TD 1: Groupes, sous-groupes, morphismes de groupes, parties g
1 Montrer que la multiplication des nombres complexes definit une structure de groupe sur´ C 2 V´erifier que l’ensemble R + des nombres r´eels strictement positifs est un sous-groupe de C 3 Montrer que l’application CR + z 7jzj= q Re(z)2 +Im(z)2 est un morphisme de groupes On note U le noyau du morphisme ci-dessus
Morphisme, sous-groupe distingué, quotient
que f est un morphisme surjectif de groupes dont le noyau est m n=d Indication H [002146] Exercice 12 Soit f : G H un morphisme de groupes finis Soit G0un sous-groupe de G Montrer que l’ordre de f(G0) divise les ordres de G0et de H Indication H [002147] Exercice 13 Soit f : G H un morphisme de groupes finis
Groupes, anneaux, corps - Licence de mathématiques Lyon 1
5 Démontrer que est un homomorphisme de groupe si et seulement si le groupe est abélien Allez à : Correction exercice 22 Exercice 23 Soit ( ) un groupe d’élément neutre 1 Soit l’application de dans qui à tout élément son inverse Prouver que est un (homo)morphisme de groupe si et seulement si est abélien 2
Fiche n 2: Morphisme, sous-groupe distingu´e, quotient
Montrer que f est un morphisme surjectif de groupes dont le noyau est µ n/d Exercice 14 Soit f : G → H un morphisme de groupes finis Soit G0 un sous-groupe de G Montrer que l’ordre de f(G0) divise les ordres de G0 et de H Exercice 15 Soit f : G → H un morphisme de groupes finis Soit G0 un sous-groupe de G
Travaux Dirig es : Groupes, sous-groupes et morphismes
b) Trouver les applications f: R R, d erivables, dont le graphe est un sous-groupe de (R2;) Exercice 5 Soit (G;) un groupe , Het Kdeux sous-groupes de G a) Montrer que H\Kest un sous-groupe de G b) Montrer que H[Kest un sous-groupe de Gsi et seulement si : HˆKou KˆH Exercice 6
TD4 : Produit semi-direct - DMA/ENS
Soient N et H des groupes et soit ˚ : H Aut(N) un morphisme de groupes Notons No ˚ H l’ensemble N Hmuni de la loi de composition d e nie par (n 1;h 1) o ˚ (n 2;h 2) = (n 1˚(h 1)(n 2);h 1h 2) a) Montrer que No ˚ Hest un groupe, appel e produit semi-direct de Hpar Nrelativement a ˚ b) Montrer que Nf e HgCNo ˚ Het fe Ng H
TD1 : G en eralit es sur les groupes - DMA/ENS
Soit Gun groupe et soit Hun sous-ensemble ni non vide de Gstable pour la loi de composition du groupe G a) Montrer que Hest un sous-groupe de G b) Trouver un exemple d’un groupe Get d’un sous-ensemble non vide de Gstable pour la loi de composition du groupe Gqui ne soit pas un sous-groupe de G Solution de l’exercice 3 a) Soit h2H
Structuresalgébriques(groupes) Examenfinal-Corrigé
4 Donner un exemple de morphisme non trivial du groupe symétrique S n vers legroupemultiplicatifC∗ Solution (1point) Lemorphismesignature,quiaunepermutationσassocie(−1)r siσs’écrità l’aidedertranspositions 5 Donnerunexempledep-groupenoncommutatif, pourunnombrepremier p devotrechoix Solution (1point) Le groupe diédral D
Corrig¶e de la feuille d’exercices 2
Corrig¶e de la feuille d’exercices 2 1 Polyµedres r¶eguliers 1 1 Trois polyµedres r¶eguliers et leurs groupes Exercice 1 Le t¶etraµedre r¶egulier: on note IT le groupe des isom¶etries qui laissent le t¶etraµedre globalement invariant et DT le sous-groupe de IT constitu¶e par les d¶eplacements de IT
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Enoncés : Michel Emsalem,
Corrections : Pierre DèbesExo7
Morphisme, sous-groupe distingué, quotient
Exercice 1
SoitGun groupe tel que l"applicationx!x1soit un morphisme. Montrer queGest commutatif. SoientGun groupe etn>1 un entier tels que l"applicationx!xnsoit un automorphisme deG. Montrer que pour tout élémentxdeG,xn1appartient au centre deG. Montrer que le groupe des automorphismes du groupeZ=2ZZ=2Zest isomorphe au groupe symétriqueS3. Montrer qu"un sous-groupe d"indice 2 dans un groupeGest distingué dansG.SoitGun groupe etHun sous-groupe. On suppose que le produit de deux classes à gauche moduloHest une
classe à gauche moduloH. Montrer queHest distingué dansG.SoitGun groupe et'une relation d"équivalence surG. On suppose que cette relation est compatible avec la
loi de groupe, c"est-à-dire que8x;y2G8x0;y02G x'x0ety'y0alorsxy'x0y0
Montrer que la classeHde l"élément neutre 1 est un sous-groupe distingué deGet que8x;x02G x'x0est équivalent àx0x12H
SoitGun groupe etKHGdeux sous-groupes. On suppose queHest distingué dansGet queKestcaractéristique dansH(i.e. stable par tout automorphisme deH). Montrer qu"alorsKest distingué dansG.
