TD 1: Groupes, sous-groupes, morphismes de groupes, parties g
1 Montrer que la multiplication des nombres complexes definit une structure de groupe sur´ C 2 V´erifier que l’ensemble R + des nombres r´eels strictement positifs est un sous-groupe de C 3 Montrer que l’application CR + z 7jzj= q Re(z)2 +Im(z)2 est un morphisme de groupes On note U le noyau du morphisme ci-dessus
Morphisme, sous-groupe distingué, quotient
que f est un morphisme surjectif de groupes dont le noyau est m n=d Indication H [002146] Exercice 12 Soit f : G H un morphisme de groupes finis Soit G0un sous-groupe de G Montrer que l’ordre de f(G0) divise les ordres de G0et de H Indication H [002147] Exercice 13 Soit f : G H un morphisme de groupes finis
Groupes, anneaux, corps - Licence de mathématiques Lyon 1
5 Démontrer que est un homomorphisme de groupe si et seulement si le groupe est abélien Allez à : Correction exercice 22 Exercice 23 Soit ( ) un groupe d’élément neutre 1 Soit l’application de dans qui à tout élément son inverse Prouver que est un (homo)morphisme de groupe si et seulement si est abélien 2
Fiche n 2: Morphisme, sous-groupe distingu´e, quotient
Montrer que f est un morphisme surjectif de groupes dont le noyau est µ n/d Exercice 14 Soit f : G → H un morphisme de groupes finis Soit G0 un sous-groupe de G Montrer que l’ordre de f(G0) divise les ordres de G0 et de H Exercice 15 Soit f : G → H un morphisme de groupes finis Soit G0 un sous-groupe de G
Travaux Dirig es : Groupes, sous-groupes et morphismes
b) Trouver les applications f: R R, d erivables, dont le graphe est un sous-groupe de (R2;) Exercice 5 Soit (G;) un groupe , Het Kdeux sous-groupes de G a) Montrer que H\Kest un sous-groupe de G b) Montrer que H[Kest un sous-groupe de Gsi et seulement si : HˆKou KˆH Exercice 6
TD4 : Produit semi-direct - DMA/ENS
Soient N et H des groupes et soit ˚ : H Aut(N) un morphisme de groupes Notons No ˚ H l’ensemble N Hmuni de la loi de composition d e nie par (n 1;h 1) o ˚ (n 2;h 2) = (n 1˚(h 1)(n 2);h 1h 2) a) Montrer que No ˚ Hest un groupe, appel e produit semi-direct de Hpar Nrelativement a ˚ b) Montrer que Nf e HgCNo ˚ Het fe Ng H
TD1 : G en eralit es sur les groupes - DMA/ENS
Soit Gun groupe et soit Hun sous-ensemble ni non vide de Gstable pour la loi de composition du groupe G a) Montrer que Hest un sous-groupe de G b) Trouver un exemple d’un groupe Get d’un sous-ensemble non vide de Gstable pour la loi de composition du groupe Gqui ne soit pas un sous-groupe de G Solution de l’exercice 3 a) Soit h2H
Structuresalgébriques(groupes) Examenfinal-Corrigé
4 Donner un exemple de morphisme non trivial du groupe symétrique S n vers legroupemultiplicatifC∗ Solution (1point) Lemorphismesignature,quiaunepermutationσassocie(−1)r siσs’écrità l’aidedertranspositions 5 Donnerunexempledep-groupenoncommutatif, pourunnombrepremier p devotrechoix Solution (1point) Le groupe diédral D
Corrig¶e de la feuille d’exercices 2
Corrig¶e de la feuille d’exercices 2 1 Polyµedres r¶eguliers 1 1 Trois polyµedres r¶eguliers et leurs groupes Exercice 1 Le t¶etraµedre r¶egulier: on note IT le groupe des isom¶etries qui laissent le t¶etraµedre globalement invariant et DT le sous-groupe de IT constitu¶e par les d¶eplacements de IT
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