page 244 - 37 à 41 page 246

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Géométrie dans l'espace (I)

Droites et plans de l'espace - Sections planes

B) Section d'un solide par un plan

Déterminer la section d'un solide donné par un plan P, c'est déterminer le polygone dont les côtés sont les segments d'intersection des faces du solide et du plan de section P. Les propriétés fréquemment utilisées pour déterminer une section : P1. Si un plan contient deux points distincts A et B, il contient tous les points de la droite (AB). P2. Deux plans sont soit parallèles soit sécants suivant une droite. P3. Deux droites coplanaires et non parallèles sont sécantes.

P4. Si deux plans sont parallèles, tout plan sécant à l'un est sécant à l'autre et les droites d'intersections sont

parallèles.

1er exemple : Section d'un cube ou d'un pavé droit

Justifier chaque étape à l'aide des propriétés énoncées ci-dessus a) Déterminer la section du cube ABCDEFGH par le plan (DIF), I est le milieu de [AB]. N° : .................. ....................................... ................... b) Déterminer la section du cube ABCDEFGH par le plan (KLM), M milieu de [FG] et K est le point de [EF] tel que FK = 1 4 FE.

N° :.................. ................ .................. ................. .................

Exercice : Dans chaque cas, déterminer la section du solide par le plan proposé :

Section du cube par le plan (AHJ)

J est le milieu de [FG]Section du cube par le plan (APQ)

Q est le milieu de [EH] et BP = 1

4BF

TS - Valérie Larose et Muriel Vallélian Lycée S. Hessel de Vaison La Romaine3/4La section du cube

par le plan (DIF) est le polygone rouge DIFX

La section du cube

par le plan (KLM) est le polygone rouge KMLYZ

Section du cube par le plan (KIL)

L est le milieu de [GC] ; AK = 1

4AE et AI =

3

4ABSection du pavé par le plan (KIJ)

J est un point de la face ABCD ; L est le milieu de [GC] ;

K est le milieu de [HG] et GI = 1

4GF

2ème exemple : Section d'un tétraèdre

Attention, le tétraèdre n'a pas de faces parallèles...

La propriété P4 ne s'applique plus !

Exercice : Dans chaque cas, déterminer la section du tétraèdre ABCD par le plan proposé :

Plan : (DEF)

E ∈ [AB] ; F ∈ [AC]Plan : (EFG)

E ∈ [AB] ; G ∈ [AD] et F ∈ (ABC)Plan : (EFG)

E ∈ [AB] ; F ∈ (ABC)et G ∈ (BCD)

À consulter régulièrement :

Vidéo : jaicompris.com (section d'un cube) : https://www.youtube.com/watch?v=DZOqmxMFplM Vidéo : j'aicompris.com : https://www.youtube.com/watch?v=Dgmr9V1ytFo Vidéo (Y. Monka) : https://www.youtube.com/watch?v=4y00KbuCpsc&feature=youtu.be Pour s'entraîner régulièrement (site utilisé en salle info) : Interesp : http://lycee-valin.fr/maths/exercices_en_ligne/espace.html À connaître... les différents volumes étudiés les années précédentes.

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