Donner un exemple de groupeGet de deux sous-groupesKHG,Hétant distingué dansGetKétant distingué dansH, maisKn"étant pas distingué dansG. 1 (a) Montrer que pour tous entiers premiers entre euxm;n>0, les deux groupes(Z=mnZ)et(Z=mZ) (Z=nZ)sont isomorphes. En déduire quej(mn) =j(m)j(n), oùjest la fonction indicatrice d"Euler. (b)Legroupemultiplicatif(Z=15Z)est-ilcyclique? Montrerque(Z=8Z)'(Z=2Z)(Z=2Z), que(Z=16Z)' (Z=4Z)(Z=2Z). Etudier le groupe multiplicatif(Z=24Z). oùedésigne l"élément neutre deG, alorsz=e. (b) Montrer que simetnsont deux entiers premiers entre eux, l"application f:mmmn!mmn qui au couple(s;t)fait correspondre le produitstest un isomorphisme de groupesMontrer que les groupesm4etm2m2ne sont pas isomorphes. De façon générale montrer que simetnsont
des entiers qui ne sont pas premiers entre eux, les groupesmmnetmmmnne sont pas isomorphes.Soitnetddeux entiers tels queddivisen. On définit une applicationf:mn!mdqui àsassociesn=d. Montrer
quefest un morphisme surjectif de groupes dont le noyau estmn=d. Soitf:G!Hun morphisme de groupes finis. SoitG0un sous-groupe deG. Montrer que l"ordre def(G0) divise les ordres deG0et deH. Soitf:G!Hun morphisme de groupes finis. SoitG0un sous-groupe deGd"ordre premier à l"ordre deH.Montrer queG0ker(f).
SoitGun groupe fini etHetKdeux sous-groupes deG. On suppose queHest distingué dansG, quejHjet jG=Hjsont premiers entre eux etjHj=jKj. Montrer queH=K. Soitfun morphisme de groupesf:Q!Q>0,Qétant muni de l"addition etQ>0muni de la multiplication.Calculerf(n)en fonction def(1)pour tout entiern>0. Montrer que les deux groupes précédents ne sont pas
isomorphes. Trouver tous les morphismes du groupe additifQdans lui même.Même question deQdansZ.
Même question deZ=mZdansZ.
2Etant donnés deux entiersm;n>0, déterminer tous les morphismes de groupe deZ=mZdansZ=nZ, puis tous
les automorphismes deZ=nZ. SoitGun groupe etHun sous groupe distingué deGd"indicen. Montrer que pour touta2G,an2H. Donner un exemple de sous-groupeHnon distingué deGpour lequel la conclusion précédente est fausse. SoitGun groupe fini etHun sous-groupe distingué d"ordrenet d"indicem. On suppose quemetnsont premiers entre eux. Montrer queHest l"unique sous-groupe deGd"ordren.Montrer que SL
n(R)est un sous-groupe distingué du groupe GLn(R)et que le groupe quotient est isomorpheàR.
On considère les groupes suivants :
T=fz2Cjjzj=1gmn=fz2Cjzn=1gm¥=fz2Cj9n zn=1g
(a) Montrer les isomorphismes suivants :R=Z'TC=R>0'TC=R'T T=mn'TC=mn'C
(b) Montrer quem¥'Q=Z. Quels sont les sous-groupes finis dem¥? (c) Montrer qu"un sous-groupe de type fini deQcontenantZest de la forme1qZ. En déduire la forme des
sous-groupes de type fini deQ=Zet dem¥. (d) Soitpun nombre premier. Montrer quemp¥=fz2Cj9n2Nzpn=1gest un sous-groupe dem¥. Est-il de type fini? SoitGun sous-groupe d"indice fini du groupe multiplicatifC. Montrer queG=C. SoitGun groupe etHun sous-groupe contenu dans le centreZ(G)deG. Montrer queHest distingué dansG et que, si le groupe quotientG=Hest cyclique,G=Z(G).Montrer qu"un groupe d"ordrep2oùpest un nombre premier est abélien. (On utilisera que le centre d"unp-
groupe est non trivial, ce qui est une conséquence classique de la "formule des classes" (voir chapitre suivant)).
3Exercice 25
(a) Soitpun nombre premier. Montrer que tout morphisme de groupes entreFnpetFmpest une applicationFp -linéaire. (b) Montrer que le groupe des automorphismes deZ=pZest isomorphe au groupe multiplicatifFp. (c) Déterminer le nombre d"automorphismes deFnp. Déterminer le centre du groupeGLn(Fp)des automorphismes de(Fp)n.Soitpun nombre premier. Montrer qu"un groupe abélien fini, dont tous les éléments différents de l"élément
neutre sont d"ordrep, est isomorphe à(Z=pZ)n. (a) SoitGun groupe etHun sous-groupe distingué deG. On notejla surjection canoniquej:G!G=H. Montrer que l"ordre d"un élémentxdeGest un multiple de l"ordre dej(x). (b) Pour toutx2Gon posetxl"application deGdansGdéfinie partx(y) =xyx1. Montrer quetxest un automorphisme deGet que l"application x!tx est un morphisme de groupes deGdans Aut(G). Quel est le noyau de ce morphisme?(c) On suppose queGest fini et queHest un sous-groupe distingué dont l"ordre est le plus petit nombre premier
pdivisant l"ordre deG. Montrer que pour toutx2Gl"ordre de la restriction àHdetxest un diviseur dep1
et de l"ordre deG. En déduire quetxrestreint àHest l"identité pour toutxet donc queHest contenu dans le
centre deG. SoitGun groupe. On appelle groupe des commutateurs deGet l"on noteD(G)le sous-groupe deGengendrépar les éléments de la formexyx1y1. Montrer queD(G)est distingué dansGet que le quotientG=D(G)
est abélien. Montrer queD(G)est le plus petit sous-groupe distingué deGtel que le quotient deGpar ce
sous-groupe soit abélien. SoitGun groupe d"ordrep3oùpest un nombre premier. Montrer que siGn"est pas commutatif,Z(G)=D(G) et que ce sous-groupe est d"ordrep.Indication pourl"exer cice1 N(xy)1=x1y1)xy=yx.Indication pourl"exer cice8 N(a) est standard. En utilisant (a), on obtient(Z=15Z)'Z=2ZZ=4Z, lequel n"est pas cyclique puisque tous
les éléments sont d"ordre 1, 2 ou 4. Le reste ne pose pas de grandes difficultés.Indication pourl"exer cice9 N(a) Bézout. (b)fest injectif et ensembles de départ et d"arrivée ont même cardinal.Indication pourl"exer cice11 Ne
2ikp=d=e2ikp=nn=d(k2Z).Indication pourl"exer cice12 Nf(G0)est un sous-groupe deHisomorphe àG0=(ker(f)\G0).Indication pourl"exer cice13 NRésulte de l"exercice12 .
Indication pour
l"exer cice16 NLes morphismes du groupe(Q;+)dans lui-même sont de la formex!axaveca2Q. Les morphismes du
groupe(Q;+)dans(Z;+)sont, parmi les précédents, ceux dont l"image est dansZ; il n"y a que le morphisme
nul. Les morphismes du groupe(Z=mZ;+)dans(Z;+)sont déterminés par l"entierf(1)qui doit vérifier
mf(1) =0; il n"y a que le morphisme nul, sim6=0.Indication pourl"exer cice17 NL"ensemble Hom(Z=mZ;Z=nZ)des morphismes de groupe deZ=mZdansZ=nZest un groupe abélien pour
l"addition naturelle des morphismes. On notedle pgcd demetnetm0etn0les entiersm=detn=d. Si p:Z!Z=mZdésigne la surjection canonique, la correspondance associant à toutf2Hom(Z=mZ;Z=nZ) l"élémentfp(1)induit un isomorphisme de groupe entre Hom(Z=mZ;Z=nZ)et le sous-groupen0Z=nZdu groupe additifZ=nZ, lequel est isomorphe àZ=dZ. L"ensemble Aut(Z=nZ)des automorphismes deZ=nZest un groupe pour la composition. La correspondanceprécédente induit un isomorphisme entre Aut(Z=nZ)et le groupe(Z=nZ)des inversibles deZ=nZ.Indication pourl"exer cice20 NLe morphisme "déterminant" de GL
n(R)dansRest surjectif et de noyau SLn(R).Indication pourl"exer cice23 NSizest un élément deGdont la classe moduloHengendreG=H, alors tout élément deGpeut s"écrirehzm
avech2Hetm2Z.Indication pourl"exer cice24 NAppliquer l"exercice23 a vecH=Z(G).Indication pourl"exer cice26 NExercice classique d"algèbre linéaire:Z(GLn(Fp)) =FpIdn(où Idndésigne la matrice identité d"ordren).
5 Indication pourl"exer cice28 NLes questions (a) et (b) ne présentent aucune difficulté.Pour la question (c), noter que, pour toutx2G, on a(tx)jGj=1, et que la restriction detxàHappartient à
Aut(H)'Aut(Z=pZ)(et utiliser l"exercice25 ).Indication pourl"exer cice29 NAucune difficulté. Observer que tout conjugué d"un commutateur est un commutateur et qu"un quotientG=H
est abélien si et seulement si pour tousu;v2G, on auvu1v12H.6Correction del"exer cice2 NSoientx;y2Gquelconques. De(xy)n=xnyn, on déduit(yx)n1=xn1yn1puis(yx)n=yxnyn1et donc
ynxn=yxnyn1, ce qui donneyn1xn=xnyn1. Ainsi, pour touty2G,yn1commute à tous les éléments de la
formexnavecx2G, et est donc dans le centre deG, puisque l"applicationx!xnest supposée surjective.Correction del"exer cice3 NToutautomorphismejdugroupeG=Z=2ZZ=2Zpermutelestroisélémentsd"ordre2, c"est-à-direl"ensemble
Gdes trois éléments non triviaux. La correspondance qui àj2Aut(Z=2ZZ=2Z)associe sa restriction àG
induit un morphismec: Aut(Z=2ZZ=2Z)!S3. Tout morphismej2Aut(Z=2ZZ=2Z)étant déterminépar sa restriction àG, ce morphismecest injectif. De plus, tout automorphisme linéaire (pour la structure
deZ=2Z-espace vectoriel deZ=2ZZ=2Z) est un automorphisme de groupes. Il y a 6 tels automorphismes(autant qu"il y a de bases). L"image deccontient donc au moins 6 éléments. Comme c"est un sous-groupe de
S3, c"estS3lui-même etcest un isomorphisme.Correction del"exer cice4 NLe sous-groupeHest à la fois la classe à gauche et la classe à droite moduloHde l"élément neutre. Si
[G:H] =2, son complémentaireHcdansGest donc l"autre classe, à droite et à gauche. Classes à droite et
classes à gauche coincident donc, soitgH=Hget doncgHg1=Hgg1=Hpour toutg2G.Correction del"exer cice5 ND"après l"hypothèse, pour toutx2G, il existez2Gtel quexHx1H=zH. On en déduitxHx1zH. Cela
entraine que 12zHet donc quez2H. D"où finalementxHx1H.Correction del"exer cice6 NEtant donnésy;z2H, on ay'1 etz'1. La compatibilité de la loi donne d"une partyz'1, soityz2H, et
d"autre partyy1'y1soity12H. Cela montre queHest un sous-groupe deG. Pour toutx2G, on a aussi xyx1'x1x1=1 et doncxyx12H. Le sous-groupeHest donc distingué.
De plus, pourx;x02G, six'x0, alors par compatibilité de la loi, on ax0x1'xx1=1, c"est-à-direx0x12H.
Réciproquement, six0x12H, alorsx0x1'1, et donc, par compatibilité de la loi,x'x0.Correction del"exer cice7 NPour toutg2G, la conjugaisoncg:G!Gparginduit un automorphisme deHsiHest distingué dansG. Si
de plusKest caractéristique dansH, alorsKest stable parcg. D"oùKest alors distingué dansG.Le sous-ensembleV4du groupe symétriqueS4consistant en l"identité et les trois produits de transpositions
disjointes:(12)(34),(13)(24)et(14)(23)est un sous-groupe (vérification immédiate) qui est distingué:
cela résulte de la formuleg(i j)(kl)g1= (g(i)g(j))(g(k)g(l))pouri;j;k;l2 f1;2;3;4gdistincts. Le sous-
groupeK(d"ordre 2) engendré par(12)(34)est distingué dansV4(carV4est abélien). MaisKn"est pas
distingué dansS4(comme le montre encore la formule précédente).Correction del"exer cice10 NLe groupemmna un élément d"ordremn. En revanche tout élémentx2mmmnvérifiexm=1 avecm=
ppcm(m;n)et est donc d"ordre un diviseur dem, lequel estest égal à pgcd(jHj;jG=Hj)(puisquejHj=jKj) et vaut donc 1. Conclusion:s(K) =f1g, c"est-à-direKH.
D"oùK=Hpuisqu"ils ont même ordre.7
Correction del"exer cice15 NOn af(n) =f(1)npour tout entiern>0. Mais on a aussif(1=n)n=f(1)pour toutn>0. Cela n"est pas
possible car un nombre rationnel positif6=0;1 ne peut être une puissancen-ième dansQpour toutn>0. (Pour
ce dernier point, noter par exemple qu"être une puissancen-ième dansQentraîne que tous les exposants de la
décomposition en facteurs premiers sont des multiples den). Les deux groupes(Q;+)et(Q+;)ne sont donc
pas isomorphes.Correction del"exer cice18 NOn an=jG=Hj. Pour toute classeaH2G=H, on a donc(aH)n=Hc"est-à-dire,anH=Hou encorean2H.
Cela devient faux siHn"est pas distingué dansG. Par exemple le sous-groupeHdeS3engendré par latransposition(12)est d"indice 3 dansS3et, poura= (23), on aa3=a=2H.Correction del"exer cice19 NSoitH0un sous-groupe deGd"ordrenet d"indicem. Pour touth2H0, on ahn=1 ethm2H(voir l"exercice
18 ). Puisquenetmsont premiers en eux, on peut trouveru;v2Ztels queum+vn=1. On obtient alorsh= (hm)u(hn)v2H. D"oùH0Het doncH=H0puisquejHj=jH0j.Correction del"exer cice21 N(a) La correspondancex!e2ipxinduit un morphismeR!T, surjectif et de noyauZ. D"oùR=Z'T. La
correspondancez!z=jzjinduitl"isomorphismeC=R+'T. Similairementz!z2=jzj2fournitl"isomorphisme C =R'T. Les isomorphismesT=mn'TetC=mn'Cs"obtiennent à partir de la correspondancez!zn.(b) La correspondancex!e2ipxinduit un morphismeQ!m¥, surjectif et de noyauZ. D"oùQ=Z'm¥. SiG
est un sous-groupe fini dem¥, alors il existem2Ntel queGmm. Les sous-groupes du groupe cycliquemm sont lesmnoùnjm.(c)SoitGunsous-groupedeQdetypefini, c"est-à-direengendréparunnombrefiniderationnelsp1=q1;:::;pr=qr.
On a alorsq1qrGZ. Soitqle plus petit entier>0 tel queqGZ. Le sous-groupeqGest de la formeaZaveca2Npremier avecq(car l"existence d"un facteur commun contredirait la minimalité deq). On obtient
G= (a=q)Z. Si de plusZGalors 12Get s"écrit donc 1=ka=qaveck2Z, ce qui donneka=q. Comme pgcd(a;q) =1, on a nécessairementa=1 et doncG= (1=q)Z. Soits:Q!Q=Zla surjection canonique. SiGest un sous-groupe de type fini deQ=Z, alorsG=s1(G)estun sous-groupe deQ, contenantZet de type fini (sip1=q1;:::;pr=qrsont des antécédents parsde générateurs
deG, alors 1;p1=q1;:::;pr=qrengendrentG). D"après ce qui précède, on aG=1qZet doncG=1q
Z=Z, qui est
isomorphe àZ=qZ.Via l"isomorphisme de la question (b), on déduit les sous-groupes deQ=Zde type fini: ce sont les sous-groupes
fe2ikp=qjk2Zg=mqavecqdécrivantN.(d) On vérifie sans difficulté que pour tout nombre premierp,mp¥est un sous-groupe dem¥. Il n"est pas de
type fini: en effet le sous-groupe deQ=Zqui lui correspond par l"isomorphisme de la question (b) est engendré
par les classes de rationnels 1=pnmoduloZ,ndécrivantN. Un tel sous-groupeGn"a pas de dénominateur
commun, c"est-à-dire, il n"existe pas d"entierq2Ztel queqGG. En conséquence il ne peut pas être de type
fini.Correction del"exer cice22 NSoitz2Cquelconque etz2Cune racinen-ième dez. Le sous-groupeGest distingué dansC(puisqueCest
commutatif). Sinest l"indice deGdansC, on a donczn=z2G(voir l"exercice18 ). D"oùCG. L"inclusioninverse est triviale.Correction del"exer cice25 N(a) Soitj:Fnp!Fmpun morphisme de groupes. Pour toutn2Z, on noten2Z=pZ=Fpsa classe modulo
p. Tout élémentx2Fnppeut s"écrirex= (x1;:::;x
n)avecx= (x1;:::;xn)2Zn. On a alorsj(nx) =j(nx) = 8 j(nx) =nj(x) =nj(x). Le morphismejest donc compatible avec les lois externes deFnpetFmp. Comme il est aussi additif, c"est une applicationFp-linéaire. (b) Considérons l"applicationV: Aut(Z=pZ)!Z=pZqui à tout automorphismecassociec(1). Cette application est à valeurs dansZ=pZnf0g(sic2Aut(Z=pZ), alors ker(c) =f0g). C"est un morphisme de Aut(Z=pZ)muni de la composition vers le groupe multiplicatifZ=pZnf0g=Fp: en effet sic;c02 Aut(Z=pZ)et si on posec0(1) =c(classe dec2Zmodulop), alors(cc0)(1) =c(c) =cc(1) =cc(1) = c0(1)c(1) =c(1)c0(1). Ce morphismeVest de plus injectif puisque tout automorphismecdeZ=pZest
déterminé parc(1). Enfin, pour touta2Z=pZnon nul, la correspondancen!aninduit un automorphismec
deZ=pZtel quec(1)=a. L"image du morphismeVest donc toutFp. Ce qui établit l"isomorphisme demandé.
(c) D"après la question (a), il s"agit de compter le nombre d"automorphismes linéaires duFp-espace vectoriel
Fnp, qui est égal au nombre de bases deFnp, c"est-à-dire(pn1)(pnp)(pnpn1).Correction del"exer cice27 NSoitGun groupe abélien fini tel quepG=f0g. Pour tout entiern2Zet pour toutg2G, l"élémentngne
dépend que de la classe denmodulop; on peut le noterng. La correspondance(n;g)!ngdéfinit uneloi externe sur le groupe additif(Z=pZ)net lui confère ainsi une structure deFp-espace vectoriel. Cet espace
vectoriel, étant fini, est de dimension finie. Il est donc isomorphe comme espace vectoriel, et en particulier
comme groupe à(Z=pZ)npour un certain entiern>0.Correction del"exer cice30 NLe centreZ(G)est ni trivial (carGest unp-groupe) ni égal àG(carGnon abélien). En utilisant l"exercice23 ,
on voit qu"il n"est pas non plus d"ordrep2. Il est donc d"ordrep. Mais alorsG=Z(G)est d"ordrep2et est donc
abélien (exercice 24). D"après l"exercice 29
, on a alorsD(G)Z(G). CommeD(G)6=f1g(sinonGserait abélien), on aD(G) =Z(G).9quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19